Theorem tendoplcl 40547

Description: Endomorphism sum is a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 10-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendopl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendopl.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendopl.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendopl.p	⊢ 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))

Assertion

Ref	Expression
tendoplcl	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → (𝑈𝑃𝑉) ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐸   𝑓,𝑠,𝑡,𝑇   𝑓,𝑊,𝑠,𝑡

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑈(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐾(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑉(𝑡,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendoplcl

Dummy variables 𝑔 ℎ 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. 2 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2		tendopl.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		tendopl.t	. 2 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2729	. 2 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
5		tendopl.e	. 2 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6		simp1 1133	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		simpl1 1188	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8		simpl2 1189	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝑈 ∈ 𝐸)
9		simpr 483	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝑔 ∈ 𝑇)
10	2, 3, 5	tendocl 40533	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑈‘𝑔) ∈ 𝑇)
11	7, 8, 9, 10	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑈‘𝑔) ∈ 𝑇)
12		simpl3 1190	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝑉 ∈ 𝐸)
13	2, 3, 5	tendocl 40533	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑉‘𝑔) ∈ 𝑇)
14	7, 12, 9, 13	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑉‘𝑔) ∈ 𝑇)
15	2, 3	ltrnco 40485	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈‘𝑔) ∈ 𝑇 ∧ (𝑉‘𝑔) ∈ 𝑇) → ((𝑈‘𝑔) ∘ (𝑉‘𝑔)) ∈ 𝑇)
16	7, 11, 14, 15	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑈‘𝑔) ∘ (𝑉‘𝑔)) ∈ 𝑇)
17	16	fmpttd 7134	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑈‘𝑔) ∘ (𝑉‘𝑔))):𝑇⟶𝑇)
18		tendopl.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))
19	18, 3	tendopl 40542	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → (𝑈𝑃𝑉) = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑈‘𝑔) ∘ (𝑉‘𝑔))))
20	19	3adant1 1127	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → (𝑈𝑃𝑉) = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑈‘𝑔) ∘ (𝑉‘𝑔))))
21	20	feq1d 6717	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → ((𝑈𝑃𝑉):𝑇⟶𝑇 ↔ (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑈‘𝑔) ∘ (𝑉‘𝑔))):𝑇⟶𝑇))
22	17, 21	mpbird 256	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → (𝑈𝑃𝑉):𝑇⟶𝑇)
23		simp11 1200	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
24		simp12 1201	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ 𝑇) → 𝑈 ∈ 𝐸)
25		simp13 1202	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ 𝑇) → 𝑉 ∈ 𝐸)
26		3simpc 1147	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ 𝑇) → (ℎ ∈ 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ 𝑇))
27	2, 3, 5, 18	tendoplco2 40545	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ 𝑇)) → ((𝑈𝑃𝑉)‘(ℎ ∘ 𝑖)) = (((𝑈𝑃𝑉)‘ℎ) ∘ ((𝑈𝑃𝑉)‘𝑖)))
28	23, 24, 25, 26, 27	syl121anc 1372	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ 𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘(ℎ ∘ 𝑖)) = (((𝑈𝑃𝑉)‘ℎ) ∘ ((𝑈𝑃𝑉)‘𝑖)))
29		simpl1 1188	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ ℎ ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
30		simpl2 1189	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ ℎ ∈ 𝑇) → 𝑈 ∈ 𝐸)
31		simpl3 1190	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ ℎ ∈ 𝑇) → 𝑉 ∈ 𝐸)
32		simpr 483	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ ℎ ∈ 𝑇) → ℎ ∈ 𝑇)
33	2, 3, 5, 18, 1, 4	tendopltp 40546	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ ℎ ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑈𝑃𝑉)‘ℎ))(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘ℎ))
34	29, 30, 31, 32, 33	syl121anc 1372	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ ℎ ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝑈𝑃𝑉)‘ℎ))(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘ℎ))
35	1, 2, 3, 4, 5, 6, 22, 28, 34	istendod 40528	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → (𝑈𝑃𝑉) ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2100   class class class wbr 5156   ↦ cmpt 5239   ∘ ccom 5690  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7430   ∈ cmpo 7432  lecple 17294  HLchlt 39115  LHypclh 39750  LTrncltrn 39867  trLctrl 39924  TEndoctendo 40518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2102  ax-9 2110  ax-10 2133  ax-11 2150  ax-12 2170  ax-ext 2700  ax-rep 5293  ax-sep 5307  ax-nul 5314  ax-pow 5373  ax-pr 5437  ax-un 7751  ax-riotaBAD 38718

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2062  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2707  df-cleq 2721  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2934  df-ral 3055  df-rex 3064  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3429  df-v 3474  df-sbc 3789  df-csb 3905  df-dif 3962  df-un 3964  df-in 3966  df-ss 3976  df-nul 4336  df-if 4537  df-pw 4612  df-sn 4637  df-pr 4639  df-op 4643  df-uni 4919  df-iun 5008  df-iin 5009  df-br 5157  df-opab 5219  df-mpt 5240  df-id 5584  df-xp 5692  df-rel 5693  df-cnv 5694  df-co 5695  df-dm 5696  df-rn 5697  df-res 5698  df-ima 5699  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7386  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-undef 8296  df-map 8865  df-proset 18341  df-poset 18359  df-plt 18376  df-lub 18392  df-glb 18393  df-join 18394  df-meet 18395  df-p0 18471  df-p1 18472  df-lat 18478  df-clat 18545  df-oposet 38941  df-ol 38943  df-oml 38944  df-covers 39031  df-ats 39032  df-atl 39063  df-cvlat 39087  df-hlat 39116  df-llines 39264  df-lplanes 39265  df-lvols 39266  df-lines 39267  df-psubsp 39269  df-pmap 39270  df-padd 39562  df-lhyp 39754  df-laut 39755  df-ldil 39870  df-ltrn 39871  df-trl 39925  df-tendo 40521

This theorem is referenced by:  tendoplcom  40548  tendoplass  40549  tendodi1  40550  tendodi2  40551  tendo0pl  40557  tendoipl  40563  erngdvlem1  40754  erngdvlem3  40756  erngdvlem1-rN  40762  erngdvlem3-rN  40764  dvalveclem  40791  dvhvaddcl  40861  dicvaddcl  40956