Theorem isofval 17773

Description: Function value of the function returning the isomorphisms of a category. (Contributed by AV, 5-Apr-2017.)

Assertion

Ref	Expression
isofval	⊢ (𝐶 ∈ Cat → (Iso‘𝐶) = ((𝑥 ∈ V ↦ dom 𝑥) ∘ (Inv‘𝐶)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Proof of Theorem isofval

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-iso 17765	. 2 ⊢ Iso = (𝑐 ∈ Cat ↦ ((𝑥 ∈ V ↦ dom 𝑥) ∘ (Inv‘𝑐)))
2		fveq2 6863	. . 3 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (Inv‘𝑐) = (Inv‘𝐶))
3	2	coeq2d 5832	. 2 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑥 ∈ V ↦ dom 𝑥) ∘ (Inv‘𝑐)) = ((𝑥 ∈ V ↦ dom 𝑥) ∘ (Inv‘𝐶)))
4		id 22	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝐶 ∈ Cat)
5		funmpt 6555	. . 3 ⊢ Fun (𝑥 ∈ V ↦ dom 𝑥)
6		fvexd 6878	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (Inv‘𝐶) ∈ V)
7		cofunexg 7926	. . 3 ⊢ ((Fun (𝑥 ∈ V ↦ dom 𝑥) ∧ (Inv‘𝐶) ∈ V) → ((𝑥 ∈ V ↦ dom 𝑥) ∘ (Inv‘𝐶)) ∈ V)
8	5, 6, 7	sylancr 596	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ((𝑥 ∈ V ↦ dom 𝑥) ∘ (Inv‘𝐶)) ∈ V)
9	1, 3, 4, 8	fvmptd3 6995	1 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (Iso‘𝐶) = ((𝑥 ∈ V ↦ dom 𝑥) ∘ (Inv‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   ↦ cmpt 5180  dom cdm 5645   ∘ ccom 5649  Fun wfun 6511  ‘cfv 6517  Catccat 17679  Invcinv 17761  Isociso 17762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-iso 17765

This theorem is referenced by:  isoval  17781  isofn  17791  isofnALT  49616