Theorem tendoidcl 40788

Description: The identity is a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 30-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendof.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendof.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendof.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tendoidcl	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)

Proof of Theorem tendoidcl

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. 2 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2		tendof.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		tendof.t	. 2 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2735	. 2 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
5		tendof.e	. 2 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6		id 22	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		f1oi 6856	. . 3 ⊢ ( I ↾ 𝑇):𝑇–1-1-onto→𝑇
8		f1of 6818	. . 3 ⊢ (( I ↾ 𝑇):𝑇–1-1-onto→𝑇 → ( I ↾ 𝑇):𝑇⟶𝑇)
9	7, 8	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇):𝑇⟶𝑇)
10	2, 3	ltrnco 40738	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ 𝑇)
11		fvresi 7165	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∘ 𝑔) ∈ 𝑇 → (( I ↾ 𝑇)‘(𝑓 ∘ 𝑔)) = (𝑓 ∘ 𝑔))
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝑇)‘(𝑓 ∘ 𝑔)) = (𝑓 ∘ 𝑔))
13		fvresi 7165	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑇 → (( I ↾ 𝑇)‘𝑓) = 𝑓)
14	13	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝑇)‘𝑓) = 𝑓)
15		fvresi 7165	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ 𝑇 → (( I ↾ 𝑇)‘𝑔) = 𝑔)
16	15	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝑇)‘𝑔) = 𝑔)
17	14, 16	coeq12d 5844	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((( I ↾ 𝑇)‘𝑓) ∘ (( I ↾ 𝑇)‘𝑔)) = (𝑓 ∘ 𝑔))
18	12, 17	eqtr4d 2773	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝑇)‘(𝑓 ∘ 𝑔)) = ((( I ↾ 𝑇)‘𝑓) ∘ (( I ↾ 𝑇)‘𝑔)))
19	13	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝑇)‘𝑓) = 𝑓)
20	19	fveq2d 6880	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(( I ↾ 𝑇)‘𝑓)) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓))
21		hllat 39381	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
22	21	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ Lat)
23		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
24	23, 2, 3, 4	trlcl 40183	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ∈ (Base‘𝐾))
25	23, 1	latref 18451	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ∈ (Base‘𝐾)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓))
26	22, 24, 25	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓))
27	20, 26	eqbrtrd 5141	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(( I ↾ 𝑇)‘𝑓))(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓))
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 18, 27	istendod 40781	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119   I cid 5547   ↾ cres 5656   ∘ ccom 5658  ⟶wf 6527  –1-1-onto→wf1o 6530  ‘cfv 6531  Basecbs 17228  lecple 17278  Latclat 18441  HLchlt 39368  LHypclh 40003  LTrncltrn 40120  trLctrl 40177  TEndoctendo 40771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-riotaBAD 38971

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-undef 8272  df-map 8842  df-proset 18306  df-poset 18325  df-plt 18340  df-lub 18356  df-glb 18357  df-join 18358  df-meet 18359  df-p0 18435  df-p1 18436  df-lat 18442  df-clat 18509  df-oposet 39194  df-ol 39196  df-oml 39197  df-covers 39284  df-ats 39285  df-atl 39316  df-cvlat 39340  df-hlat 39369  df-llines 39517  df-lplanes 39518  df-lvols 39519  df-lines 39520  df-psubsp 39522  df-pmap 39523  df-padd 39815  df-lhyp 40007  df-laut 40008  df-ldil 40123  df-ltrn 40124  df-trl 40178  df-tendo 40774

This theorem is referenced by:  cdleml8  41002  erng1lem  41006  erngdvlem3  41009  erng1r  41014  erngdvlem3-rN  41017  erngdvlem4-rN  41018  dvalveclem  41044  dvhlveclem  41127  dvheveccl  41131  dvhopN  41135  diclspsn  41213  cdlemn4  41217  cdlemn4a  41218  cdlemn11a  41226  dihord6apre  41275  dihatlat  41353  dihatexv  41357