MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  invisoinvr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem invisoinvr 17053
Description: The inverse of an isomorphism is invers to the isomorphism. (Contributed by AV, 9-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
invisoinv.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
invisoinv.i 𝐼 = (Iso‘𝐶)
invisoinv.n 𝑁 = (Inv‘𝐶)
invisoinv.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
invisoinv.x (𝜑𝑋𝐵)
invisoinv.y (𝜑𝑌𝐵)
invisoinv.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
Assertion
Ref Expression
invisoinvr (𝜑𝐹(𝑋𝑁𝑌)((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹))

Proof of Theorem invisoinvr
StepHypRef Expression
1 invisoinv.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐶)
2 invisoinv.i . . 3 𝐼 = (Iso‘𝐶)
3 invisoinv.n . . 3 𝑁 = (Inv‘𝐶)
4 invisoinv.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
5 invisoinv.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
6 invisoinv.y . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
7 invisoinv.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7invisoinvl 17052 . 2 (𝜑 → ((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹)(𝑌𝑁𝑋)𝐹)
91, 3, 4, 5, 6invsym 17024 . 2 (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹) ↔ ((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹)(𝑌𝑁𝑋)𝐹))
108, 9mpbird 260 1 (𝜑𝐹(𝑋𝑁𝑌)((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2111   class class class wbr 5030  cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  Catccat 16927  Invcinv 17007  Isociso 17008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-cat 16931  df-cid 16932  df-sect 17009  df-inv 17010  df-iso 17011
This theorem is referenced by:  invcoisoid  17054  funciso  17136  fuciso  17237
  Copyright terms: Public domain W3C validator