Theorem inviso2 17753

Description: If 𝐺 is an inverse to 𝐹, then 𝐺 is an isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
invfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
invfval.n	⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
invfval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
invfval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
invfval.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
isoval.n	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
inviso1.1	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
inviso2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑌𝐼𝑋))

Proof of Theorem inviso2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		invfval.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		invfval.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
3		invfval.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		invfval.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
5		invfval.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		isoval.n	. 2 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
7		inviso1.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺)
8	1, 2, 3, 5, 4	invsym 17748	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ 𝐺(𝑌𝑁𝑋)𝐹))
9	7, 8	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺(𝑌𝑁𝑋)𝐹)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	inviso1 17752	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑌𝐼𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5149  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17183  Catccat 17647  Invcinv 17731  Isociso 17732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-cat 17651  df-cid 17652  df-sect 17733  df-inv 17734  df-iso 17735

This theorem is referenced by:  yonffthlem  18277