MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  invisoinvr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem invisoinvr 16803
Description: The inverse of an isomorphism is invers to the isomorphism. (Contributed by AV, 9-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
invisoinv.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
invisoinv.i 𝐼 = (Iso‘𝐶)
invisoinv.n 𝑁 = (Inv‘𝐶)
invisoinv.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
invisoinv.x (𝜑𝑋𝐵)
invisoinv.y (𝜑𝑌𝐵)
invisoinv.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
Assertion
Ref Expression
invisoinvr (𝜑𝐹(𝑋𝑁𝑌)((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹))

Proof of Theorem invisoinvr
StepHypRef Expression
1 invisoinv.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐶)
2 invisoinv.i . . 3 𝐼 = (Iso‘𝐶)
3 invisoinv.n . . 3 𝑁 = (Inv‘𝐶)
4 invisoinv.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
5 invisoinv.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
6 invisoinv.y . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
7 invisoinv.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7invisoinvl 16802 . 2 (𝜑 → ((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹)(𝑌𝑁𝑋)𝐹)
91, 3, 4, 5, 6invsym 16774 . 2 (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹) ↔ ((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹)(𝑌𝑁𝑋)𝐹))
108, 9mpbird 249 1 (𝜑𝐹(𝑋𝑁𝑌)((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1656  wcel 2164   class class class wbr 4873  cfv 6123  (class class class)co 6905  Basecbs 16222  Catccat 16677  Invcinv 16757  Isociso 16758
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-id 5250  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-cat 16681  df-cid 16682  df-sect 16759  df-inv 16760  df-iso 16761
This theorem is referenced by:  invcoisoid  16804
  Copyright terms: Public domain W3C validator