Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendoidcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tendoidcl 40298
Description: The identity is a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 30-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendof.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
tendof.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendof.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
tendoidcl ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ 𝐸)
Proof of Theorem tendoidcl
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . 2 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
2 tendof.h . 2 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
3 tendof.t . 2 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 eqid 2725 . 2 ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 tendof.e . 2 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 id 22 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
7 f1oi 6872 . . 3 ( I β†Ύ 𝑇):𝑇–1-1-onto→𝑇
8 f1of 6834 . . 3 (( I β†Ύ 𝑇):𝑇–1-1-onto→𝑇 β†’ ( I β†Ύ 𝑇):π‘‡βŸΆπ‘‡)
97, 8mp1i 13 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝑇):π‘‡βŸΆπ‘‡)
102, 3ltrnco 40248 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ 𝑇)
11 fvresi 7178 . . . 4 ((𝑓 ∘ 𝑔) ∈ 𝑇 β†’ (( I β†Ύ 𝑇)β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = (𝑓 ∘ 𝑔))
1210, 11syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = (𝑓 ∘ 𝑔))
13 fvresi 7178 . . . . 5 (𝑓 ∈ 𝑇 β†’ (( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘“) = 𝑓)
14133ad2ant2 1131 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘“) = 𝑓)
15 fvresi 7178 . . . . 5 (𝑔 ∈ 𝑇 β†’ (( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘”) = 𝑔)
16153ad2ant3 1132 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘”) = 𝑔)
1714, 16coeq12d 5861 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘“) ∘ (( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘”)) = (𝑓 ∘ 𝑔))
1812, 17eqtr4d 2768 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = ((( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘“) ∘ (( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘”)))
1913adantl 480 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘“) = 𝑓)
2019fveq2d 6896 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘“)) = (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“))
21 hllat 38891 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
2221ad2antrr 724 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
23 eqid 2725 . . . . 5 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2423, 2, 3, 4trlcl 39693 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2523, 1latref 18432 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“)(leβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“))
2622, 24, 25syl2anc 582 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“)(leβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“))
2720, 26eqbrtrd 5165 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘“))(leβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“))
281, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 18, 27istendod 40291 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5143   I cid 5569   β†Ύ cres 5674   ∘ ccom 5676  βŸΆwf 6539  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  Basecbs 17179  lecple 17239  Latclat 18422  HLchlt 38878  LHypclh 39513  LTrncltrn 39630  trLctrl 39687  TEndoctendo 40281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-riotaBAD 38481
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-undef 8277  df-map 8845  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-p1 18417  df-lat 18423  df-clat 18490  df-oposet 38704  df-ol 38706  df-oml 38707  df-covers 38794  df-ats 38795  df-atl 38826  df-cvlat 38850  df-hlat 38879  df-llines 39027  df-lplanes 39028  df-lvols 39029  df-lines 39030  df-psubsp 39032  df-pmap 39033  df-padd 39325  df-lhyp 39517  df-laut 39518  df-ldil 39633  df-ltrn 39634  df-trl 39688  df-tendo 40284
This theorem is referenced by:  cdleml8  40512  erng1lem  40516  erngdvlem3  40519  erng1r  40524  erngdvlem3-rN  40527  erngdvlem4-rN  40528  dvalveclem  40554  dvhlveclem  40637  dvheveccl  40641  dvhopN  40645  diclspsn  40723  cdlemn4  40727  cdlemn4a  40728  cdlemn11a  40736  dihord6apre  40785  dihatlat  40863  dihatexv  40867
  Copyright terms: Public domain W3C validator