Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | tendoset.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
2 | | tendoset.h |
. . . 4
β’ π» = (LHypβπΎ) |
3 | | tendoset.t |
. . . 4
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
4 | | tendoset.r |
. . . 4
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
5 | | tendoset.e |
. . . 4
β’ πΈ = ((TEndoβπΎ)βπ) |
6 | 1, 2, 3, 4, 5 | tendoset 39225 |
. . 3
β’ ((πΎ β π β§ π β π») β πΈ = {π β£ (π :πβΆπ β§ βπ β π βπ β π (π β(π β π)) = ((π βπ) β (π βπ)) β§ βπ β π (π
β(π βπ)) β€ (π
βπ))}) |
7 | 6 | eleq2d 2824 |
. 2
β’ ((πΎ β π β§ π β π») β (π β πΈ β π β {π β£ (π :πβΆπ β§ βπ β π βπ β π (π β(π β π)) = ((π βπ) β (π βπ)) β§ βπ β π (π
β(π βπ)) β€ (π
βπ))})) |
8 | 3 | fvexi 6857 |
. . . . 5
β’ π β V |
9 | | fex 7177 |
. . . . 5
β’ ((π:πβΆπ β§ π β V) β π β V) |
10 | 8, 9 | mpan2 690 |
. . . 4
β’ (π:πβΆπ β π β V) |
11 | 10 | 3ad2ant1 1134 |
. . 3
β’ ((π:πβΆπ β§ βπ β π βπ β π (πβ(π β π)) = ((πβπ) β (πβπ)) β§ βπ β π (π
β(πβπ)) β€ (π
βπ)) β π β V) |
12 | | feq1 6650 |
. . . 4
β’ (π = π β (π :πβΆπ β π:πβΆπ)) |
13 | | fveq1 6842 |
. . . . . 6
β’ (π = π β (π β(π β π)) = (πβ(π β π))) |
14 | | fveq1 6842 |
. . . . . . 7
β’ (π = π β (π βπ) = (πβπ)) |
15 | | fveq1 6842 |
. . . . . . 7
β’ (π = π β (π βπ) = (πβπ)) |
16 | 14, 15 | coeq12d 5821 |
. . . . . 6
β’ (π = π β ((π βπ) β (π βπ)) = ((πβπ) β (πβπ))) |
17 | 13, 16 | eqeq12d 2753 |
. . . . 5
β’ (π = π β ((π β(π β π)) = ((π βπ) β (π βπ)) β (πβ(π β π)) = ((πβπ) β (πβπ)))) |
18 | 17 | 2ralbidv 3213 |
. . . 4
β’ (π = π β (βπ β π βπ β π (π β(π β π)) = ((π βπ) β (π βπ)) β βπ β π βπ β π (πβ(π β π)) = ((πβπ) β (πβπ)))) |
19 | 14 | fveq2d 6847 |
. . . . . 6
β’ (π = π β (π
β(π βπ)) = (π
β(πβπ))) |
20 | 19 | breq1d 5116 |
. . . . 5
β’ (π = π β ((π
β(π βπ)) β€ (π
βπ) β (π
β(πβπ)) β€ (π
βπ))) |
21 | 20 | ralbidv 3175 |
. . . 4
β’ (π = π β (βπ β π (π
β(π βπ)) β€ (π
βπ) β βπ β π (π
β(πβπ)) β€ (π
βπ))) |
22 | 12, 18, 21 | 3anbi123d 1437 |
. . 3
β’ (π = π β ((π :πβΆπ β§ βπ β π βπ β π (π β(π β π)) = ((π βπ) β (π βπ)) β§ βπ β π (π
β(π βπ)) β€ (π
βπ)) β (π:πβΆπ β§ βπ β π βπ β π (πβ(π β π)) = ((πβπ) β (πβπ)) β§ βπ β π (π
β(πβπ)) β€ (π
βπ)))) |
23 | 11, 22 | elab3 3639 |
. 2
β’ (π β {π β£ (π :πβΆπ β§ βπ β π βπ β π (π β(π β π)) = ((π βπ) β (π βπ)) β§ βπ β π (π
β(π βπ)) β€ (π
βπ))} β (π:πβΆπ β§ βπ β π βπ β π (πβ(π β π)) = ((πβπ) β (πβπ)) β§ βπ β π (π
β(πβπ)) β€ (π
βπ))) |
24 | 7, 23 | bitrdi 287 |
1
β’ ((πΎ β π β§ π β π») β (π β πΈ β (π:πβΆπ β§ βπ β π βπ β π (πβ(π β π)) = ((πβπ) β (πβπ)) β§ βπ β π (π
β(πβπ)) β€ (π
βπ)))) |