Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendoidcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendoidcl 39235
Description: The identity is a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 30-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendof.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
tendof.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendof.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
tendoidcl ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ 𝐸)

Proof of Theorem tendoidcl
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . 2 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
2 tendof.h . 2 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
3 tendof.t . 2 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 eqid 2737 . 2 ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 tendof.e . 2 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 id 22 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
7 f1oi 6823 . . 3 ( I β†Ύ 𝑇):𝑇–1-1-onto→𝑇
8 f1of 6785 . . 3 (( I β†Ύ 𝑇):𝑇–1-1-onto→𝑇 β†’ ( I β†Ύ 𝑇):π‘‡βŸΆπ‘‡)
97, 8mp1i 13 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝑇):π‘‡βŸΆπ‘‡)
102, 3ltrnco 39185 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ 𝑇)
11 fvresi 7120 . . . 4 ((𝑓 ∘ 𝑔) ∈ 𝑇 β†’ (( I β†Ύ 𝑇)β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = (𝑓 ∘ 𝑔))
1210, 11syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = (𝑓 ∘ 𝑔))
13 fvresi 7120 . . . . 5 (𝑓 ∈ 𝑇 β†’ (( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘“) = 𝑓)
14133ad2ant2 1135 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘“) = 𝑓)
15 fvresi 7120 . . . . 5 (𝑔 ∈ 𝑇 β†’ (( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘”) = 𝑔)
16153ad2ant3 1136 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘”) = 𝑔)
1714, 16coeq12d 5821 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘“) ∘ (( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘”)) = (𝑓 ∘ 𝑔))
1812, 17eqtr4d 2780 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)β€˜(𝑓 ∘ 𝑔)) = ((( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘“) ∘ (( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘”)))
1913adantl 483 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘“) = 𝑓)
2019fveq2d 6847 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘“)) = (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“))
21 hllat 37828 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
2221ad2antrr 725 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
23 eqid 2737 . . . . 5 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2423, 2, 3, 4trlcl 38630 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2523, 1latref 18331 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“)(leβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“))
2622, 24, 25syl2anc 585 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“)(leβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“))
2720, 26eqbrtrd 5128 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘“))(leβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘“))
281, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 18, 27istendod 39228 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5106   I cid 5531   β†Ύ cres 5636   ∘ ccom 5638  βŸΆwf 6493  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6496  β€˜cfv 6497  Basecbs 17084  lecple 17141  Latclat 18321  HLchlt 37815  LHypclh 38450  LTrncltrn 38567  trLctrl 38624  TEndoctendo 39218
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-riotaBAD 37418
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-undef 8205  df-map 8768  df-proset 18185  df-poset 18203  df-plt 18220  df-lub 18236  df-glb 18237  df-join 18238  df-meet 18239  df-p0 18315  df-p1 18316  df-lat 18322  df-clat 18389  df-oposet 37641  df-ol 37643  df-oml 37644  df-covers 37731  df-ats 37732  df-atl 37763  df-cvlat 37787  df-hlat 37816  df-llines 37964  df-lplanes 37965  df-lvols 37966  df-lines 37967  df-psubsp 37969  df-pmap 37970  df-padd 38262  df-lhyp 38454  df-laut 38455  df-ldil 38570  df-ltrn 38571  df-trl 38625  df-tendo 39221
This theorem is referenced by:  cdleml8  39449  erng1lem  39453  erngdvlem3  39456  erng1r  39461  erngdvlem3-rN  39464  erngdvlem4-rN  39465  dvalveclem  39491  dvhlveclem  39574  dvheveccl  39578  dvhopN  39582  diclspsn  39660  cdlemn4  39664  cdlemn4a  39665  cdlemn11a  39673  dihord6apre  39722  dihatlat  39800  dihatexv  39804
  Copyright terms: Public domain W3C validator