MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  invsym Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem invsym 16807
Description: The inverse relation is symmetric. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
invfval.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
invfval.n 𝑁 = (Inv‘𝐶)
invfval.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
invfval.x (𝜑𝑋𝐵)
invfval.y (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
invsym (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺𝐺(𝑌𝑁𝑋)𝐹))

Proof of Theorem invsym
StepHypRef Expression
1 invfval.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐶)
2 invfval.n . . . 4 𝑁 = (Inv‘𝐶)
3 invfval.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
4 invfval.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
5 invfval.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
6 eqid 2777 . . . 4 (Sect‘𝐶) = (Sect‘𝐶)
71, 2, 3, 4, 5, 6isinv 16805 . . 3 (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝐺𝐺(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹)))
87biancomd 457 . 2 (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐺(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝐺)))
91, 2, 3, 5, 4, 6isinv 16805 . 2 (𝜑 → (𝐺(𝑌𝑁𝑋)𝐹 ↔ (𝐺(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝐺)))
108, 9bitr4d 274 1 (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺𝐺(𝑌𝑁𝑋)𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2106   class class class wbr 4886  cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  Catccat 16710  Sectcsect 16789  Invcinv 16790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-sect 16792  df-inv 16793
This theorem is referenced by:  invsym2  16808  inviso2  16812  invisoinvl  16835  invisoinvr  16836
  Copyright terms: Public domain W3C validator