HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hstrlem3a Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hstrlem3a 31500
Description: Lemma for strong set of CH states theorem: the function ๐‘†, that maps a closed subspace to the square of the norm of its projection onto a unit vector, is a state. (Contributed by NM, 30-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hstrlem3a.1 ๐‘† = (๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โ†ฆ ((projโ„Žโ€˜๐‘ฅ)โ€˜๐‘ข))
Assertion
Ref Expression
hstrlem3a ((๐‘ข โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ข) = 1) โ†’ ๐‘† โˆˆ CHStates)
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ข
Allowed substitution hints:   ๐‘†(๐‘ฅ,๐‘ข)
Proof of Theorem hstrlem3a
Dummy variables ๐‘ง ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjhcl 30641 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„‹) โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐‘ฅ)โ€˜๐‘ข) โˆˆ โ„‹)
21ancoms 459 . . . 4 ((๐‘ข โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ ) โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐‘ฅ)โ€˜๐‘ข) โˆˆ โ„‹)
32adantlr 713 . . 3 (((๐‘ข โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ข) = 1) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ ) โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐‘ฅ)โ€˜๐‘ข) โˆˆ โ„‹)
4 hstrlem3a.1 . . 3 ๐‘† = (๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โ†ฆ ((projโ„Žโ€˜๐‘ฅ)โ€˜๐‘ข))
53, 4fmptd 7110 . 2 ((๐‘ข โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ข) = 1) โ†’ ๐‘†: Cโ„‹ โŸถ โ„‹)
6 helch 30483 . . . . 5 โ„‹ โˆˆ Cโ„‹
74hstrlem2 31499 . . . . 5 ( โ„‹ โˆˆ Cโ„‹ โ†’ (๐‘†โ€˜ โ„‹) = ((projโ„Žโ€˜ โ„‹)โ€˜๐‘ข))
86, 7ax-mp 5 . . . 4 (๐‘†โ€˜ โ„‹) = ((projโ„Žโ€˜ โ„‹)โ€˜๐‘ข)
98fveq2i 6891 . . 3 (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜ โ„‹)) = (normโ„Žโ€˜((projโ„Žโ€˜ โ„‹)โ€˜๐‘ข))
10 pjch1 30910 . . . . 5 (๐‘ข โˆˆ โ„‹ โ†’ ((projโ„Žโ€˜ โ„‹)โ€˜๐‘ข) = ๐‘ข)
1110fveq2d 6892 . . . 4 (๐‘ข โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜((projโ„Žโ€˜ โ„‹)โ€˜๐‘ข)) = (normโ„Žโ€˜๐‘ข))
12 id 22 . . . 4 ((normโ„Žโ€˜๐‘ข) = 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ข) = 1)
1311, 12sylan9eq 2792 . . 3 ((๐‘ข โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ข) = 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜((projโ„Žโ€˜ โ„‹)โ€˜๐‘ข)) = 1)
149, 13eqtrid 2784 . 2 ((๐‘ข โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ข) = 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜ โ„‹)) = 1)
154hstrlem2 31499 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ง) = ((projโ„Žโ€˜๐‘ง)โ€˜๐‘ข))
164hstrlem2 31499 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ค) = ((projโ„Žโ€˜๐‘ค)โ€˜๐‘ข))
1715, 16oveqan12d 7424 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ ) โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ง) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ค)) = (((projโ„Žโ€˜๐‘ง)โ€˜๐‘ข) ยทih ((projโ„Žโ€˜๐‘ค)โ€˜๐‘ข)))
18173adant3 1132 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ง) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ค)) = (((projโ„Žโ€˜๐‘ง)โ€˜๐‘ข) ยทih ((projโ„Žโ€˜๐‘ค)โ€˜๐‘ข)))
1918adantr 481 . . . . . . . . 9 (((๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ค)) โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ง) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ค)) = (((projโ„Žโ€˜๐‘ง)โ€˜๐‘ข) ยทih ((projโ„Žโ€˜๐‘ค)โ€˜๐‘ข)))
20 pjoi0 30957 . . . . . . . . 9 (((๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ค)) โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐‘ง)โ€˜๐‘ข) ยทih ((projโ„Žโ€˜๐‘ค)โ€˜๐‘ข)) = 0)
2119, 20eqtrd 2772 . . . . . . . 8 (((๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ค)) โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ง) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ค)) = 0)
22 pjcjt2 30932 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ง โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ค) โ†’ ((projโ„Žโ€˜(๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค))โ€˜๐‘ข) = (((projโ„Žโ€˜๐‘ง)โ€˜๐‘ข) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐‘ค)โ€˜๐‘ข))))
2322imp 407 . . . . . . . . 9 (((๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ค)) โ†’ ((projโ„Žโ€˜(๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค))โ€˜๐‘ข) = (((projโ„Žโ€˜๐‘ง)โ€˜๐‘ข) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐‘ค)โ€˜๐‘ข)))
24 chjcl 30597 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ ) โ†’ (๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค) โˆˆ Cโ„‹ )
254hstrlem2 31499 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค) โˆˆ Cโ„‹ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค)) = ((projโ„Žโ€˜(๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค))โ€˜๐‘ข))
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ ) โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค)) = ((projโ„Žโ€˜(๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค))โ€˜๐‘ข))
27263adant3 1132 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค)) = ((projโ„Žโ€˜(๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค))โ€˜๐‘ข))
2827adantr 481 . . . . . . . . 9 (((๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ค)) โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค)) = ((projโ„Žโ€˜(๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค))โ€˜๐‘ข))
