Theorem tendoidcl 36844

Description: The identity is a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 30-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendof.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendof.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendof.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tendoidcl	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)

Proof of Theorem tendoidcl

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2825	. 2 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2		tendof.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		tendof.t	. 2 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2825	. 2 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
5		tendof.e	. 2 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6		id 22	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		f1oi 6415	. . 3 ⊢ ( I ↾ 𝑇):𝑇–1-1-onto→𝑇
8		f1of 6378	. . 3 ⊢ (( I ↾ 𝑇):𝑇–1-1-onto→𝑇 → ( I ↾ 𝑇):𝑇⟶𝑇)
9	7, 8	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇):𝑇⟶𝑇)
10	2, 3	ltrnco 36794	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ 𝑇)
11		fvresi 6691	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∘ 𝑔) ∈ 𝑇 → (( I ↾ 𝑇)‘(𝑓 ∘ 𝑔)) = (𝑓 ∘ 𝑔))
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝑇)‘(𝑓 ∘ 𝑔)) = (𝑓 ∘ 𝑔))
13		fvresi 6691	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑇 → (( I ↾ 𝑇)‘𝑓) = 𝑓)
14	13	3ad2ant2 1170	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝑇)‘𝑓) = 𝑓)
15		fvresi 6691	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ 𝑇 → (( I ↾ 𝑇)‘𝑔) = 𝑔)
16	15	3ad2ant3 1171	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝑇)‘𝑔) = 𝑔)
17	14, 16	coeq12d 5519	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((( I ↾ 𝑇)‘𝑓) ∘ (( I ↾ 𝑇)‘𝑔)) = (𝑓 ∘ 𝑔))
18	12, 17	eqtr4d 2864	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝑇)‘(𝑓 ∘ 𝑔)) = ((( I ↾ 𝑇)‘𝑓) ∘ (( I ↾ 𝑇)‘𝑔)))
19	13	adantl 475	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝑇)‘𝑓) = 𝑓)
20	19	fveq2d 6437	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(( I ↾ 𝑇)‘𝑓)) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓))
21		hllat 35438	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
22	21	ad2antrr 719	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ Lat)
23		eqid 2825	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
24	23, 2, 3, 4	trlcl 36239	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ∈ (Base‘𝐾))
25	23, 1	latref 17406	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ∈ (Base‘𝐾)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓))
26	22, 24, 25	syl2anc 581	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓))
27	20, 26	eqbrtrd 4895	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(( I ↾ 𝑇)‘𝑓))(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓))
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 18, 27	istendod 36837	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   class class class wbr 4873   I cid 5249   ↾ cres 5344   ∘ ccom 5346  ⟶wf 6119  –1-1-onto→wf1o 6122  ‘cfv 6123  Basecbs 16222  lecple 16312  Latclat 17398  HLchlt 35425  LHypclh 36059  LTrncltrn 36176  trLctrl 36233  TEndoctendo 36827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-riotaBAD 35028

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-iin 4743  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-id 5250  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-undef 7664  df-map 8124  df-proset 17281  df-poset 17299  df-plt 17311  df-lub 17327  df-glb 17328  df-join 17329  df-meet 17330  df-p0 17392  df-p1 17393  df-lat 17399  df-clat 17461  df-oposet 35251  df-ol 35253  df-oml 35254  df-covers 35341  df-ats 35342  df-atl 35373  df-cvlat 35397  df-hlat 35426  df-llines 35573  df-lplanes 35574  df-lvols 35575  df-lines 35576  df-psubsp 35578  df-pmap 35579  df-padd 35871  df-lhyp 36063  df-laut 36064  df-ldil 36179  df-ltrn 36180  df-trl 36234  df-tendo 36830

This theorem is referenced by:  cdleml8  37058  erng1lem  37062  erngdvlem3  37065  erng1r  37070  erngdvlem3-rN  37073  erngdvlem4-rN  37074  dvalveclem  37100  dvhlveclem  37183  dvheveccl  37187  dvhopN  37191  diclspsn  37269  cdlemn4  37273  cdlemn4a  37274  cdlemn11a  37282  dihord6apre  37331  dihatlat  37409  dihatexv  37413