Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendoidcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tendoidcl 40153
Description: The identity is a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 30-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendof.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
tendof.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendof.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
tendoidcl ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ 𝐸)
Proof of Theorem tendoidcl
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . 2 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
2 tendof.h . 2 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
3 tendof.t . 2 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 eqid 2726 . 2 ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 tendof.e . 2 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 id 22 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
7 f1oi 6865 . . 3 ( I β†Ύ 𝑇):𝑇–1-1-onto→𝑇
8 f1of 6827 . . 3 (( I β†Ύ 𝑇):𝑇–1-1-onto→𝑇 β†’ ( I β†Ύ 𝑇):π‘‡βŸΆπ‘‡)
97, 8mp1i 13 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝑇):π‘‡βŸΆπ‘‡)
102, 3ltrnco 40103 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ 𝑇)
11 fvresi 7167 . . . 4 ((𝑓 ∘ 𝑔) ∈ 𝑇 β†’ (( I β†Ύ 𝑇)β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = (𝑓 ∘ 𝑔))
1210, 11syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = (𝑓 ∘ 𝑔))
13 fvresi 7167 . . . . 5 (𝑓 ∈ 𝑇 β†’ (( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘“) = 𝑓)
14133ad2ant2 1131 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘“) = 𝑓)
15 fvresi 7167 . . . . 5 (𝑔 ∈ 𝑇 β†’ (( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘”) = 𝑔)
16153ad2ant3 1132 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘”) = 𝑔)
1714, 16coeq12d 5858 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘“) ∘ (( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘”)) = (𝑓 ∘ 𝑔))
1812, 17eqtr4d 2769 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = ((( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘“) ∘ (( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘”)))
1913adantl 481 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘“) = 𝑓)
2019fveq2d 6889 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘“)) = (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“))
21 hllat 38746 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
2221ad2antrr 723 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
23 eqid 2726 . . . . 5 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2423, 2, 3, 4trlcl 39548 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2523, 1latref 18406 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“)(leβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“))
2622, 24, 25syl2anc 583 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“)(leβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“))
2720, 26eqbrtrd 5163 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘“))(leβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“))
281, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 18, 27istendod 40146 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141   I cid 5566   β†Ύ cres 5671   ∘ ccom 5673  βŸΆwf 6533  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6536  β€˜cfv 6537  Basecbs 17153  lecple 17213  Latclat 18396  HLchlt 38733  LHypclh 39368  LTrncltrn 39485  trLctrl 39542  TEndoctendo 40136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-riotaBAD 38336
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-undef 8259  df-map 8824  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-llines 38882  df-lplanes 38883  df-lvols 38884  df-lines 38885  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180  df-lhyp 39372  df-laut 39373  df-ldil 39488  df-ltrn 39489  df-trl 39543  df-tendo 40139
This theorem is referenced by:  cdleml8  40367  erng1lem  40371  erngdvlem3  40374  erng1r  40379  erngdvlem3-rN  40382  erngdvlem4-rN  40383  dvalveclem  40409  dvhlveclem  40492  dvheveccl  40496  dvhopN  40500  diclspsn  40578  cdlemn4  40582  cdlemn4a  40583  cdlemn11a  40591  dihord6apre  40640  dihatlat  40718  dihatexv  40722
  Copyright terms: Public domain W3C validator