HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hstrlem3a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hstrlem3a 31244
Description: Lemma for strong set of CH states theorem: the function ๐‘†, that maps a closed subspace to the square of the norm of its projection onto a unit vector, is a state. (Contributed by NM, 30-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hstrlem3a.1 ๐‘† = (๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โ†ฆ ((projโ„Žโ€˜๐‘ฅ)โ€˜๐‘ข))
Assertion
Ref Expression
hstrlem3a ((๐‘ข โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ข) = 1) โ†’ ๐‘† โˆˆ CHStates)
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ข
Allowed substitution hints:   ๐‘†(๐‘ฅ,๐‘ข)

Proof of Theorem hstrlem3a
Dummy variables ๐‘ง ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjhcl 30385 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„‹) โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐‘ฅ)โ€˜๐‘ข) โˆˆ โ„‹)
21ancoms 460 . . . 4 ((๐‘ข โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ ) โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐‘ฅ)โ€˜๐‘ข) โˆˆ โ„‹)
32adantlr 714 . . 3 (((๐‘ข โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ข) = 1) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ ) โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐‘ฅ)โ€˜๐‘ข) โˆˆ โ„‹)
4 hstrlem3a.1 . . 3 ๐‘† = (๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โ†ฆ ((projโ„Žโ€˜๐‘ฅ)โ€˜๐‘ข))
53, 4fmptd 7067 . 2 ((๐‘ข โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ข) = 1) โ†’ ๐‘†: Cโ„‹ โŸถ โ„‹)
6 helch 30227 . . . . 5 โ„‹ โˆˆ Cโ„‹
74hstrlem2 31243 . . . . 5 ( โ„‹ โˆˆ Cโ„‹ โ†’ (๐‘†โ€˜ โ„‹) = ((projโ„Žโ€˜ โ„‹)โ€˜๐‘ข))
86, 7ax-mp 5 . . . 4 (๐‘†โ€˜ โ„‹) = ((projโ„Žโ€˜ โ„‹)โ€˜๐‘ข)
98fveq2i 6850 . . 3 (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜ โ„‹)) = (normโ„Žโ€˜((projโ„Žโ€˜ โ„‹)โ€˜๐‘ข))
10 pjch1 30654 . . . . 5 (๐‘ข โˆˆ โ„‹ โ†’ ((projโ„Žโ€˜ โ„‹)โ€˜๐‘ข) = ๐‘ข)
1110fveq2d 6851 . . . 4 (๐‘ข โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜((projโ„Žโ€˜ โ„‹)โ€˜๐‘ข)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ข))
12 id 22 . . . 4 ((normโ„Žโ€˜๐‘ข) = 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ข) = 1)
1311, 12sylan9eq 2797 . . 3 ((๐‘ข โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ข) = 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜((projโ„Žโ€˜ โ„‹)โ€˜๐‘ข)) = 1)
149, 13eqtrid 2789 . 2 ((๐‘ข โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ข) = 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜ โ„‹)) = 1)
154hstrlem2 31243 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ง) = ((projโ„Žโ€˜๐‘ง)โ€˜๐‘ข))
164hstrlem2 31243 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ค) = ((projโ„Žโ€˜๐‘ค)โ€˜๐‘ข))
1715, 16oveqan12d 7381 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ ) โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ง) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ค)) = (((projโ„Žโ€˜๐‘ง)โ€˜๐‘ข) ยทih ((projโ„Žโ€˜๐‘ค)โ€˜๐‘ข)))
18173adant3 1133 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ง) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ค)) = (((projโ„Žโ€˜๐‘ง)โ€˜๐‘ข) ยทih ((projโ„Žโ€˜๐‘ค)โ€˜๐‘ข)))
1918adantr 482 . . . . . . . . 9 (((๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ค)) โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ง) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ค)) = (((projโ„Žโ€˜๐‘ง)โ€˜๐‘ข) ยทih ((projโ„Žโ€˜๐‘ค)โ€˜๐‘ข)))
20 pjoi0 30701 . . . . . . . . 9 (((๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ค)) โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐‘ง)โ€˜๐‘ข) ยทih ((projโ„Žโ€˜๐‘ค)โ€˜๐‘ข)) = 0)
2119, 20eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (((๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ค)) โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ง) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ค)) = 0)
22 pjcjt2 30676 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ง โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ค) โ†’ ((projโ„Žโ€˜(๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค))โ€˜๐‘ข) = (((projโ„Žโ€˜๐‘ง)โ€˜๐‘ข) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐‘ค)โ€˜๐‘ข))))
2322imp 408 . . . . . . . . 9 (((๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ค)) โ†’ ((projโ„Žโ€˜(๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค))โ€˜๐‘ข) = (((projโ„Žโ€˜๐‘ง)โ€˜๐‘ข) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐‘ค)โ€˜๐‘ข)))
24 chjcl 30341 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ ) โ†’ (๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค) โˆˆ Cโ„‹ )
254hstrlem2 31243 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค) โˆˆ Cโ„‹ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค)) = ((projโ„Žโ€˜(๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค))โ€˜๐‘ข))
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ ) โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค)) = ((projโ„Žโ€˜(๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค))โ€˜๐‘ข))
27263adant3 1133 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค)) = ((projโ„Žโ€˜(๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค))โ€˜๐‘ข))
