Theorem tendo0cl 41050

Description: The additive identity is a trace-preserving endormorphism. (Contributed by NM, 12-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendo0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendo0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendo0.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendo0.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendo0.o	⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
tendo0cl	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑂 ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem tendo0cl

Dummy variables 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. 2 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2		tendo0.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		tendo0.t	. 2 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2736	. 2 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
5		tendo0.e	. 2 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6		id 22	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		tendo0.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8	7, 2, 3	idltrn 40410	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇)
10		tendo0.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
11	10	tendo0cbv 41046	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
12	9, 11	fmptd 7059	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑂:𝑇⟶𝑇)
13	7, 2, 3, 5, 10	tendo0co2 41048	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → (𝑂‘(𝑔 ∘ ℎ)) = ((𝑂‘𝑔) ∘ (𝑂‘ℎ)))
14	7, 2, 3, 5, 10, 1, 4	tendo0tp 41049	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑂‘𝑔))(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔))
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 13, 14	istendod 41022	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑂 ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ↦ cmpt 5179   I cid 5518   ↾ cres 5626  ‘cfv 6492  Basecbs 17136  lecple 17184  HLchlt 39610  LHypclh 40244  LTrncltrn 40361  trLctrl 40418  TEndoctendo 41012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-riotaBAD 39213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-undef 8215  df-map 8765  df-proset 18217  df-poset 18236  df-plt 18251  df-lub 18267  df-glb 18268  df-join 18269  df-meet 18270  df-p0 18346  df-p1 18347  df-lat 18355  df-clat 18422  df-oposet 39436  df-ol 39438  df-oml 39439  df-covers 39526  df-ats 39527  df-atl 39558  df-cvlat 39582  df-hlat 39611  df-llines 39758  df-lplanes 39759  df-lvols 39760  df-lines 39761  df-psubsp 39763  df-pmap 39764  df-padd 40056  df-lhyp 40248  df-laut 40249  df-ldil 40364  df-ltrn 40365  df-trl 40419  df-tendo 41015

This theorem is referenced by:  tendo0pl  41051  tendo0plr  41052  tendoipl  41057  tendoid0  41085  tendo0mul  41086  tendo0mulr  41087  tendoex  41235  cdleml5N  41240  erngdvlem1  41248  erngdvlem4  41251  erng0g  41254  erngdvlem1-rN  41256  erngdvlem4-rN  41259  dvh0g  41371  dvhopN  41376  dib1dim  41425  dib1dim2  41428  dibss  41429  diblss  41430  diblsmopel  41431  dicn0  41452  cdlemn4  41458  cdlemn4a  41459  cdlemn6  41462  dihopelvalcpre  41508  dihmeetlem4preN  41566  dihatlat  41594  dihatexv  41598