Theorem invsym 17571

Description: The inverse relation is symmetric. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
invfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
invfval.n	⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
invfval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
invfval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
invfval.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
invsym	⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ 𝐺(𝑌𝑁𝑋)𝐹))

Proof of Theorem invsym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		invfval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		invfval.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
3		invfval.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		invfval.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		invfval.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Sect‘𝐶) = (Sect‘𝐶)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	isinv 17569	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹)))
8	7	biancomd 464	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐺(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹 ∧ 𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝐺)))
9	1, 2, 3, 5, 4, 6	isinv 17569	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺(𝑌𝑁𝑋)𝐹 ↔ (𝐺(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹 ∧ 𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝐺)))
10	8, 9	bitr4d 281	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ 𝐺(𝑌𝑁𝑋)𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5092  ‘cfv 6479  (class class class)co 7337  Basecbs 17009  Catccat 17470  Sectcsect 17553  Invcinv 17554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-id 5518  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-sect 17556  df-inv 17557

This theorem is referenced by:  invsym2  17572  inviso2  17576  invisoinvl  17599  invisoinvr  17600