HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hstrlem3a Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hstrlem3a 32022
Description: Lemma for strong set of CH states theorem: the function ๐‘†, that maps a closed subspace to the square of the norm of its projection onto a unit vector, is a state. (Contributed by NM, 30-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hstrlem3a.1 ๐‘† = (๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โ†ฆ ((projโ„Žโ€˜๐‘ฅ)โ€˜๐‘ข))
Assertion
Ref Expression
hstrlem3a ((๐‘ข โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ข) = 1) โ†’ ๐‘† โˆˆ CHStates)
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ข
Allowed substitution hints:   ๐‘†(๐‘ฅ,๐‘ข)
Proof of Theorem hstrlem3a
Dummy variables ๐‘ง ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjhcl 31163 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„‹) โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐‘ฅ)โ€˜๐‘ข) โˆˆ โ„‹)
21ancoms 458 . . . 4 ((๐‘ข โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ ) โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐‘ฅ)โ€˜๐‘ข) โˆˆ โ„‹)
32adantlr 712 . . 3 (((๐‘ข โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ข) = 1) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ ) โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐‘ฅ)โ€˜๐‘ข) โˆˆ โ„‹)
4 hstrlem3a.1 . . 3 ๐‘† = (๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โ†ฆ ((projโ„Žโ€˜๐‘ฅ)โ€˜๐‘ข))
53, 4fmptd 7109 . 2 ((๐‘ข โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ข) = 1) โ†’ ๐‘†: Cโ„‹ โŸถ โ„‹)
6 helch 31005 . . . . 5 โ„‹ โˆˆ Cโ„‹
74hstrlem2 32021 . . . . 5 ( โ„‹ โˆˆ Cโ„‹ โ†’ (๐‘†โ€˜ โ„‹) = ((projโ„Žโ€˜ โ„‹)โ€˜๐‘ข))
86, 7ax-mp 5 . . . 4 (๐‘†โ€˜ โ„‹) = ((projโ„Žโ€˜ โ„‹)โ€˜๐‘ข)
98fveq2i 6888 . . 3 (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜ โ„‹)) = (normโ„Žโ€˜((projโ„Žโ€˜ โ„‹)โ€˜๐‘ข))
10 pjch1 31432 . . . . 5 (๐‘ข โˆˆ โ„‹ โ†’ ((projโ„Žโ€˜ โ„‹)โ€˜๐‘ข) = ๐‘ข)
1110fveq2d 6889 . . . 4 (๐‘ข โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜((projโ„Žโ€˜ โ„‹)โ€˜๐‘ข)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ข))
12 id 22 . . . 4 ((normโ„Žโ€˜๐‘ข) = 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ข) = 1)
1311, 12sylan9eq 2786 . . 3 ((๐‘ข โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ข) = 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜((projโ„Žโ€˜ โ„‹)โ€˜๐‘ข)) = 1)
149, 13eqtrid 2778 . 2 ((๐‘ข โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ข) = 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜ โ„‹)) = 1)
154hstrlem2 32021 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ง) = ((projโ„Žโ€˜๐‘ง)โ€˜๐‘ข))
164hstrlem2 32021 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ค) = ((projโ„Žโ€˜๐‘ค)โ€˜๐‘ข))
1715, 16oveqan12d 7424 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ ) โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ง) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ค)) = (((projโ„Žโ€˜๐‘ง)โ€˜๐‘ข) ยทih ((projโ„Žโ€˜๐‘ค)โ€˜๐‘ข)))
18173adant3 1129 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ง) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ค)) = (((projโ„Žโ€˜๐‘ง)โ€˜๐‘ข) ยทih ((projโ„Žโ€˜๐‘ค)โ€˜๐‘ข)))
1918adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ค)) โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ง) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ค)) = (((projโ„Žโ€˜๐‘ง)โ€˜๐‘ข) ยทih ((projโ„Žโ€˜๐‘ค)โ€˜๐‘ข)))
20 pjoi0 31479 . . . . . . . . 9 (((๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ค)) โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐‘ง)โ€˜๐‘ข) ยทih ((projโ„Žโ€˜๐‘ค)โ€˜๐‘ข)) = 0)
2119, 20eqtrd 2766 . . . . . . . 8 (((๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ค)) โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ง) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ค)) = 0)
22 pjcjt2 31454 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ง โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ค) โ†’ ((projโ„Žโ€˜(๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค))โ€˜๐‘ข) = (((projโ„Žโ€˜๐‘ง)โ€˜๐‘ข) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐‘ค)โ€˜๐‘ข))))
2322imp 406 . . . . . . . . 9 (((๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ค)) โ†’ ((projโ„Žโ€˜(๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค))โ€˜๐‘ข) = (((projโ„Žโ€˜๐‘ง)โ€˜๐‘ข) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐‘ค)โ€˜๐‘ข)))
24 chjcl 31119 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ ) โ†’ (๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค) โˆˆ Cโ„‹ )
254hstrlem2 32021 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค) โˆˆ Cโ„‹ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค)) = ((projโ„Žโ€˜(๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค))โ€˜๐‘ข))
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ ) โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค)) = ((projโ„Žโ€˜(๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค))โ€˜๐‘ข))
27263adant3 1129 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค)) = ((projโ„Žโ€˜(๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค))โ€˜๐‘ข))
