Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendoidcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendoidcl 40752
Description: The identity is a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 30-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendof.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendof.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendof.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
tendoidcl ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)

Proof of Theorem tendoidcl
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . 2 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2 tendof.h . 2 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 tendof.t . 2 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4 eqid 2735 . 2 ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
5 tendof.e . 2 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6 id 22 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
7 f1oi 6887 . . 3 ( I ↾ 𝑇):𝑇1-1-onto𝑇
8 f1of 6849 . . 3 (( I ↾ 𝑇):𝑇1-1-onto𝑇 → ( I ↾ 𝑇):𝑇𝑇)
97, 8mp1i 13 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇):𝑇𝑇)
102, 3ltrnco 40702 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇𝑔𝑇) → (𝑓𝑔) ∈ 𝑇)
11 fvresi 7193 . . . 4 ((𝑓𝑔) ∈ 𝑇 → (( I ↾ 𝑇)‘(𝑓𝑔)) = (𝑓𝑔))
1210, 11syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇𝑔𝑇) → (( I ↾ 𝑇)‘(𝑓𝑔)) = (𝑓𝑔))
13 fvresi 7193 . . . . 5 (𝑓𝑇 → (( I ↾ 𝑇)‘𝑓) = 𝑓)
14133ad2ant2 1133 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇𝑔𝑇) → (( I ↾ 𝑇)‘𝑓) = 𝑓)
15 fvresi 7193 . . . . 5 (𝑔𝑇 → (( I ↾ 𝑇)‘𝑔) = 𝑔)
16153ad2ant3 1134 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇𝑔𝑇) → (( I ↾ 𝑇)‘𝑔) = 𝑔)
1714, 16coeq12d 5878 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇𝑔𝑇) → ((( I ↾ 𝑇)‘𝑓) ∘ (( I ↾ 𝑇)‘𝑔)) = (𝑓𝑔))
1812, 17eqtr4d 2778 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇𝑔𝑇) → (( I ↾ 𝑇)‘(𝑓𝑔)) = ((( I ↾ 𝑇)‘𝑓) ∘ (( I ↾ 𝑇)‘𝑔)))
1913adantl 481 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (( I ↾ 𝑇)‘𝑓) = 𝑓)
2019fveq2d 6911 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(( I ↾ 𝑇)‘𝑓)) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓))
21 hllat 39345 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2221ad2antrr 726 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → 𝐾 ∈ Lat)
23 eqid 2735 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2423, 2, 3, 4trlcl 40147 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ∈ (Base‘𝐾))
2523, 1latref 18499 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ∈ (Base‘𝐾)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓))
2622, 24, 25syl2anc 584 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓))
2720, 26eqbrtrd 5170 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(( I ↾ 𝑇)‘𝑓))(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓))
281, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 18, 27istendod 40745 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148   I cid 5582  cres 5691  ccom 5693  wf 6559  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  Basecbs 17245  lecple 17305  Latclat 18489  HLchlt 39332  LHypclh 39967  LTrncltrn 40084  trLctrl 40141  TEndoctendo 40735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-riotaBAD 38935
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-undef 8297  df-map 8867  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-llines 39481  df-lplanes 39482  df-lvols 39483  df-lines 39484  df-psubsp 39486  df-pmap 39487  df-padd 39779  df-lhyp 39971  df-laut 39972  df-ldil 40087  df-ltrn 40088  df-trl 40142  df-tendo 40738
This theorem is referenced by:  cdleml8  40966  erng1lem  40970  erngdvlem3  40973  erng1r  40978  erngdvlem3-rN  40981  erngdvlem4-rN  40982  dvalveclem  41008  dvhlveclem  41091  dvheveccl  41095  dvhopN  41099  diclspsn  41177  cdlemn4  41181  cdlemn4a  41182  cdlemn11a  41190  dihord6apre  41239  dihatlat  41317  dihatexv  41321
  Copyright terms: Public domain W3C validator