MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  invisoinvr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem invisoinvr 17666
Description: The inverse of an isomorphism is invers to the isomorphism. (Contributed by AV, 9-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
invisoinv.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
invisoinv.i 𝐼 = (Iso‘𝐶)
invisoinv.n 𝑁 = (Inv‘𝐶)
invisoinv.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
invisoinv.x (𝜑𝑋𝐵)
invisoinv.y (𝜑𝑌𝐵)
invisoinv.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
Assertion
Ref Expression
invisoinvr (𝜑𝐹(𝑋𝑁𝑌)((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹))

Proof of Theorem invisoinvr
StepHypRef Expression
1 invisoinv.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐶)
2 invisoinv.i . . 3 𝐼 = (Iso‘𝐶)
3 invisoinv.n . . 3 𝑁 = (Inv‘𝐶)
4 invisoinv.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
5 invisoinv.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
6 invisoinv.y . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
7 invisoinv.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7invisoinvl 17665 . 2 (𝜑 → ((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹)(𝑌𝑁𝑋)𝐹)
91, 3, 4, 5, 6invsym 17637 . 2 (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹) ↔ ((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹)(𝑌𝑁𝑋)𝐹))
108, 9mpbird 256 1 (𝜑𝐹(𝑋𝑁𝑌)((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5103  cfv 6493  (class class class)co 7353  Basecbs 17075  Catccat 17536  Invcinv 17620  Isociso 17621
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-cat 17540  df-cid 17541  df-sect 17622  df-inv 17623  df-iso 17624
This theorem is referenced by:  invcoisoid  17667  funciso  17752  fuciso  17856
  Copyright terms: Public domain W3C validator