Theorem isofval 17815

Description: Function value of the function returning the isomorphisms of a category. (Contributed by AV, 5-Apr-2017.)

Assertion

Ref	Expression
isofval	⊢ (𝐶 ∈ Cat → (Iso‘𝐶) = ((𝑥 ∈ V ↦ dom 𝑥) ∘ (Inv‘𝐶)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Proof of Theorem isofval

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-iso 17807	. 2 ⊢ Iso = (𝑐 ∈ Cat ↦ ((𝑥 ∈ V ↦ dom 𝑥) ∘ (Inv‘𝑐)))
2		fveq2 6883	. . 3 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (Inv‘𝑐) = (Inv‘𝐶))
3	2	coeq2d 5850	. 2 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑥 ∈ V ↦ dom 𝑥) ∘ (Inv‘𝑐)) = ((𝑥 ∈ V ↦ dom 𝑥) ∘ (Inv‘𝐶)))
4		id 23	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝐶 ∈ Cat)
5		funmpt 6576	. . 3 ⊢ Fun (𝑥 ∈ V ↦ dom 𝑥)
6		fvexd 6898	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (Inv‘𝐶) ∈ V)
7		cofunexg 7947	. . 3 ⊢ ((Fun (𝑥 ∈ V ↦ dom 𝑥) ∧ (Inv‘𝐶) ∈ V) → ((𝑥 ∈ V ↦ dom 𝑥) ∘ (Inv‘𝐶)) ∈ V)
8	5, 6, 7	sylancr 598	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ((𝑥 ∈ V ↦ dom 𝑥) ∘ (Inv‘𝐶)) ∈ V)
9	1, 3, 4, 8	fvmptd3 7015	1 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (Iso‘𝐶) = ((𝑥 ∈ V ↦ dom 𝑥) ∘ (Inv‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5663   ∘ ccom 5667  Fun wfun 6532  ‘cfv 6538  Catccat 17721  Invcinv 17803  Isociso 17804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-iso 17807

This theorem is referenced by:  isoval  17823  isofn  17833  isofnALT  49792