Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  istendod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem istendod 38815
Description: Deduce the predicate "is a trace-preserving endomorphism". (Contributed by NM, 9-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoset.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
tendoset.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
tendoset.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendoset.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendoset.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
istendod.1 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
istendod.2 (πœ‘ β†’ 𝑆:π‘‡βŸΆπ‘‡)
istendod.3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (π‘†β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = ((π‘†β€˜π‘“) ∘ (π‘†β€˜π‘”)))
istendod.4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(π‘†β€˜π‘“)) ≀ (π‘…β€˜π‘“))
Assertion
Ref Expression
istendod (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝐾   𝑇,𝑓,𝑔   𝑓,π‘Š,𝑔   𝑆,𝑓,𝑔   ≀ ,𝑓   𝑅,𝑓   πœ‘,𝑓,𝑔
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑔)   𝐸(𝑓,𝑔)   𝐻(𝑓,𝑔)   ≀ (𝑔)   𝑉(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem istendod
StepHypRef Expression
1 istendod.2 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆:π‘‡βŸΆπ‘‡)
2 istendod.3 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (π‘†β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = ((π‘†β€˜π‘“) ∘ (π‘†β€˜π‘”)))
323expb 1120 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇)) β†’ (π‘†β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = ((π‘†β€˜π‘“) ∘ (π‘†β€˜π‘”)))
43ralrimivva 3194 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 βˆ€π‘” ∈ 𝑇 (π‘†β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = ((π‘†β€˜π‘“) ∘ (π‘†β€˜π‘”)))
5 istendod.4 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(π‘†β€˜π‘“)) ≀ (π‘…β€˜π‘“))
65ralrimiva 3140 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 (π‘…β€˜(π‘†β€˜π‘“)) ≀ (π‘…β€˜π‘“))
7 istendod.1 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
8 tendoset.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
9 tendoset.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
10 tendoset.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
11 tendoset.r . . . 4 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
12 tendoset.e . . . 4 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
138, 9, 10, 11, 12istendo 38813 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑆 ∈ 𝐸 ↔ (𝑆:π‘‡βŸΆπ‘‡ ∧ βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 βˆ€π‘” ∈ 𝑇 (π‘†β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = ((π‘†β€˜π‘“) ∘ (π‘†β€˜π‘”)) ∧ βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 (π‘…β€˜(π‘†β€˜π‘“)) ≀ (π‘…β€˜π‘“))))
147, 13syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∈ 𝐸 ↔ (𝑆:π‘‡βŸΆπ‘‡ ∧ βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 βˆ€π‘” ∈ 𝑇 (π‘†β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = ((π‘†β€˜π‘“) ∘ (π‘†β€˜π‘”)) ∧ βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 (π‘…β€˜(π‘†β€˜π‘“)) ≀ (π‘…β€˜π‘“))))
151, 4, 6, 14mpbir3and 1342 1 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3062   class class class wbr 5081   ∘ ccom 5600  βŸΆwf 6450  β€˜cfv 6454  lecple 17010  LHypclh 38037  LTrncltrn 38154  trLctrl 38211  TEndoctendo 38805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7616
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5496  df-xp 5602  df-rel 5603  df-cnv 5604  df-co 5605  df-dm 5606  df-rn 5607  df-res 5608  df-ima 5609  df-iota 6406  df-fun 6456  df-fn 6457  df-f 6458  df-f1 6459  df-fo 6460  df-f1o 6461  df-fv 6462  df-ov 7306  df-oprab 7307  df-mpo 7308  df-map 8644  df-tendo 38808
This theorem is referenced by:  tendoidcl  38822  tendococl  38825  tendoplcl  38834  tendo0cl  38843  tendoicl  38849  cdlemk56  39024
  Copyright terms: Public domain W3C validator