2915, 16oveqan12d 7424 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ ) โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ค)) = (((projโ„Žโ€˜๐‘ง)โ€˜๐‘ข) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐‘ค)โ€˜๐‘ข)))
30293adant3 1132 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ค)) = (((projโ„Žโ€˜๐‘ง)โ€˜๐‘ข) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐‘ค)โ€˜๐‘ข)))
3130adantr 481 . . . . . . . . 9 (((๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ค)) โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ค)) = (((projโ„Žโ€˜๐‘ง)โ€˜๐‘ข) +โ„Ž ((projโ„Žโ€˜๐‘ค)โ€˜๐‘ข)))
3223, 28, 313eqtr4d 2782 . . . . . . . 8 (((๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ค)) โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ค)))
3321, 32jca 512 . . . . . . 7 (((๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ค)) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ง) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ค)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ค))))
34333exp1 1352 . . . . . 6 (๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โ†’ (๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ โ†’ (๐‘ข โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘ง โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ค) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ง) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ค)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ค)))))))
3534com3r 87 . . . . 5 (๐‘ข โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โ†’ (๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ โ†’ (๐‘ง โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ค) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ง) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ค)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ค)))))))
3635adantr 481 . . . 4 ((๐‘ข โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ข) = 1) โ†’ (๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โ†’ (๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ โ†’ (๐‘ง โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ค) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ง) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ค)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ค)))))))
3736ralrimdv 3152 . . 3 ((๐‘ข โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ข) = 1) โ†’ (๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โ†’ โˆ€๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ง โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ค) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ง) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ค)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ค))))))
3837ralrimiv 3145 . 2 ((๐‘ข โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ข) = 1) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ง โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ค) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ง) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ค)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ค)))))
39 ishst 31454 . 2 (๐‘† โˆˆ CHStates โ†” (๐‘†: Cโ„‹ โŸถ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜ โ„‹)) = 1 โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ค โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ง โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ค) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ง) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ค)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ง โˆจโ„‹ ๐‘ค)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ค))))))
405, 14, 38, 39syl3anbrc 1343 1 ((๐‘ข โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ข) = 1) โ†’ ๐‘† โˆˆ CHStates)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061   โŠ† wss 3947   โ†ฆ cmpt 5230  โŸถwf 6536  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  0cc0 11106  1c1 11107   โ„‹chba 30159   +โ„Ž cva 30160   ยทih csp 30162  normโ„Žcno 30163   Cโ„‹ cch 30169  โŠฅcort 30170   โˆจโ„‹ chj 30173  projโ„Žcpjh 30177  CHStateschst 30203
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186  ax-hilex 30239  ax-hfvadd 30240  ax-hvcom 30241  ax-hvass 30242  ax-hv0cl 30243  ax-hvaddid 30244  ax-hfvmul 30245  ax-hvmulid 30246  ax-hvmulass 30247  ax-hvdistr1 30248  ax-hvdistr2 30249  ax-hvmul0 30250  ax-hfi 30319  ax-his1 30322  ax-his2 30323  ax-his3 30324  ax-his4 30325  ax-hcompl 30442
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-lm 22724  df-haus 22810  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cfil 24763  df-cau 24764  df-cmet 24765  df-grpo 29733  df-gid 29734  df-ginv 29735  df-gdiv 29736  df-ablo 29785  df-vc 29799  df-nv 29832  df-va 29835  df-ba 29836  df-sm 29837  df-0v 29838  df-vs 29839  df-nmcv 29840  df-ims 29841  df-dip 29941  df-ssp 29962  df-ph 30053  df-cbn 30103  df-hnorm 30208  df-hba 30209  df-hvsub 30211  df-hlim 30212  df-hcau 30213  df-sh 30447  df-ch 30461  df-oc 30492  df-ch0 30493  df-shs 30548  df-chj 30550  df-pjh 30635  df-hst 31452
This theorem is referenced by:  hstrlem3  31501
  Copyright terms: Public domain W3C validator