Theorem tendoidcl 38477

Description: The identity is a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 30-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendof.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendof.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendof.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tendoidcl	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)

Proof of Theorem tendoidcl

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. 2 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2		tendof.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		tendof.t	. 2 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2734	. 2 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
5		tendof.e	. 2 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6		id 22	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		f1oi 6687	. . 3 ⊢ ( I ↾ 𝑇):𝑇–1-1-onto→𝑇
8		f1of 6650	. . 3 ⊢ (( I ↾ 𝑇):𝑇–1-1-onto→𝑇 → ( I ↾ 𝑇):𝑇⟶𝑇)
9	7, 8	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇):𝑇⟶𝑇)
10	2, 3	ltrnco 38427	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ 𝑇)
11		fvresi 6977	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∘ 𝑔) ∈ 𝑇 → (( I ↾ 𝑇)‘(𝑓 ∘ 𝑔)) = (𝑓 ∘ 𝑔))
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝑇)‘(𝑓 ∘ 𝑔)) = (𝑓 ∘ 𝑔))
13		fvresi 6977	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑇 → (( I ↾ 𝑇)‘𝑓) = 𝑓)
14	13	3ad2ant2 1136	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝑇)‘𝑓) = 𝑓)
15		fvresi 6977	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ 𝑇 → (( I ↾ 𝑇)‘𝑔) = 𝑔)
16	15	3ad2ant3 1137	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝑇)‘𝑔) = 𝑔)
17	14, 16	coeq12d 5722	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((( I ↾ 𝑇)‘𝑓) ∘ (( I ↾ 𝑇)‘𝑔)) = (𝑓 ∘ 𝑔))
18	12, 17	eqtr4d 2777	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝑇)‘(𝑓 ∘ 𝑔)) = ((( I ↾ 𝑇)‘𝑓) ∘ (( I ↾ 𝑇)‘𝑔)))
19	13	adantl 485	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝑇)‘𝑓) = 𝑓)
20	19	fveq2d 6710	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(( I ↾ 𝑇)‘𝑓)) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓))
21		hllat 37071	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
22	21	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ Lat)
23		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
24	23, 2, 3, 4	trlcl 37872	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ∈ (Base‘𝐾))
25	23, 1	latref 17919	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ∈ (Base‘𝐾)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓))
26	22, 24, 25	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓))
27	20, 26	eqbrtrd 5065	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(( I ↾ 𝑇)‘𝑓))(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓))
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 18, 27	istendod 38470	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5043   I cid 5443   ↾ cres 5542   ∘ ccom 5544  ⟶wf 6365  –1-1-onto→wf1o 6368  ‘cfv 6369  Basecbs 16684  lecple 16774  Latclat 17909  HLchlt 37058  LHypclh 37692  LTrncltrn 37809  trLctrl 37866  TEndoctendo 38460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5168  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-riotaBAD 36661

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-op 4538  df-uni 4810  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-id 5444  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-1st 7750  df-2nd 7751  df-undef 8004  df-map 8499  df-proset 17774  df-poset 17792  df-plt 17808  df-lub 17824  df-glb 17825  df-join 17826  df-meet 17827  df-p0 17903  df-p1 17904  df-lat 17910  df-clat 17977  df-oposet 36884  df-ol 36886  df-oml 36887  df-covers 36974  df-ats 36975  df-atl 37006  df-cvlat 37030  df-hlat 37059  df-llines 37206  df-lplanes 37207  df-lvols 37208  df-lines 37209  df-psubsp 37211  df-pmap 37212  df-padd 37504  df-lhyp 37696  df-laut 37697  df-ldil 37812  df-ltrn 37813  df-trl 37867  df-tendo 38463

This theorem is referenced by:  cdleml8  38691  erng1lem  38695  erngdvlem3  38698  erng1r  38703  erngdvlem3-rN  38706  erngdvlem4-rN  38707  dvalveclem  38733  dvhlveclem  38816  dvheveccl  38820  dvhopN  38824  diclspsn  38902  cdlemn4  38906  cdlemn4a  38907  cdlemn11a  38915  dihord6apre  38964  dihatlat  39042  dihatexv  39046