Theorem invisoinvr 17852

Description: The inverse of an isomorphism is invers to the isomorphism. (Contributed by AV, 9-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
invisoinv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
invisoinv.i	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
invisoinv.n	⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
invisoinv.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
invisoinv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
invisoinv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
invisoinv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))

Assertion

Ref	Expression
invisoinvr	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋𝑁𝑌)((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹))

Proof of Theorem invisoinvr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		invisoinv.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		invisoinv.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
3		invisoinv.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
4		invisoinv.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
5		invisoinv.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		invisoinv.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		invisoinv.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	invisoinvl 17851	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹)(𝑌𝑁𝑋)𝐹)
9	1, 3, 4, 5, 6	invsym 17823	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹) ↔ ((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹)(𝑌𝑁𝑋)𝐹))
10	8, 9	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋𝑁𝑌)((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17273  Catccat 17724  Invcinv 17806  Isociso 17807

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-cat 17728  df-cid 17729  df-sect 17808  df-inv 17809  df-iso 17810

This theorem is used by:  invcoisoid  17853  funciso  17935  fuciso  18039