Theorem catcinv 50739

Description: The property "𝐹 is an inverse of 𝐺 " in a category of small categories (in a universe). (Contributed by Zhi Wang, 14-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
catcinv.c	⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
catcinv.n	⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
catcinv.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
catcinv.i	⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝑋)
catcinv.j	⊢ 𝐽 = (idfunc‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
catcinv	⊢ (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ ((𝐺 ∘func 𝐹) = 𝐼 ∧ (𝐹 ∘func 𝐺) = 𝐽)))

Proof of Theorem catcinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		catcinv.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
2		catcinv.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
3		catcinv.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝑋)
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Sect‘𝐶) = (Sect‘𝐶)
5	1, 2, 3, 4	catcsect 50738	. . 3 ⊢ (𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝐺 ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (𝐺 ∘func 𝐹) = 𝐼))
6		catcinv.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (idfunc‘𝑌)
7	1, 2, 6, 4	catcsect 50738	. . . 4 ⊢ (𝐺(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹 ↔ ((𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝐹 ∘func 𝐺) = 𝐽))
8		ancom 466	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)))
9	7, 8	bianbi 639	. . 3 ⊢ (𝐺(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹 ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (𝐹 ∘func 𝐺) = 𝐽))
10	5, 9	anbi12i 640	. 2 ⊢ ((𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹) ↔ (((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (𝐺 ∘func 𝐹) = 𝐼) ∧ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (𝐹 ∘func 𝐺) = 𝐽)))
11		catcinv.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
12	11, 4	isinv2 50345	. 2 ⊢ (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹))
13		anandi 689	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ ((𝐺 ∘func 𝐹) = 𝐼 ∧ (𝐹 ∘func 𝐺) = 𝐽)) ↔ (((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (𝐺 ∘func 𝐹) = 𝐼) ∧ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (𝐹 ∘func 𝐺) = 𝐽)))
14	10, 12, 13	3bitr4i 306	1 ⊢ (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ ((𝐺 ∘func 𝐹) = 𝐼 ∧ (𝐹 ∘func 𝐺) = 𝐽)))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Hom chom 17468  Sectcsect 17948  Invcinv 17949  id_funccidfu 18059   ∘_func ccofu 18060  CatCatccatc 18302

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-map 8877  df-ixp 8954  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-fz 13667  df-struct 17354  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-hom 17481  df-cco 17482  df-cat 17871  df-cid 17872  df-sect 17951  df-inv 17952  df-func 18062  df-idfu 18063  df-cofu 18064  df-catc 18303

This theorem is used by: (None)