Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendoidcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendoidcl 38064
Description: The identity is a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 30-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendof.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendof.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendof.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
tendoidcl ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)

Proof of Theorem tendoidcl
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2801 . 2 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2 tendof.h . 2 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 tendof.t . 2 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4 eqid 2801 . 2 ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
5 tendof.e . 2 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6 id 22 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
7 f1oi 6631 . . 3 ( I ↾ 𝑇):𝑇1-1-onto𝑇
8 f1of 6594 . . 3 (( I ↾ 𝑇):𝑇1-1-onto𝑇 → ( I ↾ 𝑇):𝑇𝑇)
97, 8mp1i 13 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇):𝑇𝑇)
102, 3ltrnco 38014 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇𝑔𝑇) → (𝑓𝑔) ∈ 𝑇)
11 fvresi 6916 . . . 4 ((𝑓𝑔) ∈ 𝑇 → (( I ↾ 𝑇)‘(𝑓𝑔)) = (𝑓𝑔))
1210, 11syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇𝑔𝑇) → (( I ↾ 𝑇)‘(𝑓𝑔)) = (𝑓𝑔))
13 fvresi 6916 . . . . 5 (𝑓𝑇 → (( I ↾ 𝑇)‘𝑓) = 𝑓)
14133ad2ant2 1131 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇𝑔𝑇) → (( I ↾ 𝑇)‘𝑓) = 𝑓)
15 fvresi 6916 . . . . 5 (𝑔𝑇 → (( I ↾ 𝑇)‘𝑔) = 𝑔)
16153ad2ant3 1132 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇𝑔𝑇) → (( I ↾ 𝑇)‘𝑔) = 𝑔)
1714, 16coeq12d 5703 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇𝑔𝑇) → ((( I ↾ 𝑇)‘𝑓) ∘ (( I ↾ 𝑇)‘𝑔)) = (𝑓𝑔))
1812, 17eqtr4d 2839 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇𝑔𝑇) → (( I ↾ 𝑇)‘(𝑓𝑔)) = ((( I ↾ 𝑇)‘𝑓) ∘ (( I ↾ 𝑇)‘𝑔)))
1913adantl 485 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (( I ↾ 𝑇)‘𝑓) = 𝑓)
2019fveq2d 6653 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(( I ↾ 𝑇)‘𝑓)) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓))
21 hllat 36658 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2221ad2antrr 725 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → 𝐾 ∈ Lat)
23 eqid 2801 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2423, 2, 3, 4trlcl 37459 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ∈ (Base‘𝐾))
2523, 1latref 17659 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ∈ (Base‘𝐾)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓))
2622, 24, 25syl2anc 587 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓))
2720, 26eqbrtrd 5055 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(( I ↾ 𝑇)‘𝑓))(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓))
281, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 18, 27istendod 38057 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112   class class class wbr 5033   I cid 5427  cres 5525  ccom 5527  wf 6324  1-1-ontowf1o 6327  cfv 6328  Basecbs 16479  lecple 16568  Latclat 17651  HLchlt 36645  LHypclh 37279  LTrncltrn 37396  trLctrl 37453  TEndoctendo 38047
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-riotaBAD 36248
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-undef 7926  df-map 8395  df-proset 17534  df-poset 17552  df-plt 17564  df-lub 17580  df-glb 17581  df-join 17582  df-meet 17583  df-p0 17645  df-p1 17646  df-lat 17652  df-clat 17714  df-oposet 36471  df-ol 36473  df-oml 36474  df-covers 36561  df-ats 36562  df-atl 36593  df-cvlat 36617  df-hlat 36646  df-llines 36793  df-lplanes 36794  df-lvols 36795  df-lines 36796  df-psubsp 36798  df-pmap 36799  df-padd 37091  df-lhyp 37283  df-laut 37284  df-ldil 37399  df-ltrn 37400  df-trl 37454  df-tendo 38050
This theorem is referenced by:  cdleml8  38278  erng1lem  38282  erngdvlem3  38285  erng1r  38290  erngdvlem3-rN  38293  erngdvlem4-rN  38294  dvalveclem  38320  dvhlveclem  38403  dvheveccl  38407  dvhopN  38411  diclspsn  38489  cdlemn4  38493  cdlemn4a  38494  cdlemn11a  38502  dihord6apre  38551  dihatlat  38629  dihatexv  38633
  Copyright terms: Public domain W3C validator