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Theorem tendococl 39729
Description: The composition of two trace-preserving endomorphisms (multiplication in the endormorphism ring) is a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 9-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoco.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
tendoco.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
tendococl (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) β†’ (𝑆 ∘ 𝑇) ∈ 𝐸)

Proof of Theorem tendococl
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . 2 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
2 tendoco.h . 2 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
3 eqid 2732 . 2 ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 eqid 2732 . 2 ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 tendoco.e . 2 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 simp1 1136 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
7 simp2 1137 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) β†’ 𝑆 ∈ 𝐸)
82, 3, 5tendof 39720 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ 𝑆:((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)⟢((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
96, 7, 8syl2anc 584 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) β†’ 𝑆:((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)⟢((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
10 simp3 1138 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) β†’ 𝑇 ∈ 𝐸)
112, 3, 5tendof 39720 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) β†’ 𝑇:((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)⟢((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
126, 10, 11syl2anc 584 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) β†’ 𝑇:((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)⟢((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
13 fco 6741 . . 3 ((𝑆:((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)⟢((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑇:((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)⟢((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (𝑆 ∘ 𝑇):((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)⟢((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
149, 12, 13syl2anc 584 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) β†’ (𝑆 ∘ 𝑇):((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)⟢((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
15 simp11l 1284 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
16 simp11r 1285 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
17 simp13 1205 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ 𝑇 ∈ 𝐸)
18 simp2 1137 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
19 simp3 1138 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
202, 3, 5tendovalco 39722 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) β†’ (π‘‡β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = ((π‘‡β€˜π‘“) ∘ (π‘‡β€˜π‘”)))
2115, 16, 17, 18, 19, 20syl32anc 1378 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (π‘‡β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = ((π‘‡β€˜π‘“) ∘ (π‘‡β€˜π‘”)))
2221fveq2d 6895 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (π‘†β€˜(π‘‡β€˜(𝑓 ∘ 𝑔))) = (π‘†β€˜((π‘‡β€˜π‘“) ∘ (π‘‡β€˜π‘”))))
23 simp12 1204 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ 𝑆 ∈ 𝐸)
24 simp11 1203 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
252, 3, 5tendocl 39724 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑇 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (π‘‡β€˜π‘“) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
2624, 17, 18, 25syl3anc 1371 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (π‘‡β€˜π‘“) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
272, 3, 5tendocl 39724 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑇 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (π‘‡β€˜π‘”) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
2824, 17, 19, 27syl3anc 1371 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (π‘‡β€˜π‘”) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
292, 3, 5tendovalco 39722 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ ((π‘‡β€˜π‘“) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ (π‘‡β€˜π‘”) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) β†’ (π‘†β€˜((π‘‡β€˜π‘“) ∘ (π‘‡β€˜π‘”))) = ((π‘†β€˜(π‘‡β€˜π‘“)) ∘ (π‘†β€˜(π‘‡β€˜π‘”))))
3015, 16, 23, 26, 28, 29syl32anc 1378 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (π‘†β€˜((π‘‡β€˜π‘“) ∘ (π‘‡β€˜π‘”))) = ((π‘†β€˜(π‘‡β€˜π‘“)) ∘ (π‘†β€˜(π‘‡β€˜π‘”))))
3122, 30eqtrd 2772 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (π‘†β€˜(π‘‡β€˜(𝑓 ∘ 𝑔))) = ((π‘†β€˜(π‘‡β€˜π‘“)) ∘ (π‘†β€˜(π‘‡β€˜π‘”))))
322, 3ltrnco 39676 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
3324, 18, 19, 32syl3anc 1371 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
342, 3, 5tendocoval 39723 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ ((𝑆 ∘ 𝑇)β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = (π‘†β€˜(π‘‡β€˜(𝑓 ∘ 𝑔))))
3524, 23, 17, 33, 34syl121anc 1375 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ ((𝑆 ∘ 𝑇)β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = (π‘†β€˜(π‘‡β€˜(𝑓 ∘ 𝑔))))
362, 3, 5tendocoval 39723 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ ((𝑆 ∘ 𝑇)β€˜π‘“) = (π‘†β€˜(π‘‡β€˜π‘“)))
3715, 16, 23, 17, 18, 36syl221anc 1381 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ ((𝑆 ∘ 𝑇)β€˜π‘“) = (π‘†β€˜(π‘‡β€˜π‘“)))
