Theorem catcinv 50451

Description: The property "𝐹 is an inverse of 𝐺 " in a category of small categories (in a universe). (Contributed by Zhi Wang, 14-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
catcinv.c	⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
catcinv.n	⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
catcinv.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
catcinv.i	⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝑋)
catcinv.j	⊢ 𝐽 = (idfunc‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
catcinv	⊢ (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ ((𝐺 ∘func 𝐹) = 𝐼 ∧ (𝐹 ∘func 𝐺) = 𝐽)))

Proof of Theorem catcinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		catcinv.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
2		catcinv.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
3		catcinv.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝑋)
4		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Sect‘𝐶) = (Sect‘𝐶)
5	1, 2, 3, 4	catcsect 50450	. . 3 ⊢ (𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝐺 ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (𝐺 ∘func 𝐹) = 𝐼))
6		catcinv.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (idfunc‘𝑌)
7	1, 2, 6, 4	catcsect 50450	. . . 4 ⊢ (𝐺(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹 ↔ ((𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝐹 ∘func 𝐺) = 𝐽))
8		ancom 466	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)))
9	7, 8	bianbi 639	. . 3 ⊢ (𝐺(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹 ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (𝐹 ∘func 𝐺) = 𝐽))
10	5, 9	anbi12i 640	. 2 ⊢ ((𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹) ↔ (((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (𝐺 ∘func 𝐹) = 𝐼) ∧ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (𝐹 ∘func 𝐺) = 𝐽)))
11		catcinv.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
12	11, 4	isinv2 50078	. 2 ⊢ (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝐺 ∧ 𝐺(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹))
13		anandi 689	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ ((𝐺 ∘func 𝐹) = 𝐼 ∧ (𝐹 ∘func 𝐺) = 𝐽)) ↔ (((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (𝐺 ∘func 𝐹) = 𝐼) ∧ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (𝐹 ∘func 𝐺) = 𝐽)))
14	10, 12, 13	3bitr4i 306	1 ⊢ (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ ((𝐺 ∘func 𝐹) = 𝐼 ∧ (𝐹 ∘func 𝐺) = 𝐽)))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Hom chom 17419  Sectcsect 17899  Invcinv 17900  id_funccidfu 18010   ∘_func ccofu 18011  CatCatccatc 18253

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-fz 13621  df-struct 17305  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-hom 17432  df-cco 17433  df-cat 17822  df-cid 17823  df-sect 17902  df-inv 17903  df-func 18013  df-idfu 18014  df-cofu 18015  df-catc 18254

This theorem is used by: (None)