MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  invisoinvr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem invisoinvr 16836
Description: The inverse of an isomorphism is invers to the isomorphism. (Contributed by AV, 9-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
invisoinv.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
invisoinv.i 𝐼 = (Iso‘𝐶)
invisoinv.n 𝑁 = (Inv‘𝐶)
invisoinv.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
invisoinv.x (𝜑𝑋𝐵)
invisoinv.y (𝜑𝑌𝐵)
invisoinv.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
Assertion
Ref Expression
invisoinvr (𝜑𝐹(𝑋𝑁𝑌)((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹))

Proof of Theorem invisoinvr
StepHypRef Expression
1 invisoinv.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐶)
2 invisoinv.i . . 3 𝐼 = (Iso‘𝐶)
3 invisoinv.n . . 3 𝑁 = (Inv‘𝐶)
4 invisoinv.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
5 invisoinv.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
6 invisoinv.y . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
7 invisoinv.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7invisoinvl 16835 . 2 (𝜑 → ((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹)(𝑌𝑁𝑋)𝐹)
91, 3, 4, 5, 6invsym 16807 . 2 (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹) ↔ ((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹)(𝑌𝑁𝑋)𝐹))
108, 9mpbird 249 1 (𝜑𝐹(𝑋𝑁𝑌)((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1601  wcel 2107   class class class wbr 4886  cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  Catccat 16710  Invcinv 16790  Isociso 16791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-cat 16714  df-cid 16715  df-sect 16792  df-inv 16793  df-iso 16794
This theorem is referenced by:  invcoisoid  16837  funciso  16919  fuciso  17020
  Copyright terms: Public domain W3C validator