Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendoplcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendoplcl 39247
Description: Endomorphism sum is a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 10-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendopl.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
tendopl.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendopl.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendopl.p 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))
Assertion
Ref Expression
tendoplcl (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) β†’ (π‘ˆπ‘ƒπ‘‰) ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑑,𝑠,𝐸   𝑓,𝑠,𝑑,𝑇   𝑓,π‘Š,𝑠,𝑑
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑑,𝑓,𝑠)   π‘ˆ(𝑑,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑑,𝑓,𝑠)   𝐾(𝑑,𝑓,𝑠)   𝑉(𝑑,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendoplcl
Dummy variables 𝑔 β„Ž 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . 2 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
2 tendopl.h . 2 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
3 tendopl.t . 2 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 eqid 2737 . 2 ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 tendopl.e . 2 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 simp1 1137 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
7 simpl1 1192 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
8 simpl2 1193 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐸)
9 simpr 486 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ 𝑔 ∈ 𝑇)
102, 3, 5tendocl 39233 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘”) ∈ 𝑇)
117, 8, 9, 10syl3anc 1372 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘”) ∈ 𝑇)
12 simpl3 1194 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ 𝑉 ∈ 𝐸)
132, 3, 5tendocl 39233 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (π‘‰β€˜π‘”) ∈ 𝑇)
147, 12, 9, 13syl3anc 1372 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (π‘‰β€˜π‘”) ∈ 𝑇)
152, 3ltrnco 39185 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘”) ∈ 𝑇 ∧ (π‘‰β€˜π‘”) ∈ 𝑇) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘”) ∘ (π‘‰β€˜π‘”)) ∈ 𝑇)
167, 11, 14, 15syl3anc 1372 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘”) ∘ (π‘‰β€˜π‘”)) ∈ 𝑇)
1716fmpttd 7064 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) β†’ (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘”) ∘ (π‘‰β€˜π‘”))):π‘‡βŸΆπ‘‡)
18 tendopl.p . . . . . 6 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))
1918, 3tendopl 39242 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) β†’ (π‘ˆπ‘ƒπ‘‰) = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘”) ∘ (π‘‰β€˜π‘”))))
20193adant1 1131 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) β†’ (π‘ˆπ‘ƒπ‘‰) = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘”) ∘ (π‘‰β€˜π‘”))))
2120feq1d 6654 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) β†’ ((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰):π‘‡βŸΆπ‘‡ ↔ (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘”) ∘ (π‘‰β€˜π‘”))):π‘‡βŸΆπ‘‡))
2217, 21mpbird 257 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) β†’ (π‘ˆπ‘ƒπ‘‰):π‘‡βŸΆπ‘‡)
23 simp11 1204 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ 𝑇) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
24 simp12 1205 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ 𝑇) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐸)
25 simp13 1206 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ 𝑇) β†’ 𝑉 ∈ 𝐸)
26 3simpc 1151 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ 𝑇) β†’ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ 𝑇))
272, 3, 5, 18tendoplco2 39245 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ 𝑇)) β†’ ((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)β€˜(β„Ž ∘ 𝑖)) = (((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)β€˜β„Ž) ∘ ((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)β€˜π‘–)))
2823, 24, 25, 26, 27syl121anc 1376 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)β€˜(β„Ž ∘ 𝑖)) = (((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)β€˜β„Ž) ∘ ((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)β€˜π‘–)))
29 simpl1 1192 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ β„Ž ∈ 𝑇) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
30 simpl2 1193 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ β„Ž ∈ 𝑇) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐸)
31 simpl3 1194 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ β„Ž ∈ 𝑇) β†’ 𝑉 ∈ 𝐸)
32 simpr 486 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ β„Ž ∈ 𝑇) β†’ β„Ž ∈ 𝑇)
332, 3, 5, 18, 1, 4tendopltp 39246 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ β„Ž ∈ 𝑇) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)β€˜β„Ž))(leβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜β„Ž))
3429, 30, 31, 32, 33syl121anc 1376 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ β„Ž ∈ 𝑇) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)β€˜β„Ž))(leβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜β„Ž))
351, 2, 3, 4, 5, 6, 22, 28, 34istendod 39228 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) β†’ (π‘ˆπ‘ƒπ‘‰) ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   ∘ ccom 5638  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  lecple 17141  HLchlt 37815  LHypclh 38450  LTrncltrn 38567  trLctrl 38624  TEndoctendo 39218
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-riotaBAD 37418
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-undef 8205  df-map 8768  df-proset 18185  df-poset 18203  df-plt 18220  df-lub 18236  df-glb 18237  df-join 18238  df-meet 18239  df-p0 18315  df-p1 18316  df-lat 18322  df-clat 18389  df-oposet 37641  df-ol 37643  df-oml 37644  df-covers 37731  df-ats 37732  df-atl 37763  df-cvlat 37787  df-hlat 37816  df-llines 37964  df-lplanes 37965  df-lvols 37966  df-lines 37967  df-psubsp 37969  df-pmap 37970  df-padd 38262  df-lhyp 38454  df-laut 38455  df-ldil 38570  df-ltrn 38571  df-trl 38625  df-tendo 39221
This theorem is referenced by:  tendoplcom  39248  tendoplass  39249  tendodi1  39250  tendodi2  39251  tendo0pl  39257  tendoipl  39263  erngdvlem1  39454  erngdvlem3  39456  erngdvlem1-rN  39462  erngdvlem3-rN  39464  dvalveclem  39491  dvhvaddcl  39561  dicvaddcl  39656
  Copyright terms: Public domain W3C validator