382, 3, 5tendocoval 39723 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ ((𝑆 ∘ 𝑇)β€˜π‘”) = (π‘†β€˜(π‘‡β€˜π‘”)))
3915, 16, 23, 17, 19, 38syl221anc 1381 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ ((𝑆 ∘ 𝑇)β€˜π‘”) = (π‘†β€˜(π‘‡β€˜π‘”)))
4037, 39coeq12d 5864 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (((𝑆 ∘ 𝑇)β€˜π‘“) ∘ ((𝑆 ∘ 𝑇)β€˜π‘”)) = ((π‘†β€˜(π‘‡β€˜π‘“)) ∘ (π‘†β€˜(π‘‡β€˜π‘”))))
4131, 35, 403eqtr4d 2782 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ ((𝑆 ∘ 𝑇)β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = (((𝑆 ∘ 𝑇)β€˜π‘“) ∘ ((𝑆 ∘ 𝑇)β€˜π‘”)))
42 eqid 2732 . . 3 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
43 simpl1l 1224 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
4443hllatd 38320 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
45 simpl1 1191 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
46 simpl2 1192 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ 𝑆 ∈ 𝐸)
47 simpl3 1193 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ 𝑇 ∈ 𝐸)
48 simpr 485 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
4945, 46, 47, 48, 36syl121anc 1375 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ ((𝑆 ∘ 𝑇)β€˜π‘“) = (π‘†β€˜(π‘‡β€˜π‘“)))
5045, 47, 48, 25syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (π‘‡β€˜π‘“) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
512, 3, 5tendocl 39724 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (π‘‡β€˜π‘“) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (π‘†β€˜(π‘‡β€˜π‘“)) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
5245, 46, 50, 51syl3anc 1371 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (π‘†β€˜(π‘‡β€˜π‘“)) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
5349, 52eqeltrd 2833 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ ((𝑆 ∘ 𝑇)β€˜π‘“) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
5442, 2, 3, 4trlcl 39121 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑆 ∘ 𝑇)β€˜π‘“) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((𝑆 ∘ 𝑇)β€˜π‘“)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5545, 53, 54syl2anc 584 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((𝑆 ∘ 𝑇)β€˜π‘“)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5642, 2, 3, 4trlcl 39121 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘‡β€˜π‘“) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜π‘“)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5745, 50, 56syl2anc 584 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜π‘“)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5842, 2, 3, 4trlcl 39121 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5945, 48, 58syl2anc 584 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
60 simpl1r 1225 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
6143, 60, 46, 47, 48, 36syl221anc 1381 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ ((𝑆 ∘ 𝑇)β€˜π‘“) = (π‘†β€˜(π‘‡β€˜π‘“)))
6261fveq2d 6895 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((𝑆 ∘ 𝑇)β€˜π‘“)) = (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜(π‘‡β€˜π‘“))))
631, 2, 3, 4, 5tendotp 39718 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (π‘‡β€˜π‘“) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜(π‘‡β€˜π‘“)))(leβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜π‘“)))
6445, 46, 50, 63syl3anc 1371 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜(π‘‡β€˜π‘“)))(leβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜π‘“)))
6562, 64eqbrtrd 5170 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((𝑆 ∘ 𝑇)β€˜π‘“))(leβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜π‘“)))
661, 2, 3, 4, 5tendotp 39718 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑇 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜π‘“))(leβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“))
6745, 47, 48, 66syl3anc 1371 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜π‘“))(leβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“))
6842, 1, 44, 55, 57, 59, 65, 67lattrd 18401 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((𝑆 ∘ 𝑇)β€˜π‘“))(leβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“))
691, 2, 3, 4, 5, 6, 14, 41, 68istendod 39719 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑇 ∈ 𝐸) β†’ (𝑆 ∘ 𝑇) ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148   ∘ ccom 5680  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  Basecbs 17146  lecple 17206  HLchlt 38306  LHypclh 38941  LTrncltrn 39058  trLctrl 39115  TEndoctendo 39709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-riotaBAD 37909
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-undef 8260  df-map 8824  df-proset 18250  df-poset 18268  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18387  df-clat 18454  df-oposet 38132  df-ol 38134  df-oml 38135  df-covers 38222  df-ats 38223  df-atl 38254  df-cvlat 38278  df-hlat 38307  df-llines 38455  df-lplanes 38456  df-lvols 38457  df-lines 38458  df-psubsp 38460  df-pmap 38461  df-padd 38753  df-lhyp 38945  df-laut 38946  df-ldil 39061  df-ltrn 39062  df-trl 39116  df-tendo 39712
This theorem is referenced by:  tendodi1  39741  tendodi2  39742  tendo0mul  39783  tendo0mulr  39784  tendoconid  39786  cdleml3N  39935  cdleml8  39940  erngdvlem3  39947  erngdvlem3-rN  39955  dvalveclem  39982  dvhvscacl  40060  dvhlveclem  40065  diblss  40127  dicvscacl  40148  dih1dimatlem0  40285
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