Theorem inviso2 17992

Description: If 𝐺 is an inverse to 𝐹, then 𝐺 is an isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
invfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
invfval.n	⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
invfval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
invss.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
invss.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
isoval.n	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
inviso1.1	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
inviso2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑌𝐼𝑋))

Proof of Theorem inviso2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		invfval.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		invfval.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
3		invfval.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		invss.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
5		invss.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		isoval.n	. 2 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
7		inviso1.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺)
8	1, 2, 3, 5, 4	invsym 17987	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ 𝐺(𝑌𝑁𝑋)𝐹))
9	7, 8	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺(𝑌𝑁𝑋)𝐹)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	inviso1 17991	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑌𝐼𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  Catccat 17888  Invcinv 17970  Isociso 17971

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-cat 17892  df-cid 17893  df-sect 17972  df-inv 17973  df-iso 17974

This theorem is used by:  yonffthlem  18506