Theorem isofval 17681

Description: Function value of the function returning the isomorphisms of a category. (Contributed by AV, 5-Apr-2017.)

Assertion

Ref	Expression
isofval	⊢ (𝐶 ∈ Cat → (Iso‘𝐶) = ((𝑥 ∈ V ↦ dom 𝑥) ∘ (Inv‘𝐶)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Proof of Theorem isofval

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-iso 17673	. 2 ⊢ Iso = (𝑐 ∈ Cat ↦ ((𝑥 ∈ V ↦ dom 𝑥) ∘ (Inv‘𝑐)))
2		fveq2 6834	. . 3 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (Inv‘𝑐) = (Inv‘𝐶))
3	2	coeq2d 5811	. 2 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑥 ∈ V ↦ dom 𝑥) ∘ (Inv‘𝑐)) = ((𝑥 ∈ V ↦ dom 𝑥) ∘ (Inv‘𝐶)))
4		id 22	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝐶 ∈ Cat)
5		funmpt 6530	. . 3 ⊢ Fun (𝑥 ∈ V ↦ dom 𝑥)
6		fvexd 6849	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (Inv‘𝐶) ∈ V)
7		cofunexg 7893	. . 3 ⊢ ((Fun (𝑥 ∈ V ↦ dom 𝑥) ∧ (Inv‘𝐶) ∈ V) → ((𝑥 ∈ V ↦ dom 𝑥) ∘ (Inv‘𝐶)) ∈ V)
8	5, 6, 7	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ((𝑥 ∈ V ↦ dom 𝑥) ∘ (Inv‘𝐶)) ∈ V)
9	1, 3, 4, 8	fvmptd3 6964	1 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (Iso‘𝐶) = ((𝑥 ∈ V ↦ dom 𝑥) ∘ (Inv‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   ↦ cmpt 5179  dom cdm 5624   ∘ ccom 5628  Fun wfun 6486  ‘cfv 6492  Catccat 17587  Invcinv 17669  Isociso 17670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-iso 17673

This theorem is referenced by:  isoval  17689  isofn  17699  isofnALT  49272