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Theorem tendococl 39643
Description: The composition of two trace-preserving endomorphisms (multiplication in the endormorphism ring) is a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 9-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoco.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
tendoco.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
tendococl (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) β†’ (𝑆 ∘ 𝑇) ∈ 𝐸)

Proof of Theorem tendococl
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . 2 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
2 tendoco.h . 2 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
3 eqid 2733 . 2 ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 eqid 2733 . 2 ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 tendoco.e . 2 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 simp1 1137 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
7 simp2 1138 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) β†’ 𝑆 ∈ 𝐸)
82, 3, 5tendof 39634 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ 𝑆:((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)⟢((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
96, 7, 8syl2anc 585 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) β†’ 𝑆:((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)⟢((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
10 simp3 1139 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) β†’ 𝑇 ∈ 𝐸)
112, 3, 5tendof 39634 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) β†’ 𝑇:((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)⟢((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
126, 10, 11syl2anc 585 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) β†’ 𝑇:((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)⟢((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
13 fco 6742 . . 3 ((𝑆:((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)⟢((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑇:((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)⟢((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (𝑆 ∘ 𝑇):((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)⟢((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
149, 12, 13syl2anc 585 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) β†’ (𝑆 ∘ 𝑇):((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)⟢((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
15 simp11l 1285 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
16 simp11r 1286 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
17 simp13 1206 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ 𝑇 ∈ 𝐸)
18 simp2 1138 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
19 simp3 1139 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
202, 3, 5tendovalco 39636 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) β†’ (π‘‡β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = ((π‘‡β€˜π‘“) ∘ (π‘‡β€˜π‘”)))
2115, 16, 17, 18, 19, 20syl32anc 1379 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (π‘‡β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = ((π‘‡β€˜π‘“) ∘ (π‘‡β€˜π‘”)))
2221fveq2d 6896 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (π‘†β€˜(π‘‡β€˜(𝑓 ∘ 𝑔))) = (π‘†β€˜((π‘‡β€˜π‘“) ∘ (π‘‡β€˜π‘”))))
23 simp12 1205 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ 𝑆 ∈ 𝐸)
24 simp11 1204 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
252, 3, 5tendocl 39638 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑇 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (π‘‡β€˜π‘“) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
2624, 17, 18, 25syl3anc 1372 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (π‘‡β€˜π‘“) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
272, 3, 5tendocl 39638 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑇 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (π‘‡β€˜π‘”) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
2824, 17, 19, 27syl3anc 1372 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (π‘‡β€˜π‘”) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
292, 3, 5tendovalco 39636 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ ((π‘‡β€˜π‘“) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ (π‘‡β€˜π‘”) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) β†’ (π‘†β€˜((π‘‡β€˜π‘“) ∘ (π‘‡β€˜π‘”))) = ((π‘†β€˜(π‘‡β€˜π‘“)) ∘ (π‘†β€˜(π‘‡β€˜π‘”))))
3015, 16, 23, 26, 28, 29syl32anc 1379 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (π‘†β€˜((π‘‡β€˜π‘“) ∘ (π‘‡β€˜π‘”))) = ((π‘†β€˜(π‘‡β€˜π‘“)) ∘ (π‘†β€˜(π‘‡β€˜π‘”))))
3122, 30eqtrd 2773 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (π‘†β€˜(π‘‡β€˜(𝑓 ∘ 𝑔))) = ((π‘†β€˜(π‘‡β€˜π‘“)) ∘ (π‘†β€˜(π‘‡β€˜π‘”))))
322, 3ltrnco 39590 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
3324, 18, 19, 32syl3anc 1372 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
342, 3, 5tendocoval 39637 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ ((𝑆 ∘ 𝑇)β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = (π‘†β€˜(π‘‡β€˜(𝑓 ∘ 𝑔))))
3524, 23, 17, 33, 34syl121anc 1376 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ ((𝑆 ∘ 𝑇)β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = (π‘†β€˜(π‘‡β€˜(𝑓 ∘ 𝑔))))
362, 3, 5tendocoval 39637 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ ((𝑆 ∘ 𝑇)β€˜π‘“) = (π‘†β€˜(π‘‡β€˜π‘“)))
