Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendoidcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tendoidcl 39635
Description: The identity is a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 30-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendof.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
tendof.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendof.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
tendoidcl ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ 𝐸)
Proof of Theorem tendoidcl
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . 2 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
2 tendof.h . 2 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
3 tendof.t . 2 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 eqid 2732 . 2 ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 tendof.e . 2 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 id 22 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
7 f1oi 6871 . . 3 ( I β†Ύ 𝑇):𝑇–1-1-onto→𝑇
8 f1of 6833 . . 3 (( I β†Ύ 𝑇):𝑇–1-1-onto→𝑇 β†’ ( I β†Ύ 𝑇):π‘‡βŸΆπ‘‡)
97, 8mp1i 13 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝑇):π‘‡βŸΆπ‘‡)
102, 3ltrnco 39585 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ 𝑇)
11 fvresi 7170 . . . 4 ((𝑓 ∘ 𝑔) ∈ 𝑇 β†’ (( I β†Ύ 𝑇)β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = (𝑓 ∘ 𝑔))
1210, 11syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = (𝑓 ∘ 𝑔))
13 fvresi 7170 . . . . 5 (𝑓 ∈ 𝑇 β†’ (( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘“) = 𝑓)
14133ad2ant2 1134 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘“) = 𝑓)
15 fvresi 7170 . . . . 5 (𝑔 ∈ 𝑇 β†’ (( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘”) = 𝑔)
16153ad2ant3 1135 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘”) = 𝑔)
1714, 16coeq12d 5864 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘“) ∘ (( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘”)) = (𝑓 ∘ 𝑔))
1812, 17eqtr4d 2775 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = ((( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘“) ∘ (( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘”)))
1913adantl 482 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘“) = 𝑓)
2019fveq2d 6895 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘“)) = (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“))
21 hllat 38228 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
2221ad2antrr 724 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
23 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2423, 2, 3, 4trlcl 39030 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2523, 1latref 18393 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“)(leβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“))
2622, 24, 25syl2anc 584 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“)(leβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“))
2720, 26eqbrtrd 5170 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘“))(leβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“))
281, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 18, 27istendod 39628 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148   I cid 5573   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  βŸΆwf 6539  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  Basecbs 17143  lecple 17203  Latclat 18383  HLchlt 38215  LHypclh 38850  LTrncltrn 38967  trLctrl 39024  TEndoctendo 39618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-riotaBAD 37818
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-undef 8257  df-map 8821  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-p1 18378  df-lat 18384  df-clat 18451  df-oposet 38041  df-ol 38043  df-oml 38044  df-covers 38131  df-ats 38132  df-atl 38163  df-cvlat 38187  df-hlat 38216  df-llines 38364  df-lplanes 38365  df-lvols 38366  df-lines 38367  df-psubsp 38369  df-pmap 38370  df-padd 38662  df-lhyp 38854  df-laut 38855  df-ldil 38970  df-ltrn 38971  df-trl 39025  df-tendo 39621
This theorem is referenced by:  cdleml8  39849  erng1lem  39853  erngdvlem3  39856  erng1r  39861  erngdvlem3-rN  39864  erngdvlem4-rN  39865  dvalveclem  39891  dvhlveclem  39974  dvheveccl  39978  dvhopN  39982  diclspsn  40060  cdlemn4  40064  cdlemn4a  40065  cdlemn11a  40073  dihord6apre  40122  dihatlat  40200  dihatexv  40204
  Copyright terms: Public domain W3C validator