2827adantr 482 . . . . . . . . 9 (((๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ค)) โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค)) = ((projโ„Žโ€˜(๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค))โ€˜๐‘ข))
2915, 16oveqan12d 7381 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ ) โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ค)) = (((projโ„Žโ€˜๐‘ง)โ€˜๐‘ข) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐‘ค)โ€˜๐‘ข)))
30293adant3 1133 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ค)) = (((projโ„Žโ€˜๐‘ง)โ€˜๐‘ข) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐‘ค)โ€˜๐‘ข)))
3130adantr 482 . . . . . . . . 9 (((๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ค)) โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ค)) = (((projโ„Žโ€˜๐‘ง)โ€˜๐‘ข) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐‘ค)โ€˜๐‘ข)))
3223, 28, 313eqtr4d 2787 . . . . . . . 8 (((๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ค)) โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ค)))
3321, 32jca 513 . . . . . . 7 (((๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ค)) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ง) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ค)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ค))))
34333exp1 1353 . . . . . 6 (๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โ†’ (๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ โ†’ (๐‘ข โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘ง โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ค) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ง) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ค)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ค)))))))
3534com3r 87 . . . . 5 (๐‘ข โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โ†’ (๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ โ†’ (๐‘ง โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ค) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ง) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ค)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ค)))))))
3635adantr 482 . . . 4 ((๐‘ข โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ข) = 1) โ†’ (๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โ†’ (๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ โ†’ (๐‘ง โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ค) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ง) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ค)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ค)))))))
3736ralrimdv 3150 . . 3 ((๐‘ข โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ข) = 1) โ†’ (๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โ†’ โˆ€๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ง โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ค) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ง) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ค)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ค))))))
3837ralrimiv 3143 . 2 ((๐‘ข โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ข) = 1) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ง โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ค) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ง) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ค)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ค)))))
39 ishst 31198 . 2 (๐‘† โˆˆ CHStates โ†” (๐‘†: Cโ„‹ โŸถ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜ โ„‹)) = 1 โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ง โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ค) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ง) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ค)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ค))))))
405, 14, 38, 39syl3anbrc 1344 1 ((๐‘ข โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ข) = 1) โ†’ ๐‘† โˆˆ CHStates)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3065   โŠ† wss 3915   โ†ฆ cmpt 5193  โŸถwf 6497  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  0cc0 11058  1c1 11059   โ„‹chba 29903   +โ„Ž cva 29904   ยทih csp 29906  normโ„Žcno 29907   Cโ„‹ cch 29913  โŠฅcort 29914   โˆจโ„‹ chj 29917  projโ„Žcpjh 29921  CHStateschst 29947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cc 10378  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138  ax-hilex 29983  ax-hfvadd 29984  ax-hvcom 29985  ax-hvass 29986  ax-hv0cl 29987  ax-hvaddid 29988  ax-hfvmul 29989  ax-hvmulid 29990  ax-hvmulass 29991  ax-hvdistr1 29992  ax-hvdistr2 29993  ax-hvmul0 29994  ax-hfi 30063  ax-his1 30066  ax-his2 30067  ax-his3 30068  ax-his4 30069  ax-hcompl 30186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-lm 22596  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cfil 24635  df-cau 24636  df-cmet 24637  df-grpo 29477  df-gid 29478  df-ginv 29479  df-gdiv 29480  df-ablo 29529  df-vc 29543  df-nv 29576  df-va 29579  df-ba 29580  df-sm 29581  df-0v 29582  df-vs 29583  df-nmcv 29584  df-ims 29585  df-dip 29685  df-ssp 29706  df-ph 29797  df-cbn 29847  df-hnorm 29952  df-hba 29953  df-hvsub 29955  df-hlim 29956  df-hcau 29957  df-sh 30191  df-ch 30205  df-oc 30236  df-ch0 30237  df-shs 30292  df-chj 30294  df-pjh 30379  df-hst 31196
This theorem is referenced by:  hstrlem3  31245
  Copyright terms: Public domain W3C validator