2827adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ค)) โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค)) = ((projโ„Žโ€˜(๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค))โ€˜๐‘ข))
2915, 16oveqan12d 7424 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ ) โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ค)) = (((projโ„Žโ€˜๐‘ง)โ€˜๐‘ข) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐‘ค)โ€˜๐‘ข)))
30293adant3 1129 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ค)) = (((projโ„Žโ€˜๐‘ง)โ€˜๐‘ข) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐‘ค)โ€˜๐‘ข)))
3130adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ค)) โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ค)) = (((projโ„Žโ€˜๐‘ง)โ€˜๐‘ข) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐‘ค)โ€˜๐‘ข)))
3223, 28, 313eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 (((๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ค)) โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ค)))
3321, 32jca 511 . . . . . . 7 (((๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ค)) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ง) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ค)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ค))))
34333exp1 1349 . . . . . 6 (๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โ†’ (๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ โ†’ (๐‘ข โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘ง โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ค) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ง) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ค)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ค)))))))
3534com3r 87 . . . . 5 (๐‘ข โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โ†’ (๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ โ†’ (๐‘ง โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ค) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ง) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ค)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ค)))))))
3635adantr 480 . . . 4 ((๐‘ข โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ข) = 1) โ†’ (๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โ†’ (๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ โ†’ (๐‘ง โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ค) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ง) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ค)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ค)))))))
3736ralrimdv 3146 . . 3 ((๐‘ข โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ข) = 1) โ†’ (๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โ†’ โˆ€๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ง โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ค) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ง) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ค)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ค))))))
3837ralrimiv 3139 . 2 ((๐‘ข โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ข) = 1) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ง โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ค) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ง) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ค)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ค)))))
39 ishst 31976 . 2 (๐‘† โˆˆ CHStates โ†” (๐‘†: Cโ„‹ โŸถ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜ โ„‹)) = 1 โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ง โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ค) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ง) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ค)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ค))))))
405, 14, 38, 39syl3anbrc 1340 1 ((๐‘ข โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ข) = 1) โ†’ ๐‘† โˆˆ CHStates)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055   โŠ† wss 3943   โ†ฆ cmpt 5224  โŸถwf 6533  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  1c1 11113   โ„‹chba 30681   +โ„Ž cva 30682   ยทih csp 30684  normโ„Žcno 30685   Cโ„‹ cch 30691  โŠฅcort 30692   โˆจโ„‹ chj 30695  projโ„Žcpjh 30699  CHStateschst 30725
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192  ax-hilex 30761  ax-hfvadd 30762  ax-hvcom 30763  ax-hvass 30764  ax-hv0cl 30765  ax-hvaddid 30766  ax-hfvmul 30767  ax-hvmulid 30768  ax-hvmulass 30769  ax-hvdistr1 30770  ax-hvdistr2 30771  ax-hvmul0 30772  ax-hfi 30841  ax-his1 30844  ax-his2 30845  ax-his3 30846  ax-his4 30847  ax-hcompl 30964
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-lm 23088  df-haus 23174  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cfil 25138  df-cau 25139  df-cmet 25140  df-grpo 30255  df-gid 30256  df-ginv 30257  df-gdiv 30258  df-ablo 30307  df-vc 30321  df-nv 30354  df-va 30357  df-ba 30358  df-sm 30359  df-0v 30360  df-vs 30361  df-nmcv 30362  df-ims 30363  df-dip 30463  df-ssp 30484  df-ph 30575  df-cbn 30625  df-hnorm 30730  df-hba 30731  df-hvsub 30733  df-hlim 30734  df-hcau 30735  df-sh 30969  df-ch 30983  df-oc 31014  df-ch0 31015  df-shs 31070  df-chj 31072  df-pjh 31157  df-hst 31974
This theorem is referenced by:  hstrlem3  32023
  Copyright terms: Public domain W3C validator