Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendoidcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendoidcl 36928
Description: The identity is a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 30-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendof.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendof.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendof.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
tendoidcl ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)

Proof of Theorem tendoidcl
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2778 . 2 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2 tendof.h . 2 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 tendof.t . 2 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4 eqid 2778 . 2 ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
5 tendof.e . 2 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6 id 22 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
7 f1oi 6430 . . 3 ( I ↾ 𝑇):𝑇1-1-onto𝑇
8 f1of 6393 . . 3 (( I ↾ 𝑇):𝑇1-1-onto𝑇 → ( I ↾ 𝑇):𝑇𝑇)
97, 8mp1i 13 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇):𝑇𝑇)
102, 3ltrnco 36878 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇𝑔𝑇) → (𝑓𝑔) ∈ 𝑇)
11 fvresi 6708 . . . 4 ((𝑓𝑔) ∈ 𝑇 → (( I ↾ 𝑇)‘(𝑓𝑔)) = (𝑓𝑔))
1210, 11syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇𝑔𝑇) → (( I ↾ 𝑇)‘(𝑓𝑔)) = (𝑓𝑔))
13 fvresi 6708 . . . . 5 (𝑓𝑇 → (( I ↾ 𝑇)‘𝑓) = 𝑓)
14133ad2ant2 1125 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇𝑔𝑇) → (( I ↾ 𝑇)‘𝑓) = 𝑓)
15 fvresi 6708 . . . . 5 (𝑔𝑇 → (( I ↾ 𝑇)‘𝑔) = 𝑔)
16153ad2ant3 1126 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇𝑔𝑇) → (( I ↾ 𝑇)‘𝑔) = 𝑔)
1714, 16coeq12d 5534 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇𝑔𝑇) → ((( I ↾ 𝑇)‘𝑓) ∘ (( I ↾ 𝑇)‘𝑔)) = (𝑓𝑔))
1812, 17eqtr4d 2817 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇𝑔𝑇) → (( I ↾ 𝑇)‘(𝑓𝑔)) = ((( I ↾ 𝑇)‘𝑓) ∘ (( I ↾ 𝑇)‘𝑔)))
1913adantl 475 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (( I ↾ 𝑇)‘𝑓) = 𝑓)
2019fveq2d 6452 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(( I ↾ 𝑇)‘𝑓)) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓))
21 hllat 35522 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2221ad2antrr 716 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → 𝐾 ∈ Lat)
23 eqid 2778 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2423, 2, 3, 4trlcl 36323 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ∈ (Base‘𝐾))
2523, 1latref 17443 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ∈ (Base‘𝐾)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓))
2622, 24, 25syl2anc 579 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓))
2720, 26eqbrtrd 4910 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(( I ↾ 𝑇)‘𝑓))(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓))
281, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 18, 27istendod 36921 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107   class class class wbr 4888   I cid 5262  cres 5359  ccom 5361  wf 6133  1-1-ontowf1o 6136  cfv 6137  Basecbs 16259  lecple 16349  Latclat 17435  HLchlt 35509  LHypclh 36143  LTrncltrn 36260  trLctrl 36317  TEndoctendo 36911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-riotaBAD 35112
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-iin 4758  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-undef 7683  df-map 8144  df-proset 17318  df-poset 17336  df-plt 17348  df-lub 17364  df-glb 17365  df-join 17366  df-meet 17367  df-p0 17429  df-p1 17430  df-lat 17436  df-clat 17498  df-oposet 35335  df-ol 35337  df-oml 35338  df-covers 35425  df-ats 35426  df-atl 35457  df-cvlat 35481  df-hlat 35510  df-llines 35657  df-lplanes 35658  df-lvols 35659  df-lines 35660  df-psubsp 35662  df-pmap 35663  df-padd 35955  df-lhyp 36147  df-laut 36148  df-ldil 36263  df-ltrn 36264  df-trl 36318  df-tendo 36914
This theorem is referenced by:  cdleml8  37142  erng1lem  37146  erngdvlem3  37149  erng1r  37154  erngdvlem3-rN  37157  erngdvlem4-rN  37158  dvalveclem  37184  dvhlveclem  37267  dvheveccl  37271  dvhopN  37275  diclspsn  37353  cdlemn4  37357  cdlemn4a  37358  cdlemn11a  37366  dihord6apre  37415  dihatlat  37493  dihatexv  37497
  Copyright terms: Public domain W3C validator