Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  istendod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem istendod 39622
Description: Deduce the predicate "is a trace-preserving endomorphism". (Contributed by NM, 9-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoset.l = (le‘𝐾)
tendoset.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendoset.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendoset.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
tendoset.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
istendod.1 (𝜑 → (𝐾𝑉𝑊𝐻))
istendod.2 (𝜑𝑆:𝑇𝑇)
istendod.3 ((𝜑𝑓𝑇𝑔𝑇) → (𝑆‘(𝑓𝑔)) = ((𝑆𝑓) ∘ (𝑆𝑔)))
istendod.4 ((𝜑𝑓𝑇) → (𝑅‘(𝑆𝑓)) (𝑅𝑓))
Assertion
Ref Expression
istendod (𝜑𝑆𝐸)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝐾   𝑇,𝑓,𝑔   𝑓,𝑊,𝑔   𝑆,𝑓,𝑔   ,𝑓   𝑅,𝑓   𝜑,𝑓,𝑔
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑔)   𝐸(𝑓,𝑔)   𝐻(𝑓,𝑔)   (𝑔)   𝑉(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem istendod
StepHypRef Expression
1 istendod.2 . 2 (𝜑𝑆:𝑇𝑇)
2 istendod.3 . . . 4 ((𝜑𝑓𝑇𝑔𝑇) → (𝑆‘(𝑓𝑔)) = ((𝑆𝑓) ∘ (𝑆𝑔)))
323expb 1121 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑇𝑔𝑇)) → (𝑆‘(𝑓𝑔)) = ((𝑆𝑓) ∘ (𝑆𝑔)))
43ralrimivva 3201 . 2 (𝜑 → ∀𝑓𝑇𝑔𝑇 (𝑆‘(𝑓𝑔)) = ((𝑆𝑓) ∘ (𝑆𝑔)))
5 istendod.4 . . 3 ((𝜑𝑓𝑇) → (𝑅‘(𝑆𝑓)) (𝑅𝑓))
65ralrimiva 3147 . 2 (𝜑 → ∀𝑓𝑇 (𝑅‘(𝑆𝑓)) (𝑅𝑓))
7 istendod.1 . . 3 (𝜑 → (𝐾𝑉𝑊𝐻))
8 tendoset.l . . . 4 = (le‘𝐾)
9 tendoset.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
10 tendoset.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
11 tendoset.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
12 tendoset.e . . . 4 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
138, 9, 10, 11, 12istendo 39620 . . 3 ((𝐾𝑉𝑊𝐻) → (𝑆𝐸 ↔ (𝑆:𝑇𝑇 ∧ ∀𝑓𝑇𝑔𝑇 (𝑆‘(𝑓𝑔)) = ((𝑆𝑓) ∘ (𝑆𝑔)) ∧ ∀𝑓𝑇 (𝑅‘(𝑆𝑓)) (𝑅𝑓))))
147, 13syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑆𝐸 ↔ (𝑆:𝑇𝑇 ∧ ∀𝑓𝑇𝑔𝑇 (𝑆‘(𝑓𝑔)) = ((𝑆𝑓) ∘ (𝑆𝑔)) ∧ ∀𝑓𝑇 (𝑅‘(𝑆𝑓)) (𝑅𝑓))))
151, 4, 6, 14mpbir3and 1343 1 (𝜑𝑆𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3062   class class class wbr 5148  ccom 5680  wf 6537  cfv 6541  lecple 17201  LHypclh 38844  LTrncltrn 38961  trLctrl 39018  TEndoctendo 39612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-map 8819  df-tendo 39615
This theorem is referenced by:  tendoidcl  39629  tendococl  39632  tendoplcl  39641  tendo0cl  39650  tendoicl  39656  cdlemk56  39831
  Copyright terms: Public domain W3C validator