HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hstrlem3a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hstrlem3a 30047
Description: Lemma for strong set of CH states theorem: the function 𝑆, that maps a closed subspace to the square of the norm of its projection onto a unit vector, is a state. (Contributed by NM, 30-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hstrlem3a.1 𝑆 = (𝑥C ↦ ((proj𝑥)‘𝑢))
Assertion
Ref Expression
hstrlem3a ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → 𝑆 ∈ CHStates)
Distinct variable group:   𝑥,𝑢
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑢)

Proof of Theorem hstrlem3a
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjhcl 29188 . . . . 5 ((𝑥C𝑢 ∈ ℋ) → ((proj𝑥)‘𝑢) ∈ ℋ)
21ancoms 462 . . . 4 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑥C ) → ((proj𝑥)‘𝑢) ∈ ℋ)
32adantlr 714 . . 3 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) ∧ 𝑥C ) → ((proj𝑥)‘𝑢) ∈ ℋ)
4 hstrlem3a.1 . . 3 𝑆 = (𝑥C ↦ ((proj𝑥)‘𝑢))
53, 4fmptd 6859 . 2 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → 𝑆: C ⟶ ℋ)
6 helch 29030 . . . . 5 ℋ ∈ C
74hstrlem2 30046 . . . . 5 ( ℋ ∈ C → (𝑆‘ ℋ) = ((proj‘ ℋ)‘𝑢))
86, 7ax-mp 5 . . . 4 (𝑆‘ ℋ) = ((proj‘ ℋ)‘𝑢)
98fveq2i 6652 . . 3 (norm‘(𝑆‘ ℋ)) = (norm‘((proj‘ ℋ)‘𝑢))
10 pjch1 29457 . . . . 5 (𝑢 ∈ ℋ → ((proj‘ ℋ)‘𝑢) = 𝑢)
1110fveq2d 6653 . . . 4 (𝑢 ∈ ℋ → (norm‘((proj‘ ℋ)‘𝑢)) = (norm𝑢))
12 id 22 . . . 4 ((norm𝑢) = 1 → (norm𝑢) = 1)
1311, 12sylan9eq 2856 . . 3 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → (norm‘((proj‘ ℋ)‘𝑢)) = 1)
149, 13syl5eq 2848 . 2 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → (norm‘(𝑆‘ ℋ)) = 1)
154hstrlem2 30046 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧C → (𝑆𝑧) = ((proj𝑧)‘𝑢))
164hstrlem2 30046 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤C → (𝑆𝑤) = ((proj𝑤)‘𝑢))
1715, 16oveqan12d 7158 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧C𝑤C ) → ((𝑆𝑧) ·ih (𝑆𝑤)) = (((proj𝑧)‘𝑢) ·ih ((proj𝑤)‘𝑢)))
18173adant3 1129 . . . . . . . . . 10 ((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑆𝑧) ·ih (𝑆𝑤)) = (((proj𝑧)‘𝑢) ·ih ((proj𝑤)‘𝑢)))
1918adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((𝑆𝑧) ·ih (𝑆𝑤)) = (((proj𝑧)‘𝑢) ·ih ((proj𝑤)‘𝑢)))
20 pjoi0 29504 . . . . . . . . 9 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (((proj𝑧)‘𝑢) ·ih ((proj𝑤)‘𝑢)) = 0)
2119, 20eqtrd 2836 . . . . . . . 8 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((𝑆𝑧) ·ih (𝑆𝑤)) = 0)
22 pjcjt2 29479 . . . . . . . . . 10 ((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → ((proj‘(𝑧 𝑤))‘𝑢) = (((proj𝑧)‘𝑢) + ((proj𝑤)‘𝑢))))
2322imp 410 . . . . . . . . 9 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((proj‘(𝑧 𝑤))‘𝑢) = (((proj𝑧)‘𝑢) + ((proj𝑤)‘𝑢)))
24 chjcl 29144 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧C𝑤C ) → (𝑧 𝑤) ∈ C )
254hstrlem2 30046 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 𝑤) ∈ C → (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((proj‘(𝑧 𝑤))‘𝑢))
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧C𝑤C ) → (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((proj‘(𝑧 𝑤))‘𝑢))
27263adant3 1129 . . . . . . . . . 10 ((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) → (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((proj‘(𝑧 𝑤))‘𝑢))
2827adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((proj‘(𝑧 𝑤))‘𝑢))
2915, 16oveqan12d 7158 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧C𝑤C ) → ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤)) = (((proj𝑧)‘𝑢) + ((proj𝑤)‘𝑢)))
30293adant3 1129 . . . . . . . . . 10 ((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤)) = (((proj𝑧)‘𝑢) + ((proj𝑤)‘𝑢)))
3130adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤)) = (((proj𝑧)‘𝑢) + ((proj𝑤)‘𝑢)))