3715, 16, 23, 17, 18, 36syl221anc 1382 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ ((𝑆 ∘ 𝑇)β€˜π‘“) = (π‘†β€˜(π‘‡β€˜π‘“)))
382, 3, 5tendocoval 39637 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ ((𝑆 ∘ 𝑇)β€˜π‘”) = (π‘†β€˜(π‘‡β€˜π‘”)))
3915, 16, 23, 17, 19, 38syl221anc 1382 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ ((𝑆 ∘ 𝑇)β€˜π‘”) = (π‘†β€˜(π‘‡β€˜π‘”)))
4037, 39coeq12d 5865 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (((𝑆 ∘ 𝑇)β€˜π‘“) ∘ ((𝑆 ∘ 𝑇)β€˜π‘”)) = ((π‘†β€˜(π‘‡β€˜π‘“)) ∘ (π‘†β€˜(π‘‡β€˜π‘”))))
4131, 35, 403eqtr4d 2783 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ ((𝑆 ∘ 𝑇)β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = (((𝑆 ∘ 𝑇)β€˜π‘“) ∘ ((𝑆 ∘ 𝑇)β€˜π‘”)))
42 eqid 2733 . . 3 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
43 simpl1l 1225 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
4443hllatd 38234 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
45 simpl1 1192 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
46 simpl2 1193 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ 𝑆 ∈ 𝐸)
47 simpl3 1194 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ 𝑇 ∈ 𝐸)
48 simpr 486 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
4945, 46, 47, 48, 36syl121anc 1376 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ ((𝑆 ∘ 𝑇)β€˜π‘“) = (π‘†β€˜(π‘‡β€˜π‘“)))
5045, 47, 48, 25syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (π‘‡β€˜π‘“) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
512, 3, 5tendocl 39638 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (π‘‡β€˜π‘“) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (π‘†β€˜(π‘‡β€˜π‘“)) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
5245, 46, 50, 51syl3anc 1372 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (π‘†β€˜(π‘‡β€˜π‘“)) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
5349, 52eqeltrd 2834 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ ((𝑆 ∘ 𝑇)β€˜π‘“) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
5442, 2, 3, 4trlcl 39035 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑆 ∘ 𝑇)β€˜π‘“) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((𝑆 ∘ 𝑇)β€˜π‘“)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5545, 53, 54syl2anc 585 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((𝑆 ∘ 𝑇)β€˜π‘“)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5642, 2, 3, 4trlcl 39035 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘‡β€˜π‘“) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜π‘“)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5745, 50, 56syl2anc 585 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜π‘“)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5842, 2, 3, 4trlcl 39035 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5945, 48, 58syl2anc 585 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
60 simpl1r 1226 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
6143, 60, 46, 47, 48, 36syl221anc 1382 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ ((𝑆 ∘ 𝑇)β€˜π‘“) = (π‘†β€˜(π‘‡β€˜π‘“)))
6261fveq2d 6896 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((𝑆 ∘ 𝑇)β€˜π‘“)) = (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜(π‘‡β€˜π‘“))))
631, 2, 3, 4, 5tendotp 39632 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (π‘‡β€˜π‘“) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜(π‘‡β€˜π‘“)))(leβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜π‘“)))
6445, 46, 50, 63syl3anc 1372 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜(π‘‡β€˜π‘“)))(leβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜π‘“)))
6562, 64eqbrtrd 5171 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((𝑆 ∘ 𝑇)β€˜π‘“))(leβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜π‘“)))
661, 2, 3, 4, 5tendotp 39632 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑇 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜π‘“))(leβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“))
6745, 47, 48, 66syl3anc 1372 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜π‘“))(leβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“))
6842, 1, 44, 55, 57, 59, 65, 67lattrd 18399 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((𝑆 ∘ 𝑇)β€˜π‘“))(leβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“))
691, 2, 3, 4, 5, 6, 14, 41, 68istendod 39633 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) β†’ (𝑆 ∘ 𝑇) ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  Basecbs 17144  lecple 17204  HLchlt 38220  LHypclh 38855  LTrncltrn 38972  trLctrl 39029  TEndoctendo 39623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-riotaBAD 37823
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-undef 8258  df-map 8822  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-p1 18379  df-lat 18385  df-clat 18452  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-llines 38369  df-lplanes 38370  df-lvols 38371  df-lines 38372  df-psubsp 38374  df-pmap 38375  df-padd 38667  df-lhyp 38859  df-laut 38860  df-ldil 38975  df-ltrn 38976  df-trl 39030  df-tendo 39626
This theorem is referenced by:  tendodi1  39655  tendodi2  39656  tendo0mul  39697  tendo0mulr  39698  tendoconid  39700  cdleml3N  39849  cdleml8  39854  erngdvlem3  39861  erngdvlem3-rN  39869  dvalveclem  39896  dvhvscacl  39974  dvhlveclem  39979  diblss  40041  dicvscacl  40062  dih1dimatlem0  40199
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