Theorem tendoidcl 40763

Description: The identity is a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 30-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendof.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendof.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendof.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tendoidcl	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)

Proof of Theorem tendoidcl

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. 2 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2		tendof.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		tendof.t	. 2 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2729	. 2 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
5		tendof.e	. 2 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6		id 22	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		f1oi 6838	. . 3 ⊢ ( I ↾ 𝑇):𝑇–1-1-onto→𝑇
8		f1of 6800	. . 3 ⊢ (( I ↾ 𝑇):𝑇–1-1-onto→𝑇 → ( I ↾ 𝑇):𝑇⟶𝑇)
9	7, 8	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇):𝑇⟶𝑇)
10	2, 3	ltrnco 40713	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ 𝑇)
11		fvresi 7147	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∘ 𝑔) ∈ 𝑇 → (( I ↾ 𝑇)‘(𝑓 ∘ 𝑔)) = (𝑓 ∘ 𝑔))
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝑇)‘(𝑓 ∘ 𝑔)) = (𝑓 ∘ 𝑔))
13		fvresi 7147	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑇 → (( I ↾ 𝑇)‘𝑓) = 𝑓)
14	13	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝑇)‘𝑓) = 𝑓)
15		fvresi 7147	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ 𝑇 → (( I ↾ 𝑇)‘𝑔) = 𝑔)
16	15	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝑇)‘𝑔) = 𝑔)
17	14, 16	coeq12d 5828	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((( I ↾ 𝑇)‘𝑓) ∘ (( I ↾ 𝑇)‘𝑔)) = (𝑓 ∘ 𝑔))
18	12, 17	eqtr4d 2767	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝑇)‘(𝑓 ∘ 𝑔)) = ((( I ↾ 𝑇)‘𝑓) ∘ (( I ↾ 𝑇)‘𝑔)))
19	13	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝑇)‘𝑓) = 𝑓)
20	19	fveq2d 6862	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(( I ↾ 𝑇)‘𝑓)) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓))
21		hllat 39356	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
22	21	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ Lat)
23		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
24	23, 2, 3, 4	trlcl 40158	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ∈ (Base‘𝐾))
25	23, 1	latref 18400	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ∈ (Base‘𝐾)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓))
26	22, 24, 25	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓))
27	20, 26	eqbrtrd 5129	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(( I ↾ 𝑇)‘𝑓))(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓))
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 18, 27	istendod 40756	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107   I cid 5532   ↾ cres 5640   ∘ ccom 5642  ⟶wf 6507  –1-1-onto→wf1o 6510  ‘cfv 6511  Basecbs 17179  lecple 17227  Latclat 18390  HLchlt 39343  LHypclh 39978  LTrncltrn 40095  trLctrl 40152  TEndoctendo 40746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-riotaBAD 38946

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-undef 8252  df-map 8801  df-proset 18255  df-poset 18274  df-plt 18289  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-p0 18384  df-p1 18385  df-lat 18391  df-clat 18458  df-oposet 39169  df-ol 39171  df-oml 39172  df-covers 39259  df-ats 39260  df-atl 39291  df-cvlat 39315  df-hlat 39344  df-llines 39492  df-lplanes 39493  df-lvols 39494  df-lines 39495  df-psubsp 39497  df-pmap 39498  df-padd 39790  df-lhyp 39982  df-laut 39983  df-ldil 40098  df-ltrn 40099  df-trl 40153  df-tendo 40749

This theorem is referenced by:  cdleml8  40977  erng1lem  40981  erngdvlem3  40984  erng1r  40989  erngdvlem3-rN  40992  erngdvlem4-rN  40993  dvalveclem  41019  dvhlveclem  41102  dvheveccl  41106  dvhopN  41110  diclspsn  41188  cdlemn4  41192  cdlemn4a  41193  cdlemn11a  41201  dihord6apre  41250  dihatlat  41328  dihatexv  41332