Theorem invisoinvr 17420

Description: The inverse of an isomorphism is invers to the isomorphism. (Contributed by AV, 9-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
invisoinv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
invisoinv.i	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
invisoinv.n	⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
invisoinv.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
invisoinv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
invisoinv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
invisoinv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))

Assertion

Ref	Expression
invisoinvr	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋𝑁𝑌)((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹))

Proof of Theorem invisoinvr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		invisoinv.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		invisoinv.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
3		invisoinv.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
4		invisoinv.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
5		invisoinv.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		invisoinv.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		invisoinv.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	invisoinvl 17419	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹)(𝑌𝑁𝑋)𝐹)
9	1, 3, 4, 5, 6	invsym 17391	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹) ↔ ((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹)(𝑌𝑁𝑋)𝐹))
10	8, 9	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋𝑁𝑌)((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  Catccat 17290  Invcinv 17374  Isociso 17375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-cat 17294  df-cid 17295  df-sect 17376  df-inv 17377  df-iso 17378

This theorem is referenced by:  invcoisoid  17421  funciso  17505  fuciso  17609