Theorem invsym2 17944

Description: The inverse relation is symmetric. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
invfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
invfval.n	⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
invfval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
invss.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
invss.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
invsym2	⊢ (𝜑 → ◡(𝑋𝑁𝑌) = (𝑌𝑁𝑋))

Proof of Theorem invsym2

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		invfval.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		invfval.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
3		invfval.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		invss.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
5		invss.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	invss 17942	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝑁𝑋) ⊆ ((𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) × (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌)))
8		relxp 5668	. . . 4 ⊢ Rel ((𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) × (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌))
9		relss 5757	. . . 4 ⊢ ((𝑌𝑁𝑋) ⊆ ((𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) × (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌)) → (Rel ((𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) × (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌)) → Rel (𝑌𝑁𝑋)))
10	7, 8, 9	mpisyl 22	. . 3 ⊢ (𝜑 → Rel (𝑌𝑁𝑋))
11		relcnv 6099	. . 3 ⊢ Rel ◡(𝑋𝑁𝑌)
12	10, 11	jctil 529	. 2 ⊢ (𝜑 → (Rel ◡(𝑋𝑁𝑌) ∧ Rel (𝑌𝑁𝑋)))
13	1, 2, 3, 5, 4	invsym 17943	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑓(𝑋𝑁𝑌)𝑔 ↔ 𝑔(𝑌𝑁𝑋)𝑓))
14		vex 3454	. . . . . 6 ⊢ 𝑔 ∈ V
15		vex 3454	. . . . . 6 ⊢ 𝑓 ∈ V
16	14, 15	brcnv 5859	. . . . 5 ⊢ (𝑔◡(𝑋𝑁𝑌)𝑓 ↔ 𝑓(𝑋𝑁𝑌)𝑔)
17		df-br 5103	. . . . 5 ⊢ (𝑔◡(𝑋𝑁𝑌)𝑓 ↔ ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∈ ◡(𝑋𝑁𝑌))
18	16, 17	bitr3i 280	. . . 4 ⊢ (𝑓(𝑋𝑁𝑌)𝑔 ↔ ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∈ ◡(𝑋𝑁𝑌))
19		df-br 5103	. . . 4 ⊢ (𝑔(𝑌𝑁𝑋)𝑓 ↔ ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∈ (𝑌𝑁𝑋))
20	13, 18, 19	3bitr3g 316	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑔, 𝑓⟩ ∈ ◡(𝑋𝑁𝑌) ↔ ⟨𝑔, 𝑓⟩ ∈ (𝑌𝑁𝑋)))
21	20	eqrelrdv2 5770	. 2 ⊢ (((Rel ◡(𝑋𝑁𝑌) ∧ Rel (𝑌𝑁𝑋)) ∧ 𝜑) → ◡(𝑋𝑁𝑌) = (𝑌𝑁𝑋))
22	12, 21	mpancom 701	1 ⊢ (𝜑 → ◡(𝑋𝑁𝑌) = (𝑌𝑁𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895  ⟨cop 4834   class class class wbr 5102   × cxp 5648  ^◡ccnv 5649  Rel wrel 5655  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17393  Hom chom 17445  Catccat 17844  Invcinv 17926

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-sect 17928  df-inv 17929

This theorem is used by:  invf  17949  invf1o  17950  invinv  17951  cicsym  17985