Theorem tendoplcl 41406

Description: Endomorphism sum is a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 10-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendopl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendopl.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendopl.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendopl.p	⊢ 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))

Assertion

Ref	Expression
tendoplcl	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → (𝑈𝑃𝑉) ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐸   𝑓,𝑠,𝑡,𝑇   𝑓,𝑊,𝑠,𝑡

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑈(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐾(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑉(𝑡,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendoplcl

Dummy variables 𝑔 ℎ 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. 2 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2		tendopl.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		tendopl.t	. 2 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2763	. 2 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
5		tendopl.e	. 2 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6		simp1 1150	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		simpl1 1206	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8		simpl2 1207	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝑈 ∈ 𝐸)
9		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝑔 ∈ 𝑇)
10	2, 3, 5	tendocl 41392	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑈‘𝑔) ∈ 𝑇)
11	7, 8, 9, 10	syl3anc 1391	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑈‘𝑔) ∈ 𝑇)
12		simpl3 1208	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝑉 ∈ 𝐸)
13	2, 3, 5	tendocl 41392	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑉‘𝑔) ∈ 𝑇)
14	7, 12, 9, 13	syl3anc 1391	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑉‘𝑔) ∈ 𝑇)
15	2, 3	ltrnco 41344	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈‘𝑔) ∈ 𝑇 ∧ (𝑉‘𝑔) ∈ 𝑇) → ((𝑈‘𝑔) ∘ (𝑉‘𝑔)) ∈ 𝑇)
16	7, 11, 14, 15	syl3anc 1391	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑈‘𝑔) ∘ (𝑉‘𝑔)) ∈ 𝑇)
17	16	fmpttd 7097	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑈‘𝑔) ∘ (𝑉‘𝑔))):𝑇⟶𝑇)
18		tendopl.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))
19	18, 3	tendopl 41401	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → (𝑈𝑃𝑉) = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑈‘𝑔) ∘ (𝑉‘𝑔))))
20	19	3adant1 1144	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → (𝑈𝑃𝑉) = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑈‘𝑔) ∘ (𝑉‘𝑔))))
21	20	feq1d 6674	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → ((𝑈𝑃𝑉):𝑇⟶𝑇 ↔ (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑈‘𝑔) ∘ (𝑉‘𝑔))):𝑇⟶𝑇))
22	17, 21	mpbird 259	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → (𝑈𝑃𝑉):𝑇⟶𝑇)
23		simp11 1218	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
24		simp12 1219	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ 𝑇) → 𝑈 ∈ 𝐸)
25		simp13 1220	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ 𝑇) → 𝑉 ∈ 𝐸)
26		3simpc 1164	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ 𝑇) → (ℎ ∈ 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ 𝑇))
27	2, 3, 5, 18	tendoplco2 41404	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ 𝑇)) → ((𝑈𝑃𝑉)‘(ℎ ∘ 𝑖)) = (((𝑈𝑃𝑉)‘ℎ) ∘ ((𝑈𝑃𝑉)‘𝑖)))
28	23, 24, 25, 26, 27	syl121anc 1395	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ 𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘(ℎ ∘ 𝑖)) = (((𝑈𝑃𝑉)‘ℎ) ∘ ((𝑈𝑃𝑉)‘𝑖)))
29		simpl1 1206	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ ℎ ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
30		simpl2 1207	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ ℎ ∈ 𝑇) → 𝑈 ∈ 𝐸)
31		simpl3 1208	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ ℎ ∈ 𝑇) → 𝑉 ∈ 𝐸)
32		simpr 488	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ ℎ ∈ 𝑇) → ℎ ∈ 𝑇)
33	2, 3, 5, 18, 1, 4	tendopltp 41405	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ ℎ ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑈𝑃𝑉)‘ℎ))(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘ℎ))
34	29, 30, 31, 32, 33	syl121anc 1395	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ ℎ ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑈𝑃𝑉)‘ℎ))(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘ℎ))
35	1, 2, 3, 4, 5, 6, 22, 28, 34	istendod 41387	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → (𝑈𝑃𝑉) ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5101   ↦ cmpt 5182   ∘ ccom 5652  ⟶wf 6518  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397   ∈ cmpo 7399  lecple 17294  HLchlt 39975  LHypclh 40609  LTrncltrn 40726  trLctrl 40783  TEndoctendo 41377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-riotaBAD 39578

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-undef 8254  df-map 8811  df-proset 18327  df-poset 18346  df-plt 18361  df-lub 18377  df-glb 18378  df-join 18379  df-meet 18380  df-p0 18456  df-p1 18457  df-lat 18465  df-clat 18532  df-oposet 39801  df-ol 39803  df-oml 39804  df-covers 39891  df-ats 39892  df-atl 39923  df-cvlat 39947  df-hlat 39976  df-llines 40123  df-lplanes 40124  df-lvols 40125  df-lines 40126  df-psubsp 40128  df-pmap 40129  df-padd 40421  df-lhyp 40613  df-laut 40614  df-ldil 40729  df-ltrn 40730  df-trl 40784  df-tendo 41380

This theorem is referenced by:  tendoplcom  41407  tendoplass  41408  tendodi1  41409  tendodi2  41410  tendo0pl  41416  tendoipl  41422  erngdvlem1  41613  erngdvlem3  41615  erngdvlem1-rN  41621  erngdvlem3-rN  41623  dvalveclem  41650  dvhvaddcl  41720  dicvaddcl  41815