Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendoplcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendoplcl 40165
Description: Endomorphism sum is a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 10-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendopl.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
tendopl.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendopl.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendopl.p 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))
Assertion
Ref Expression
tendoplcl (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) β†’ (π‘ˆπ‘ƒπ‘‰) ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑑,𝑠,𝐸   𝑓,𝑠,𝑑,𝑇   𝑓,π‘Š,𝑠,𝑑
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑑,𝑓,𝑠)   π‘ˆ(𝑑,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑑,𝑓,𝑠)   𝐾(𝑑,𝑓,𝑠)   𝑉(𝑑,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendoplcl
Dummy variables 𝑔 β„Ž 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . 2 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
2 tendopl.h . 2 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
3 tendopl.t . 2 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 eqid 2726 . 2 ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 tendopl.e . 2 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 simp1 1133 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
7 simpl1 1188 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
8 simpl2 1189 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐸)
9 simpr 484 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ 𝑔 ∈ 𝑇)
102, 3, 5tendocl 40151 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘”) ∈ 𝑇)
117, 8, 9, 10syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘”) ∈ 𝑇)
12 simpl3 1190 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ 𝑉 ∈ 𝐸)
132, 3, 5tendocl 40151 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (π‘‰β€˜π‘”) ∈ 𝑇)
147, 12, 9, 13syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (π‘‰β€˜π‘”) ∈ 𝑇)
152, 3ltrnco 40103 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘”) ∈ 𝑇 ∧ (π‘‰β€˜π‘”) ∈ 𝑇) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘”) ∘ (π‘‰β€˜π‘”)) ∈ 𝑇)
167, 11, 14, 15syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘”) ∘ (π‘‰β€˜π‘”)) ∈ 𝑇)
1716fmpttd 7110 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) β†’ (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘”) ∘ (π‘‰β€˜π‘”))):π‘‡βŸΆπ‘‡)
18 tendopl.p . . . . . 6 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))
1918, 3tendopl 40160 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) β†’ (π‘ˆπ‘ƒπ‘‰) = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘”) ∘ (π‘‰β€˜π‘”))))
20193adant1 1127 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) β†’ (π‘ˆπ‘ƒπ‘‰) = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘”) ∘ (π‘‰β€˜π‘”))))
2120feq1d 6696 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) β†’ ((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰):π‘‡βŸΆπ‘‡ ↔ (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘”) ∘ (π‘‰β€˜π‘”))):π‘‡βŸΆπ‘‡))
2217, 21mpbird 257 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) β†’ (π‘ˆπ‘ƒπ‘‰):π‘‡βŸΆπ‘‡)
23 simp11 1200 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ 𝑇) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
24 simp12 1201 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ 𝑇) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐸)
25 simp13 1202 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ 𝑇) β†’ 𝑉 ∈ 𝐸)
26 3simpc 1147 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ 𝑇) β†’ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ 𝑇))
272, 3, 5, 18tendoplco2 40163 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ 𝑇)) β†’ ((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)β€˜(β„Ž ∘ 𝑖)) = (((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)β€˜β„Ž) ∘ ((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)β€˜π‘–)))
2823, 24, 25, 26, 27syl121anc 1372 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)β€˜(β„Ž ∘ 𝑖)) = (((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)β€˜β„Ž) ∘ ((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)β€˜π‘–)))
29 simpl1 1188 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ β„Ž ∈ 𝑇) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
30 simpl2 1189 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ β„Ž ∈ 𝑇) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐸)
31 simpl3 1190 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ β„Ž ∈ 𝑇) β†’ 𝑉 ∈ 𝐸)
32 simpr 484 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ β„Ž ∈ 𝑇) β†’ β„Ž ∈ 𝑇)
332, 3, 5, 18, 1, 4tendopltp 40164 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ β„Ž ∈ 𝑇) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)β€˜β„Ž))(leβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜β„Ž))
3429, 30, 31, 32, 33syl121anc 1372 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ β„Ž ∈ 𝑇) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)β€˜β„Ž))(leβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜β„Ž))
351, 2, 3, 4, 5, 6, 22, 28, 34istendod 40146 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) β†’ (π‘ˆπ‘ƒπ‘‰) ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   ∘ ccom 5673  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  lecple 17213  HLchlt 38733  LHypclh 39368  LTrncltrn 39485  trLctrl 39542  TEndoctendo 40136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-riotaBAD 38336
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-undef 8259  df-map 8824  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-llines 38882  df-lplanes 38883  df-lvols 38884  df-lines 38885  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180  df-lhyp 39372  df-laut 39373  df-ldil 39488  df-ltrn 39489  df-trl 39543  df-tendo 40139
This theorem is referenced by:  tendoplcom  40166  tendoplass  40167  tendodi1  40168  tendodi2  40169  tendo0pl  40175  tendoipl  40181  erngdvlem1  40372  erngdvlem3  40374  erngdvlem1-rN  40380  erngdvlem3-rN  40382  dvalveclem  40409  dvhvaddcl  40479  dicvaddcl  40574
  Copyright terms: Public domain W3C validator