Theorem isofval 17719

Description: Function value of the function returning the isomorphisms of a category. (Contributed by AV, 5-Apr-2017.)

Assertion

Ref	Expression
isofval	⊢ (𝐶 ∈ Cat → (Iso‘𝐶) = ((𝑥 ∈ V ↦ dom 𝑥) ∘ (Inv‘𝐶)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Proof of Theorem isofval

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-iso 17711	. 2 ⊢ Iso = (𝑐 ∈ Cat ↦ ((𝑥 ∈ V ↦ dom 𝑥) ∘ (Inv‘𝑐)))
2		fveq2 6858	. . 3 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (Inv‘𝑐) = (Inv‘𝐶))
3	2	coeq2d 5826	. 2 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑥 ∈ V ↦ dom 𝑥) ∘ (Inv‘𝑐)) = ((𝑥 ∈ V ↦ dom 𝑥) ∘ (Inv‘𝐶)))
4		id 22	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝐶 ∈ Cat)
5		funmpt 6554	. . 3 ⊢ Fun (𝑥 ∈ V ↦ dom 𝑥)
6		fvexd 6873	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (Inv‘𝐶) ∈ V)
7		cofunexg 7927	. . 3 ⊢ ((Fun (𝑥 ∈ V ↦ dom 𝑥) ∧ (Inv‘𝐶) ∈ V) → ((𝑥 ∈ V ↦ dom 𝑥) ∘ (Inv‘𝐶)) ∈ V)
8	5, 6, 7	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ((𝑥 ∈ V ↦ dom 𝑥) ∘ (Inv‘𝐶)) ∈ V)
9	1, 3, 4, 8	fvmptd3 6991	1 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (Iso‘𝐶) = ((𝑥 ∈ V ↦ dom 𝑥) ∘ (Inv‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ↦ cmpt 5188  dom cdm 5638   ∘ ccom 5642  Fun wfun 6505  ‘cfv 6511  Catccat 17625  Invcinv 17707  Isociso 17708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-iso 17711

This theorem is referenced by:  isoval  17727  isofn  17737  isofnALT  49020