Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  istendod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem istendod 40089
Description: Deduce the predicate "is a trace-preserving endomorphism". (Contributed by NM, 9-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoset.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
tendoset.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
tendoset.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendoset.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendoset.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
istendod.1 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
istendod.2 (πœ‘ β†’ 𝑆:π‘‡βŸΆπ‘‡)
istendod.3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (π‘†β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = ((π‘†β€˜π‘“) ∘ (π‘†β€˜π‘”)))
istendod.4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(π‘†β€˜π‘“)) ≀ (π‘…β€˜π‘“))
Assertion
Ref Expression
istendod (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝐾   𝑇,𝑓,𝑔   𝑓,π‘Š,𝑔   𝑆,𝑓,𝑔   ≀ ,𝑓   𝑅,𝑓   πœ‘,𝑓,𝑔
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑔)   𝐸(𝑓,𝑔)   𝐻(𝑓,𝑔)   ≀ (𝑔)   𝑉(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem istendod
StepHypRef Expression
1 istendod.2 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆:π‘‡βŸΆπ‘‡)
2 istendod.3 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (π‘†β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = ((π‘†β€˜π‘“) ∘ (π‘†β€˜π‘”)))
323expb 1117 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇)) β†’ (π‘†β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = ((π‘†β€˜π‘“) ∘ (π‘†β€˜π‘”)))
43ralrimivva 3192 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 βˆ€π‘” ∈ 𝑇 (π‘†β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = ((π‘†β€˜π‘“) ∘ (π‘†β€˜π‘”)))
5 istendod.4 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(π‘†β€˜π‘“)) ≀ (π‘…β€˜π‘“))
65ralrimiva 3138 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 (π‘…β€˜(π‘†β€˜π‘“)) ≀ (π‘…β€˜π‘“))
7 istendod.1 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
8 tendoset.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
9 tendoset.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
10 tendoset.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
11 tendoset.r . . . 4 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
12 tendoset.e . . . 4 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
138, 9, 10, 11, 12istendo 40087 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑆 ∈ 𝐸 ↔ (𝑆:π‘‡βŸΆπ‘‡ ∧ βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 βˆ€π‘” ∈ 𝑇 (π‘†β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = ((π‘†β€˜π‘“) ∘ (π‘†β€˜π‘”)) ∧ βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 (π‘…β€˜(π‘†β€˜π‘“)) ≀ (π‘…β€˜π‘“))))
147, 13syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∈ 𝐸 ↔ (𝑆:π‘‡βŸΆπ‘‡ ∧ βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 βˆ€π‘” ∈ 𝑇 (π‘†β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = ((π‘†β€˜π‘“) ∘ (π‘†β€˜π‘”)) ∧ βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 (π‘…β€˜(π‘†β€˜π‘“)) ≀ (π‘…β€˜π‘“))))
151, 4, 6, 14mpbir3and 1339 1 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053   class class class wbr 5138   ∘ ccom 5670  βŸΆwf 6529  β€˜cfv 6533  lecple 17200  LHypclh 39311  LTrncltrn 39428  trLctrl 39485  TEndoctendo 40079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-map 8817  df-tendo 40082
This theorem is referenced by:  tendoidcl  40096  tendococl  40099  tendoplcl  40108  tendo0cl  40117  tendoicl  40123  cdlemk56  40298
  Copyright terms: Public domain W3C validator