Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendo0cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendo0cl 39256
Description: The additive identity is a trace-preserving endormorphism. (Contributed by NM, 12-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendo0.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
tendo0.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
tendo0.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendo0.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendo0.o 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
Assertion
Ref Expression
tendo0cl ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑂 ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓   𝑇,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   π‘Š(𝑓)

Proof of Theorem tendo0cl
Dummy variables 𝑔 β„Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . 2 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
2 tendo0.h . 2 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
3 tendo0.t . 2 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 eqid 2737 . 2 ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 tendo0.e . 2 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 id 22 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
7 tendo0.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
87, 2, 3idltrn 38616 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝐡) ∈ 𝑇)
98adantr 482 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ( I β†Ύ 𝐡) ∈ 𝑇)
10 tendo0.o . . . 4 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
1110tendo0cbv 39252 . . 3 𝑂 = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
129, 11fmptd 7063 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑂:π‘‡βŸΆπ‘‡)
137, 2, 3, 5, 10tendo0co2 39254 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ β„Ž ∈ 𝑇) β†’ (π‘‚β€˜(𝑔 ∘ β„Ž)) = ((π‘‚β€˜π‘”) ∘ (π‘‚β€˜β„Ž)))
147, 2, 3, 5, 10, 1, 4tendo0tp 39255 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘‚β€˜π‘”))(leβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘”))
151, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 13, 14istendod 39228 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑂 ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ↦ cmpt 5189   I cid 5531   β†Ύ cres 5636  β€˜cfv 6497  Basecbs 17084  lecple 17141  HLchlt 37815  LHypclh 38450  LTrncltrn 38567  trLctrl 38624  TEndoctendo 39218
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-riotaBAD 37418
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-undef 8205  df-map 8768  df-proset 18185  df-poset 18203  df-plt 18220  df-lub 18236  df-glb 18237  df-join 18238  df-meet 18239  df-p0 18315  df-p1 18316  df-lat 18322  df-clat 18389  df-oposet 37641  df-ol 37643  df-oml 37644  df-covers 37731  df-ats 37732  df-atl 37763  df-cvlat 37787  df-hlat 37816  df-llines 37964  df-lplanes 37965  df-lvols 37966  df-lines 37967  df-psubsp 37969  df-pmap 37970  df-padd 38262  df-lhyp 38454  df-laut 38455  df-ldil 38570  df-ltrn 38571  df-trl 38625  df-tendo 39221
This theorem is referenced by:  tendo0pl  39257  tendo0plr  39258  tendoipl  39263  tendoid0  39291  tendo0mul  39292  tendo0mulr  39293  tendoex  39441  cdleml5N  39446  erngdvlem1  39454  erngdvlem4  39457  erng0g  39460  erngdvlem1-rN  39462  erngdvlem4-rN  39465  dvh0g  39577  dvhopN  39582  dib1dim  39631  dib1dim2  39634  dibss  39635  diblss  39636  diblsmopel  39637  dicn0  39658  cdlemn4  39664  cdlemn4a  39665  cdlemn6  39668  dihopelvalcpre  39714  dihmeetlem4preN  39772  dihatlat  39800  dihatexv  39804
  Copyright terms: Public domain W3C validator