Theorem catcinv 50154

Description: The property "𝐹 is an inverse of 𝐺 " in a category of small categories (in a universe). (Contributed by Zhi Wang, 14-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
catcinv.c	⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
catcinv.n	⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
catcinv.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
catcinv.i	⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝑋)
catcinv.j	⊢ 𝐽 = (idfunc‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
catcinv	⊢ (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ ((𝐺 ∘func 𝐹) = 𝐼 ∧ (𝐹 ∘func 𝐺) = 𝐽)))

Proof of Theorem catcinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		catcinv.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
2		catcinv.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
3		catcinv.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝑋)
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Sect‘𝐶) = (Sect‘𝐶)
5	1, 2, 3, 4	catcsect 50153	. . 3 ⊢ (𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝐺 ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (𝐺 ∘func 𝐹) = 𝐼))
6		catcinv.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (idfunc‘𝑌)
7	1, 2, 6, 4	catcsect 50153	. . . 4 ⊢ (𝐺(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹 ↔ ((𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝐹 ∘func 𝐺) = 𝐽))
8		ancom 465	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)))
9	7, 8	bianbi 638	. . 3 ⊢ (𝐺(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹 ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (𝐹 ∘func 𝐺) = 𝐽))
10	5, 9	anbi12i 639	. 2 ⊢ ((𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹) ↔ (((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (𝐺 ∘func 𝐹) = 𝐼) ∧ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (𝐹 ∘func 𝐺) = 𝐽)))
11		catcinv.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
12	11, 4	isinv2 49781	. 2 ⊢ (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹))
13		anandi 688	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ ((𝐺 ∘func 𝐹) = 𝐼 ∧ (𝐹 ∘func 𝐺) = 𝐽)) ↔ (((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (𝐺 ∘func 𝐹) = 𝐼) ∧ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (𝐹 ∘func 𝐺) = 𝐽)))
14	10, 12, 13	3bitr4i 306	1 ⊢ (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ ((𝐺 ∘func 𝐹) = 𝐼 ∧ (𝐹 ∘func 𝐺) = 𝐽)))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Hom chom 17322  Sectcsect 17802  Invcinv 17803  id_funccidfu 17913   ∘_func ccofu 17914  CatCatccatc 18156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-fz 13537  df-struct 17208  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-hom 17335  df-cco 17336  df-cat 17725  df-cid 17726  df-sect 17805  df-inv 17806  df-func 17916  df-idfu 17917  df-cofu 17918  df-catc 18157

This theorem is referenced by: (None)