Theorem hstrlem3a 32189

Description: Lemma for strong set of CH states theorem: the function 𝑆, that maps a closed subspace to the square of the norm of its projection onto a unit vector, is a state. (Contributed by NM, 30-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hstrlem3a.1	⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((projℎ‘𝑥)‘𝑢))

Assertion

Ref	Expression
hstrlem3a	⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → 𝑆 ∈ CHStates)

Distinct variable group:   𝑥,𝑢

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑢)

Proof of Theorem hstrlem3a

Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjhcl 31330	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((projℎ‘𝑥)‘𝑢) ∈ ℋ)
2	1	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((projℎ‘𝑥)‘𝑢) ∈ ℋ)
3	2	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((projℎ‘𝑥)‘𝑢) ∈ ℋ)
4		hstrlem3a.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((projℎ‘𝑥)‘𝑢))
5	3, 4	fmptd 7086	. 2 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → 𝑆: Cℋ ⟶ ℋ)
6		helch 31172	. . . . 5 ⊢ ℋ ∈ Cℋ
7	4	hstrlem2 32188	. . . . 5 ⊢ ( ℋ ∈ Cℋ → (𝑆‘ ℋ) = ((projℎ‘ ℋ)‘𝑢))
8	6, 7	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑆‘ ℋ) = ((projℎ‘ ℋ)‘𝑢)
9	8	fveq2i 6861	. . 3 ⊢ (normℎ‘(𝑆‘ ℋ)) = (normℎ‘((projℎ‘ ℋ)‘𝑢))
10		pjch1 31599	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ ℋ → ((projℎ‘ ℋ)‘𝑢) = 𝑢)
11	10	fveq2d 6862	. . . 4 ⊢ (𝑢 ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘ ℋ)‘𝑢)) = (normℎ‘𝑢))
12		id 22	. . . 4 ⊢ ((normℎ‘𝑢) = 1 → (normℎ‘𝑢) = 1)
13	11, 12	sylan9eq 2784	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → (normℎ‘((projℎ‘ ℋ)‘𝑢)) = 1)
14	9, 13	eqtrid 2776	. 2 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → (normℎ‘(𝑆‘ ℋ)) = 1)
15	4	hstrlem2 32188	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ Cℋ → (𝑆‘𝑧) = ((projℎ‘𝑧)‘𝑢))
16	4	hstrlem2 32188	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ Cℋ → (𝑆‘𝑤) = ((projℎ‘𝑤)‘𝑢))
17	15, 16	oveqan12d 7406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ) → ((𝑆‘𝑧) ·ih (𝑆‘𝑤)) = (((projℎ‘𝑧)‘𝑢) ·ih ((projℎ‘𝑤)‘𝑢)))
18	17	3adant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑆‘𝑧) ·ih (𝑆‘𝑤)) = (((projℎ‘𝑧)‘𝑢) ·ih ((projℎ‘𝑤)‘𝑢)))
19	18	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((𝑆‘𝑧) ·ih (𝑆‘𝑤)) = (((projℎ‘𝑧)‘𝑢) ·ih ((projℎ‘𝑤)‘𝑢)))
20		pjoi0 31646	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (((projℎ‘𝑧)‘𝑢) ·ih ((projℎ‘𝑤)‘𝑢)) = 0)
21	19, 20	eqtrd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((𝑆‘𝑧) ·ih (𝑆‘𝑤)) = 0)
22		pjcjt2 31621	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → ((projℎ‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤))‘𝑢) = (((projℎ‘𝑧)‘𝑢) +ℎ ((projℎ‘𝑤)‘𝑢))))
23	22	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((projℎ‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤))‘𝑢) = (((projℎ‘𝑧)‘𝑢) +ℎ ((projℎ‘𝑤)‘𝑢)))
24		chjcl 31286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ) → (𝑧 ∨ℋ 𝑤) ∈ Cℋ )
25	4	hstrlem2 32188	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∨ℋ 𝑤) ∈ Cℋ → (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((projℎ‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤))‘𝑢))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ) → (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((projℎ‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤))‘𝑢))
27	26	3adant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((projℎ‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤))‘𝑢))
28	27	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((projℎ‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤))‘𝑢))
29	15, 16	oveqan12d 7406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ) → ((𝑆‘𝑧) +ℎ (𝑆‘𝑤)) = (((projℎ‘𝑧)‘𝑢) +ℎ ((projℎ‘𝑤)‘𝑢)))
30	29	3adant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑆‘𝑧) +ℎ (𝑆‘𝑤)) = (((projℎ‘𝑧)‘𝑢) +ℎ ((projℎ‘𝑤)‘𝑢)))
31	30	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((𝑆‘𝑧) +ℎ (𝑆‘𝑤)) = (((projℎ‘𝑧)‘𝑢) +ℎ ((projℎ‘𝑤)‘𝑢)))
32	23, 28, 31	3eqtr4d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((𝑆‘𝑧) +ℎ (𝑆‘𝑤)))
33	21, 32	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (((𝑆‘𝑧) ·ih (𝑆‘𝑤)) = 0 ∧ (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((𝑆‘𝑧) +ℎ (𝑆‘𝑤))))
34	33	3exp1 1353	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ Cℋ → (𝑤 ∈ Cℋ → (𝑢 ∈ ℋ → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (((𝑆‘𝑧) ·ih (𝑆‘𝑤)) = 0 ∧ (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((𝑆‘𝑧) +ℎ (𝑆‘𝑤)))))))
35	34	com3r 87	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ ℋ → (𝑧 ∈ Cℋ → (𝑤 ∈ Cℋ → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (((𝑆‘𝑧) ·ih (𝑆‘𝑤)) = 0 ∧ (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((𝑆‘𝑧) +ℎ (𝑆‘𝑤)))))))
36	35	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → (𝑧 ∈ Cℋ → (𝑤 ∈ Cℋ → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (((𝑆‘𝑧) ·ih (𝑆‘𝑤)) = 0 ∧ (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((𝑆‘𝑧) +ℎ (𝑆‘𝑤)))))))
37	36	ralrimdv 3131	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → (𝑧 ∈ Cℋ → ∀𝑤 ∈ Cℋ (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (((𝑆‘𝑧) ·ih (𝑆‘𝑤)) = 0 ∧ (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((𝑆‘𝑧) +ℎ (𝑆‘𝑤))))))
38	37	ralrimiv 3124	. 2 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → ∀𝑧 ∈ Cℋ ∀𝑤 ∈ Cℋ (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (((𝑆‘𝑧) ·ih (𝑆‘𝑤)) = 0 ∧ (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((𝑆‘𝑧) +ℎ (𝑆‘𝑤)))))
39		ishst 32143	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ CHStates ↔ (𝑆: Cℋ ⟶ ℋ ∧ (normℎ‘(𝑆‘ ℋ)) = 1 ∧ ∀𝑧 ∈ Cℋ ∀𝑤 ∈ Cℋ (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (((𝑆‘𝑧) ·ih (𝑆‘𝑤)) = 0 ∧ (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((𝑆‘𝑧) +ℎ (𝑆‘𝑤))))))
40	5, 14, 38, 39	syl3anbrc 1344	1 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → 𝑆 ∈ CHStates)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ⊆ wss 3914   ↦ cmpt 5188  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  0cc0 11068  1c1 11069   ℋchba 30848   +_ℎ cva 30849   ·_ih csp 30851  norm_ℎcno 30852   C_ℋ cch 30858  ⊥cort 30859   ∨_ℋ chj 30862  proj_ℎcpjh 30866  CHStateschst 30892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cc 10388  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147  ax-mulf 11148  ax-hilex 30928  ax-hfvadd 30929  ax-hvcom 30930  ax-hvass 30931  ax-hv0cl 30932  ax-hvaddid 30933  ax-hfvmul 30934  ax-hvmulid 30935  ax-hvmulass 30936  ax-hvdistr1 30937  ax-hvdistr2 30938  ax-hvmul0 30939  ax-hfi 31008  ax-his1 31011  ax-his2 31012  ax-his3 31013  ax-his4 31014  ax-hcompl 31131

