Theorem hstrlem3a 30622

Description: Lemma for strong set of CH states theorem: the function 𝑆, that maps a closed subspace to the square of the norm of its projection onto a unit vector, is a state. (Contributed by NM, 30-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hstrlem3a.1	⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((projℎ‘𝑥)‘𝑢))

Assertion

Ref	Expression
hstrlem3a	⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → 𝑆 ∈ CHStates)

Distinct variable group:   𝑥,𝑢

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑢)

Proof of Theorem hstrlem3a

Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjhcl 29763	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((projℎ‘𝑥)‘𝑢) ∈ ℋ)
2	1	ancoms 459	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((projℎ‘𝑥)‘𝑢) ∈ ℋ)
3	2	adantlr 712	. . 3 ⊢ (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((projℎ‘𝑥)‘𝑢) ∈ ℋ)
4		hstrlem3a.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((projℎ‘𝑥)‘𝑢))
5	3, 4	fmptd 6988	. 2 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → 𝑆: Cℋ ⟶ ℋ)
6		helch 29605	. . . . 5 ⊢ ℋ ∈ Cℋ
7	4	hstrlem2 30621	. . . . 5 ⊢ ( ℋ ∈ Cℋ → (𝑆‘ ℋ) = ((projℎ‘ ℋ)‘𝑢))
8	6, 7	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑆‘ ℋ) = ((projℎ‘ ℋ)‘𝑢)
9	8	fveq2i 6777	. . 3 ⊢ (normℎ‘(𝑆‘ ℋ)) = (normℎ‘((projℎ‘ ℋ)‘𝑢))
10		pjch1 30032	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ ℋ → ((projℎ‘ ℋ)‘𝑢) = 𝑢)
11	10	fveq2d 6778	. . . 4 ⊢ (𝑢 ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘ ℋ)‘𝑢)) = (normℎ‘𝑢))
12		id 22	. . . 4 ⊢ ((normℎ‘𝑢) = 1 → (normℎ‘𝑢) = 1)
13	11, 12	sylan9eq 2798	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → (normℎ‘((projℎ‘ ℋ)‘𝑢)) = 1)
14	9, 13	eqtrid 2790	. 2 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → (normℎ‘(𝑆‘ ℋ)) = 1)
15	4	hstrlem2 30621	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ Cℋ → (𝑆‘𝑧) = ((projℎ‘𝑧)‘𝑢))
16	4	hstrlem2 30621	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ Cℋ → (𝑆‘𝑤) = ((projℎ‘𝑤)‘𝑢))
17	15, 16	oveqan12d 7294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ) → ((𝑆‘𝑧) ·ih (𝑆‘𝑤)) = (((projℎ‘𝑧)‘𝑢) ·ih ((projℎ‘𝑤)‘𝑢)))
18	17	3adant3 1131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑆‘𝑧) ·ih (𝑆‘𝑤)) = (((projℎ‘𝑧)‘𝑢) ·ih ((projℎ‘𝑤)‘𝑢)))
19	18	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((𝑆‘𝑧) ·ih (𝑆‘𝑤)) = (((projℎ‘𝑧)‘𝑢) ·ih ((projℎ‘𝑤)‘𝑢)))
20		pjoi0 30079	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (((projℎ‘𝑧)‘𝑢) ·ih ((projℎ‘𝑤)‘𝑢)) = 0)
21	19, 20	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((𝑆‘𝑧) ·ih (𝑆‘𝑤)) = 0)
22		pjcjt2 30054	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → ((projℎ‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤))‘𝑢) = (((projℎ‘𝑧)‘𝑢) +ℎ ((projℎ‘𝑤)‘𝑢))))
23	22	imp 407	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((projℎ‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤))‘𝑢) = (((projℎ‘𝑧)‘𝑢) +ℎ ((projℎ‘𝑤)‘𝑢)))
24		chjcl 29719	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ) → (𝑧 ∨ℋ 𝑤) ∈ Cℋ )
25	4	hstrlem2 30621	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∨ℋ 𝑤) ∈ Cℋ → (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((projℎ‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤))‘𝑢))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ) → (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((projℎ‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤))‘𝑢))
27	26	3adant3 1131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((projℎ‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤))‘𝑢))
28	27	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((projℎ‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤))‘𝑢))
