Theorem isofval 17802

Description: Function value of the function returning the isomorphisms of a category. (Contributed by AV, 5-Apr-2017.)

Assertion

Ref	Expression
isofval	⊢ (𝐶 ∈ Cat → (Iso‘𝐶) = ((𝑥 ∈ V ↦ dom 𝑥) ∘ (Inv‘𝐶)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Proof of Theorem isofval

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-iso 17794	. 2 ⊢ Iso = (𝑐 ∈ Cat ↦ ((𝑥 ∈ V ↦ dom 𝑥) ∘ (Inv‘𝑐)))
2		fveq2 6871	. . 3 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (Inv‘𝑐) = (Inv‘𝐶))
3	2	coeq2d 5838	. 2 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑥 ∈ V ↦ dom 𝑥) ∘ (Inv‘𝑐)) = ((𝑥 ∈ V ↦ dom 𝑥) ∘ (Inv‘𝐶)))
4		id 23	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝐶 ∈ Cat)
5		funmpt 6563	. . 3 ⊢ Fun (𝑥 ∈ V ↦ dom 𝑥)
6		fvexd 6886	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (Inv‘𝐶) ∈ V)
7		cofunexg 7934	. . 3 ⊢ ((Fun (𝑥 ∈ V ↦ dom 𝑥) ∧ (Inv‘𝐶) ∈ V) → ((𝑥 ∈ V ↦ dom 𝑥) ∘ (Inv‘𝐶)) ∈ V)
8	5, 6, 7	sylancr 598	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ((𝑥 ∈ V ↦ dom 𝑥) ∘ (Inv‘𝐶)) ∈ V)
9	1, 3, 4, 8	fvmptd3 7003	1 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (Iso‘𝐶) = ((𝑥 ∈ V ↦ dom 𝑥) ∘ (Inv‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457   ↦ cmpt 5185  dom cdm 5651   ∘ ccom 5655  Fun wfun 6519  ‘cfv 6525  Catccat 17708  Invcinv 17790  Isociso 17791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-iso 17794

This theorem is referenced by:  isoval  17810  isofn  17820  isofnALT  49661