Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoissrrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoissrrn 45255
Description: A half-open interval is a subset of R^n . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
hoissrrn.1 (𝜑𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
hoissrrn (𝜑X𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐼(𝑘)

Proof of Theorem hoissrrn
StepHypRef Expression
1 fvex 6904 . . . . 5 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ∈ V
21rgenw 3065 . . . 4 𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ∈ V
3 ixpssmapg 8921 . . . 4 (∀𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ∈ V → X𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ( 𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ↑m 𝑋))
42, 3ax-mp 5 . . 3 X𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ( 𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ↑m 𝑋)
54a1i 11 . 2 (𝜑X𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ( 𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ↑m 𝑋))
6 reex 11200 . . . 4 ℝ ∈ V
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℝ ∈ V)
8 hoissrrn.1 . . . . . 6 (𝜑𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))
98hoissre 45250 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ℝ)
109ralrimiva 3146 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ℝ)
11 iunss 5048 . . . 4 ( 𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ℝ ↔ ∀𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ℝ)
1210, 11sylibr 233 . . 3 (𝜑 𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ℝ)
13 mapss 8882 . . 3 ((ℝ ∈ V ∧ 𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ℝ) → ( 𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ↑m 𝑋) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
147, 12, 13syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ( 𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ↑m 𝑋) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
155, 14sstrd 3992 1 (𝜑X𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2106  wral 3061  Vcvv 3474  wss 3948   ciun 4997   × cxp 5674  ccom 5680  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7408  m cmap 8819  Xcixp 8890  cr 11108  [,)cico 13325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-ico 13329
This theorem is referenced by:  ovnlecvr  45264
  Copyright terms: Public domain W3C validator