Theorem catcinv 49388

Description: The property "𝐹 is an inverse of 𝐺 " in a category of small categories (in a universe). (Contributed by Zhi Wang, 14-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
catcinv.c	⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
catcinv.n	⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
catcinv.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
catcinv.i	⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝑋)
catcinv.j	⊢ 𝐽 = (idfunc‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
catcinv	⊢ (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ ((𝐺 ∘func 𝐹) = 𝐼 ∧ (𝐹 ∘func 𝐺) = 𝐽)))

Proof of Theorem catcinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		catcinv.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
2		catcinv.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
3		catcinv.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝑋)
4		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Sect‘𝐶) = (Sect‘𝐶)
5	1, 2, 3, 4	catcsect 49387	. . 3 ⊢ (𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝐺 ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (𝐺 ∘func 𝐹) = 𝐼))
6		catcinv.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (idfunc‘𝑌)
7	1, 2, 6, 4	catcsect 49387	. . . 4 ⊢ (𝐺(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹 ↔ ((𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝐹 ∘func 𝐺) = 𝐽))
8		ancom 460	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)))
9	7, 8	bianbi 627	. . 3 ⊢ (𝐺(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹 ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (𝐹 ∘func 𝐺) = 𝐽))
10	5, 9	anbi12i 628	. 2 ⊢ ((𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹) ↔ (((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (𝐺 ∘func 𝐹) = 𝐼) ∧ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (𝐹 ∘func 𝐺) = 𝐽)))
11		catcinv.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
12	11, 4	isinv2 49015	. 2 ⊢ (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹))
13		anandi 676	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ ((𝐺 ∘func 𝐹) = 𝐼 ∧ (𝐹 ∘func 𝐺) = 𝐽)) ↔ (((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (𝐺 ∘func 𝐹) = 𝐼) ∧ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (𝐹 ∘func 𝐺) = 𝐽)))
14	10, 12, 13	3bitr4i 303	1 ⊢ (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ ((𝐺 ∘func 𝐹) = 𝐼 ∧ (𝐹 ∘func 𝐺) = 𝐽)))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Hom chom 17231  Sectcsect 17706  Invcinv 17707  id_funccidfu 17817   ∘_func ccofu 17818  CatCatccatc 18060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-hom 17244  df-cco 17245  df-cat 17629  df-cid 17630  df-sect 17709  df-inv 17710  df-func 17820  df-idfu 17821  df-cofu 17822  df-catc 18061

This theorem is referenced by: (None)