3223, 28, 313eqtr4d 2846 . . . . . . . 8 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤)))
3321, 32jca 515 . . . . . . 7 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (((𝑆𝑧) ·ih (𝑆𝑤)) = 0 ∧ (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤))))
34333exp1 1349 . . . . . 6 (𝑧C → (𝑤C → (𝑢 ∈ ℋ → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (((𝑆𝑧) ·ih (𝑆𝑤)) = 0 ∧ (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤)))))))
3534com3r 87 . . . . 5 (𝑢 ∈ ℋ → (𝑧C → (𝑤C → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (((𝑆𝑧) ·ih (𝑆𝑤)) = 0 ∧ (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤)))))))
3635adantr 484 . . . 4 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → (𝑧C → (𝑤C → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (((𝑆𝑧) ·ih (𝑆𝑤)) = 0 ∧ (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤)))))))
3736ralrimdv 3156 . . 3 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → (𝑧C → ∀𝑤C (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (((𝑆𝑧) ·ih (𝑆𝑤)) = 0 ∧ (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤))))))
3837ralrimiv 3151 . 2 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → ∀𝑧C𝑤C (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (((𝑆𝑧) ·ih (𝑆𝑤)) = 0 ∧ (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤)))))
39 ishst 30001 . 2 (𝑆 ∈ CHStates ↔ (𝑆: C ⟶ ℋ ∧ (norm‘(𝑆‘ ℋ)) = 1 ∧ ∀𝑧C𝑤C (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (((𝑆𝑧) ·ih (𝑆𝑤)) = 0 ∧ (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤))))))
405, 14, 38, 39syl3anbrc 1340 1 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → 𝑆 ∈ CHStates)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wral 3109  wss 3884  cmpt 5113  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  0cc0 10530  1c1 10531  chba 28706   + cva 28707   ·ih csp 28709  normcno 28710   C cch 28716  cort 28717   chj 28720  projcpjh 28724  CHStateschst 28750
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cc 9850  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610  ax-hilex 28786  ax-hfvadd 28787  ax-hvcom 28788  ax-hvass 28789  ax-hv0cl 28790  ax-hvaddid 28791  ax-hfvmul 28792  ax-hvmulid 28793  ax-hvmulass 28794  ax-hvdistr1 28795  ax-hvdistr2 28796  ax-hvmul0 28797  ax-hfi 28866  ax-his1 28869  ax-his2 28870  ax-his3 28871  ax-his4 28872  ax-hcompl 28989
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-omul 8094  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-clim 14841  df-rlim 14842  df-sum 15039  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-hom 16585  df-cco 16586  df-rest 16692  df-topn 16693  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-topgen 16713  df-pt 16714  df-prds 16717  df-xrs 16771  df-qtop 16776  df-imas 16777  df-xps 16779  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-mulg 18221  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-fbas 20092  df-fg 20093  df-cnfld 20096  df-top 21503  df-topon 21520  df-topsp 21542  df-bases 21555  df-cld 21628  df-ntr 21629  df-cls 21630  df-nei 21707  df-cn 21836  df-cnp 21837  df-lm 21838  df-haus 21924  df-tx 22171  df-hmeo 22364  df-fil 22455  df-fm 22547  df-flim 22548  df-flf 22549  df-xms 22931  df-ms 22932  df-tms 22933  df-cfil 23863  df-cau 23864  df-cmet 23865  df-grpo 28280  df-gid 28281  df-ginv 28282  df-gdiv 28283  df-ablo 28332  df-vc 28346  df-nv 28379  df-va 28382  df-ba 28383  df-sm 28384  df-0v 28385  df-vs 28386  df-nmcv 28387  df-ims 28388  df-dip 28488  df-ssp 28509  df-ph 28600  df-cbn 28650  df-hnorm 28755  df-hba 28756  df-hvsub 28758  df-hlim 28759  df-hcau 28760  df-sh 28994  df-ch 29008  df-oc 29039  df-ch0 29040  df-shs 29095  df-chj 29097  df-pjh 29182  df-hst 29999
This theorem is referenced by:  hstrlem3  30048
  Copyright terms: Public domain W3C validator