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-oadd 8438  df-omul 8439  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-acn 9895  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioo 13310  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17465  df-qtop 17470  df-imas 17471  df-xps 17473  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-fbas 21261  df-fg 21262  df-cnfld 21265  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-cld 22906  df-ntr 22907  df-cls 22908  df-nei 22985  df-cn 23114  df-cnp 23115  df-lm 23116  df-haus 23202  df-tx 23449  df-hmeo 23642  df-fil 23733  df-fm 23825  df-flim 23826  df-flf 23827  df-xms 24208  df-ms 24209  df-tms 24210  df-cfil 25155  df-cau 25156  df-cmet 25157  df-grpo 30422  df-gid 30423  df-ginv 30424  df-gdiv 30425  df-ablo 30474  df-vc 30488  df-nv 30521  df-va 30524  df-ba 30525  df-sm 30526  df-0v 30527  df-vs 30528  df-nmcv 30529  df-ims 30530  df-dip 30630  df-ssp 30651  df-ph 30742  df-cbn 30792  df-hnorm 30897  df-hba 30898  df-hvsub 30900  df-hlim 30901  df-hcau 30902  df-sh 31136  df-ch 31150  df-oc 31181  df-ch0 31182  df-shs 31237  df-chj 31239  df-pjh 31324  df-hst 32141

This theorem is referenced by:  hstrlem3  32190