29	15, 16	oveqan12d 7294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ) → ((𝑆‘𝑧) +ℎ (𝑆‘𝑤)) = (((projℎ‘𝑧)‘𝑢) +ℎ ((projℎ‘𝑤)‘𝑢)))
30	29	3adant3 1131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑆‘𝑧) +ℎ (𝑆‘𝑤)) = (((projℎ‘𝑧)‘𝑢) +ℎ ((projℎ‘𝑤)‘𝑢)))
31	30	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((𝑆‘𝑧) +ℎ (𝑆‘𝑤)) = (((projℎ‘𝑧)‘𝑢) +ℎ ((projℎ‘𝑤)‘𝑢)))
32	23, 28, 31	3eqtr4d 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((𝑆‘𝑧) +ℎ (𝑆‘𝑤)))
33	21, 32	jca 512	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (((𝑆‘𝑧) ·ih (𝑆‘𝑤)) = 0 ∧ (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((𝑆‘𝑧) +ℎ (𝑆‘𝑤))))
34	33	3exp1 1351	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ Cℋ → (𝑤 ∈ Cℋ → (𝑢 ∈ ℋ → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (((𝑆‘𝑧) ·ih (𝑆‘𝑤)) = 0 ∧ (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((𝑆‘𝑧) +ℎ (𝑆‘𝑤)))))))
35	34	com3r 87	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ ℋ → (𝑧 ∈ Cℋ → (𝑤 ∈ Cℋ → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (((𝑆‘𝑧) ·ih (𝑆‘𝑤)) = 0 ∧ (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((𝑆‘𝑧) +ℎ (𝑆‘𝑤)))))))
36	35	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → (𝑧 ∈ Cℋ → (𝑤 ∈ Cℋ → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (((𝑆‘𝑧) ·ih (𝑆‘𝑤)) = 0 ∧ (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((𝑆‘𝑧) +ℎ (𝑆‘𝑤)))))))
37	36	ralrimdv 3105	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → (𝑧 ∈ Cℋ → ∀𝑤 ∈ Cℋ (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (((𝑆‘𝑧) ·ih (𝑆‘𝑤)) = 0 ∧ (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((𝑆‘𝑧) +ℎ (𝑆‘𝑤))))))
38	37	ralrimiv 3102	. 2 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → ∀𝑧 ∈ Cℋ ∀𝑤 ∈ Cℋ (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (((𝑆‘𝑧) ·ih (𝑆‘𝑤)) = 0 ∧ (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((𝑆‘𝑧) +ℎ (𝑆‘𝑤)))))
39		ishst 30576	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ CHStates ↔ (𝑆: Cℋ ⟶ ℋ ∧ (normℎ‘(𝑆‘ ℋ)) = 1 ∧ ∀𝑧 ∈ Cℋ ∀𝑤 ∈ Cℋ (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (((𝑆‘𝑧) ·ih (𝑆‘𝑤)) = 0 ∧ (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((𝑆‘𝑧) +ℎ (𝑆‘𝑤))))))
40	5, 14, 38, 39	syl3anbrc 1342	1 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → 𝑆 ∈ CHStates)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   ⊆ wss 3887   ↦ cmpt 5157  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   ℋchba 29281   +_ℎ cva 29282   ·_ih csp 29284  norm_ℎcno 29285   C_ℋ cch 29291  ⊥cort 29292   ∨_ℋ chj 29295  proj_ℎcpjh 29299  CHStateschst 29325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cc 10191  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951  ax-hilex 29361  ax-hfvadd 29362  ax-hvcom 29363  ax-hvass 29364  ax-hv0cl 29365  ax-hvaddid 29366  ax-hfvmul 29367  ax-hvmulid 29368  ax-hvmulass 29369  ax-hvdistr1 29370  ax-hvdistr2 29371  ax-hvmul0 29372  ax-hfi 29441  ax-his1 29444  ax-his2 29445  ax-his3 29446  ax-his4 29447  ax-hcompl 29564

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-omul 8302  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-acn 9700  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-lm 22380  df-haus 22466  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cfil 24419  df-cau 24420  df-cmet 24421  df-grpo 28855  df-gid 28856  df-ginv 28857  df-gdiv 28858  df-ablo 28907  df-vc 28921  df-nv 28954  df-va 28957  df-ba 28958  df-sm 28959  df-0v 28960  df-vs 28961  df-nmcv 28962  df-ims 28963  df-dip 29063  df-ssp 29084  df-ph 29175  df-cbn 29225  df-hnorm 29330  df-hba 29331  df-hvsub 29333  df-hlim 29334  df-hcau 29335  df-sh 29569  df-ch 29583  df-oc 29614  df-ch0 29615  df-shs 29670  df-chj 29672  df-pjh 29757  df-hst 30574

This theorem is referenced by:  hstrlem3  30623