Theorem inviso2 17661

Description: If 𝐺 is an inverse to 𝐹, then 𝐺 is an isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
invfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
invfval.n	⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
invfval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
invss.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
invss.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
isoval.n	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
inviso1.1	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
inviso2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑌𝐼𝑋))

Proof of Theorem inviso2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		invfval.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		invfval.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
3		invfval.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		invss.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
5		invss.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		isoval.n	. 2 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
7		inviso1.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺)
8	1, 2, 3, 5, 4	invsym 17656	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ 𝐺(𝑌𝑁𝑋)𝐹))
9	7, 8	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺(𝑌𝑁𝑋)𝐹)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	inviso1 17660	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑌𝐼𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5088  ‘cfv 6476  (class class class)co 7340  Basecbs 17107  Catccat 17557  Invcinv 17639  Isociso 17640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5214  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-id 5508  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-1st 7915  df-2nd 7916  df-cat 17561  df-cid 17562  df-sect 17641  df-inv 17642  df-iso 17643

This theorem is referenced by:  yonffthlem  18175