Theorem invisoinvr 17698

Description: The inverse of an isomorphism is invers to the isomorphism. (Contributed by AV, 9-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
invisoinv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
invisoinv.i	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
invisoinv.n	⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
invisoinv.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
invisoinv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
invisoinv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
invisoinv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))

Assertion

Ref	Expression
invisoinvr	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋𝑁𝑌)((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹))

Proof of Theorem invisoinvr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		invisoinv.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		invisoinv.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
3		invisoinv.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
4		invisoinv.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
5		invisoinv.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		invisoinv.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		invisoinv.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	invisoinvl 17697	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹)(𝑌𝑁𝑋)𝐹)
9	1, 3, 4, 5, 6	invsym 17669	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹) ↔ ((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹)(𝑌𝑁𝑋)𝐹))
10	8, 9	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑋𝑁𝑌)((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Basecbs 17120  Catccat 17570  Invcinv 17652  Isociso 17653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-cat 17574  df-cid 17575  df-sect 17654  df-inv 17655  df-iso 17656

This theorem is referenced by:  invcoisoid  17699  funciso  17781  fuciso  17885