Theorem hstrlem3a 32292

Description: Lemma for strong set of CH states theorem: the function 𝑆, that maps a closed subspace to the square of the norm of its projection onto a unit vector, is a state. (Contributed by NM, 30-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hstrlem3a.1	⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((projℎ‘𝑥)‘𝑢))

Assertion

Ref	Expression
hstrlem3a	⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → 𝑆 ∈ CHStates)

Distinct variable group:   𝑥,𝑢

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑢)

Proof of Theorem hstrlem3a

Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjhcl 31433	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((projℎ‘𝑥)‘𝑢) ∈ ℋ)
2	1	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((projℎ‘𝑥)‘𝑢) ∈ ℋ)
3	2	adantlr 714	. . 3 ⊢ (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ((projℎ‘𝑥)‘𝑢) ∈ ℋ)
4		hstrlem3a.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((projℎ‘𝑥)‘𝑢))
5	3, 4	fmptd 7148	. 2 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → 𝑆: Cℋ ⟶ ℋ)
6		helch 31275	. . . . 5 ⊢ ℋ ∈ Cℋ
7	4	hstrlem2 32291	. . . . 5 ⊢ ( ℋ ∈ Cℋ → (𝑆‘ ℋ) = ((projℎ‘ ℋ)‘𝑢))
8	6, 7	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑆‘ ℋ) = ((projℎ‘ ℋ)‘𝑢)
9	8	fveq2i 6923	. . 3 ⊢ (normℎ‘(𝑆‘ ℋ)) = (normℎ‘((projℎ‘ ℋ)‘𝑢))
10		pjch1 31702	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ ℋ → ((projℎ‘ ℋ)‘𝑢) = 𝑢)
11	10	fveq2d 6924	. . . 4 ⊢ (𝑢 ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘ ℋ)‘𝑢)) = (normℎ‘𝑢))
12		id 22	. . . 4 ⊢ ((normℎ‘𝑢) = 1 → (normℎ‘𝑢) = 1)
13	11, 12	sylan9eq 2800	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → (normℎ‘((projℎ‘ ℋ)‘𝑢)) = 1)
14	9, 13	eqtrid 2792	. 2 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → (normℎ‘(𝑆‘ ℋ)) = 1)
15	4	hstrlem2 32291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ Cℋ → (𝑆‘𝑧) = ((projℎ‘𝑧)‘𝑢))
16	4	hstrlem2 32291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ Cℋ → (𝑆‘𝑤) = ((projℎ‘𝑤)‘𝑢))
17	15, 16	oveqan12d 7467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ) → ((𝑆‘𝑧) ·ih (𝑆‘𝑤)) = (((projℎ‘𝑧)‘𝑢) ·ih ((projℎ‘𝑤)‘𝑢)))
18	17	3adant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑆‘𝑧) ·ih (𝑆‘𝑤)) = (((projℎ‘𝑧)‘𝑢) ·ih ((projℎ‘𝑤)‘𝑢)))
19	18	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((𝑆‘𝑧) ·ih (𝑆‘𝑤)) = (((projℎ‘𝑧)‘𝑢) ·ih ((projℎ‘𝑤)‘𝑢)))
20		pjoi0 31749	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (((projℎ‘𝑧)‘𝑢) ·ih ((projℎ‘𝑤)‘𝑢)) = 0)
21	19, 20	eqtrd 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((𝑆‘𝑧) ·ih (𝑆‘𝑤)) = 0)
22		pjcjt2 31724	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → ((projℎ‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤))‘𝑢) = (((projℎ‘𝑧)‘𝑢) +ℎ ((projℎ‘𝑤)‘𝑢))))
23	22	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((projℎ‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤))‘𝑢) = (((projℎ‘𝑧)‘𝑢) +ℎ ((projℎ‘𝑤)‘𝑢)))
24		chjcl 31389	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ) → (𝑧 ∨ℋ 𝑤) ∈ Cℋ )
25	4	hstrlem2 32291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∨ℋ 𝑤) ∈ Cℋ → (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((projℎ‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤))‘𝑢))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ) → (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((projℎ‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤))‘𝑢))
27	26	3adant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((projℎ‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤))‘𝑢))
28	27	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((projℎ‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤))‘𝑢))
29	15, 16	oveqan12d 7467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ) → ((𝑆‘𝑧) +ℎ (𝑆‘𝑤)) = (((projℎ‘𝑧)‘𝑢) +ℎ ((projℎ‘𝑤)‘𝑢)))
