Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoissrrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoissrrn 45966
Description: A half-open interval is a subset of R^n . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
hoissrrn.1 (𝜑𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
hoissrrn (𝜑X𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐼(𝑘)

Proof of Theorem hoissrrn
StepHypRef Expression
1 fvex 6915 . . . . 5 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ∈ V
21rgenw 3062 . . . 4 𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ∈ V
3 ixpssmapg 8953 . . . 4 (∀𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ∈ V → X𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ( 𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ↑m 𝑋))
42, 3ax-mp 5 . . 3 X𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ( 𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ↑m 𝑋)
54a1i 11 . 2 (𝜑X𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ( 𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ↑m 𝑋))
6 reex 11237 . . . 4 ℝ ∈ V
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℝ ∈ V)
8 hoissrrn.1 . . . . . 6 (𝜑𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))
98hoissre 45961 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ℝ)
109ralrimiva 3143 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ℝ)
11 iunss 5052 . . . 4 ( 𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ℝ ↔ ∀𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ℝ)
1210, 11sylibr 233 . . 3 (𝜑 𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ℝ)
13 mapss 8914 . . 3 ((ℝ ∈ V ∧ 𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ℝ) → ( 𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ↑m 𝑋) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
147, 12, 13syl2anc 582 . 2 (𝜑 → ( 𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ↑m 𝑋) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
155, 14sstrd 3992 1 (𝜑X𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2098  wral 3058  Vcvv 3473  wss 3949   ciun 5000   × cxp 5680  ccom 5686  wf 6549  cfv 6553  (class class class)co 7426  m cmap 8851  Xcixp 8922  cr 11145  [,)cico 13366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-er 8731  df-map 8853  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-ico 13370
This theorem is referenced by:  ovnlecvr  45975
  Copyright terms: Public domain W3C validator