Theorem invisoinvr 17698

Description: The inverse of an isomorphism is invers to the isomorphism. (Contributed by AV, 9-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
invisoinv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
invisoinv.i	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
invisoinv.n	⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
invisoinv.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
invisoinv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
invisoinv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
invisoinv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))

Assertion

Ref	Expression
invisoinvr	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋𝑁𝑌)((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹))

Proof of Theorem invisoinvr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		invisoinv.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		invisoinv.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
3		invisoinv.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
4		invisoinv.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
5		invisoinv.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		invisoinv.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		invisoinv.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	invisoinvl 17697	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹)(𝑌𝑁𝑋)𝐹)
9	1, 3, 4, 5, 6	invsym 17669	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹) ↔ ((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹)(𝑌𝑁𝑋)𝐹))
10	8, 9	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋𝑁𝑌)((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  Catccat 17570  Invcinv 17652  Isociso 17653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-cat 17574  df-cid 17575  df-sect 17654  df-inv 17655  df-iso 17656

This theorem is referenced by:  invcoisoid  17699  funciso  17781  fuciso  17885