30	29	3adant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑆‘𝑧) +ℎ (𝑆‘𝑤)) = (((projℎ‘𝑧)‘𝑢) +ℎ ((projℎ‘𝑤)‘𝑢)))
31	30	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((𝑆‘𝑧) +ℎ (𝑆‘𝑤)) = (((projℎ‘𝑧)‘𝑢) +ℎ ((projℎ‘𝑤)‘𝑢)))
32	23, 28, 31	3eqtr4d 2790	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((𝑆‘𝑧) +ℎ (𝑆‘𝑤)))
33	21, 32	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ Cℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (((𝑆‘𝑧) ·ih (𝑆‘𝑤)) = 0 ∧ (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((𝑆‘𝑧) +ℎ (𝑆‘𝑤))))
34	33	3exp1 1352	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ Cℋ → (𝑤 ∈ Cℋ → (𝑢 ∈ ℋ → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (((𝑆‘𝑧) ·ih (𝑆‘𝑤)) = 0 ∧ (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((𝑆‘𝑧) +ℎ (𝑆‘𝑤)))))))
35	34	com3r 87	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ ℋ → (𝑧 ∈ Cℋ → (𝑤 ∈ Cℋ → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (((𝑆‘𝑧) ·ih (𝑆‘𝑤)) = 0 ∧ (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((𝑆‘𝑧) +ℎ (𝑆‘𝑤)))))))
36	35	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → (𝑧 ∈ Cℋ → (𝑤 ∈ Cℋ → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (((𝑆‘𝑧) ·ih (𝑆‘𝑤)) = 0 ∧ (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((𝑆‘𝑧) +ℎ (𝑆‘𝑤)))))))
37	36	ralrimdv 3158	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → (𝑧 ∈ Cℋ → ∀𝑤 ∈ Cℋ (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (((𝑆‘𝑧) ·ih (𝑆‘𝑤)) = 0 ∧ (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((𝑆‘𝑧) +ℎ (𝑆‘𝑤))))))
38	37	ralrimiv 3151	. 2 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → ∀𝑧 ∈ Cℋ ∀𝑤 ∈ Cℋ (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (((𝑆‘𝑧) ·ih (𝑆‘𝑤)) = 0 ∧ (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((𝑆‘𝑧) +ℎ (𝑆‘𝑤)))))
39		ishst 32246	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ CHStates ↔ (𝑆: Cℋ ⟶ ℋ ∧ (normℎ‘(𝑆‘ ℋ)) = 1 ∧ ∀𝑧 ∈ Cℋ ∀𝑤 ∈ Cℋ (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (((𝑆‘𝑧) ·ih (𝑆‘𝑤)) = 0 ∧ (𝑆‘(𝑧 ∨ℋ 𝑤)) = ((𝑆‘𝑧) +ℎ (𝑆‘𝑤))))))
40	5, 14, 38, 39	syl3anbrc 1343	1 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → 𝑆 ∈ CHStates)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067   ⊆ wss 3976   ↦ cmpt 5249  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185   ℋchba 30951   +_ℎ cva 30952   ·_ih csp 30954  norm_ℎcno 30955   C_ℋ cch 30961  ⊥cort 30962   ∨_ℋ chj 30965  proj_ℎcpjh 30969  CHStateschst 30995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cc 10504  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263  ax-mulf 11264  ax-hilex 31031  ax-hfvadd 31032  ax-hvcom 31033  ax-hvass 31034  ax-hv0cl 31035  ax-hvaddid 31036  ax-hfvmul 31037  ax-hvmulid 31038  ax-hvmulass 31039  ax-hvdistr1 31040  ax-hvdistr2 31041  ax-hvmul0 31042  ax-hfi 31111  ax-his1 31114  ax-his2 31115  ax-his3 31116  ax-his4 31117  ax-hcompl 31234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-omul 8527  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-acn 10011  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-lm 23258  df-haus 23344  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-cfil 25308  df-cau 25309  df-cmet 25310  df-grpo 30525  df-gid 30526  df-ginv 30527  df-gdiv 30528  df-ablo 30577  df-vc 30591  df-nv 30624  df-va 30627  df-ba 30628  df-sm 30629  df-0v 30630  df-vs 30631  df-nmcv 30632  df-ims 30633  df-dip 30733  df-ssp 30754  df-ph 30845  df-cbn 30895  df-hnorm 31000  df-hba 31001  df-hvsub 31003  df-hlim 31004  df-hcau 31005  df-sh 31239  df-ch 31253  df-oc 31284  df-ch0 31285  df-shs 31340  df-chj 31342  df-pjh 31427  df-hst 32244

This theorem is referenced by:  hstrlem3  32293