MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iunocv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iunocv 20490
Description: The orthocomplement of an indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
inocv.o = (ocv‘𝑊)
iunocv.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
iunocv ( 𝑥𝐴 𝐵) = (𝑉 𝑥𝐴 ( 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   (𝑥)

Proof of Theorem iunocv
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iunss 4928 . . . . . . 7 ( 𝑥𝐴 𝐵𝑉 ↔ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉)
2 eliun 4882 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 𝑥𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑦𝐵)
32imbi1i 353 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 𝑥𝐴 𝐵 → (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) ↔ (∃𝑥𝐴 𝑦𝐵 → (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
4 r19.23v 3188 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥𝐴 (𝑦𝐵 → (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) ↔ (∃𝑥𝐴 𝑦𝐵 → (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
53, 4bitr4i 281 . . . . . . . . 9 ((𝑦 𝑥𝐴 𝐵 → (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝐵 → (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
65albii 1826 . . . . . . . 8 (∀𝑦(𝑦 𝑥𝐴 𝐵 → (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) ↔ ∀𝑦𝑥𝐴 (𝑦𝐵 → (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
7 df-ral 3058 . . . . . . . 8 (∀𝑦 𝑥𝐴 𝐵(𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ ∀𝑦(𝑦 𝑥𝐴 𝐵 → (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
8 df-ral 3058 . . . . . . . . . 10 (∀𝑦𝐵 (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ ∀𝑦(𝑦𝐵 → (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
98ralbii 3080 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐵 → (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
10 ralcom4 3147 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐵 → (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) ↔ ∀𝑦𝑥𝐴 (𝑦𝐵 → (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
119, 10bitri 278 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ ∀𝑦𝑥𝐴 (𝑦𝐵 → (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
126, 7, 113bitr4i 306 . . . . . . 7 (∀𝑦 𝑥𝐴 𝐵(𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
131, 12anbi12i 630 . . . . . 6 (( 𝑥𝐴 𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦 𝑥𝐴 𝐵(𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) ↔ (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
14 r19.26 3084 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 (𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) ↔ (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
1513, 14bitr4i 281 . . . . 5 (( 𝑥𝐴 𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦 𝑥𝐴 𝐵(𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
16 eliin 4883 . . . . . 6 (𝑧𝑉 → (𝑧 𝑥𝐴 ( 𝐵) ↔ ∀𝑥𝐴 𝑧 ∈ ( 𝐵)))
17 iunocv.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Base‘𝑊)
18 eqid 2738 . . . . . . . . . 10 (·𝑖𝑊) = (·𝑖𝑊)
19 eqid 2738 . . . . . . . . . 10 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
20 eqid 2738 . . . . . . . . . 10 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
21 inocv.o . . . . . . . . . 10 = (ocv‘𝑊)
2217, 18, 19, 20, 21elocv 20477 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ( 𝐵) ↔ (𝐵𝑉𝑧𝑉 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
23 3anan12 1097 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝑉𝑧𝑉 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) ↔ (𝑧𝑉 ∧ (𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
2422, 23bitri 278 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ( 𝐵) ↔ (𝑧𝑉 ∧ (𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
2524baib 539 . . . . . . 7 (𝑧𝑉 → (𝑧 ∈ ( 𝐵) ↔ (𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
2625ralbidv 3109 . . . . . 6 (𝑧𝑉 → (∀𝑥𝐴 𝑧 ∈ ( 𝐵) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
2716, 26bitr2d 283 . . . . 5 (𝑧𝑉 → (∀𝑥𝐴 (𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) ↔ 𝑧 𝑥𝐴 ( 𝐵)))
2815, 27syl5bb 286 . . . 4 (𝑧𝑉 → (( 𝑥𝐴 𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦 𝑥𝐴 𝐵(𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) ↔ 𝑧 𝑥𝐴 ( 𝐵)))
2928pm5.32i 578 . . 3 ((𝑧𝑉 ∧ ( 𝑥𝐴 𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦 𝑥𝐴 𝐵(𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))) ↔ (𝑧𝑉𝑧 𝑥𝐴 ( 𝐵)))
3017, 18, 19, 20, 21elocv 20477 . . . 4 (𝑧 ∈ ( 𝑥𝐴 𝐵) ↔ ( 𝑥𝐴 𝐵𝑉𝑧𝑉 ∧ ∀𝑦 𝑥𝐴 𝐵(𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
31 3anan12 1097 . . . 4 (( 𝑥𝐴 𝐵𝑉𝑧𝑉 ∧ ∀𝑦 𝑥𝐴 𝐵(𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) ↔ (𝑧𝑉 ∧ ( 𝑥𝐴 𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦 𝑥𝐴 𝐵(𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
3230, 31bitri 278 . . 3 (𝑧 ∈ ( 𝑥𝐴 𝐵) ↔ (𝑧𝑉 ∧ ( 𝑥𝐴 𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦 𝑥𝐴 𝐵(𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
33 elin 3857 . . 3 (𝑧 ∈ (𝑉 𝑥𝐴 ( 𝐵)) ↔ (𝑧𝑉𝑧 𝑥𝐴 ( 𝐵)))
3429, 32, 333bitr4i 306 . 2 (𝑧 ∈ ( 𝑥𝐴 𝐵) ↔ 𝑧 ∈ (𝑉 𝑥𝐴 ( 𝐵)))
3534eqriv 2735 1 ( 𝑥𝐴 𝐵) = (𝑉 𝑥𝐴 ( 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1088  wal 1540   = wceq 1542  wcel 2113  wral 3053  wrex 3054  cin 3840  wss 3841   ciun 4878   ciin 4879  cfv 6333  (class class class)co 7164  Basecbs 16579  Scalarcsca 16664  ·𝑖cip 16666  0gc0g 16809  ocvcocv 20469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-iin 4881  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-fv 6341  df-ov 7167  df-ocv 20472
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator