Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoissrrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoissrrn 46505
Description: A half-open interval is a subset of R^n . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
hoissrrn.1 (𝜑𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
hoissrrn (𝜑X𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐼(𝑘)

Proof of Theorem hoissrrn
StepHypRef Expression
1 fvex 6920 . . . . 5 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ∈ V
21rgenw 3063 . . . 4 𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ∈ V
3 ixpssmapg 8967 . . . 4 (∀𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ∈ V → X𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ( 𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ↑m 𝑋))
42, 3ax-mp 5 . . 3 X𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ( 𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ↑m 𝑋)
54a1i 11 . 2 (𝜑X𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ( 𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ↑m 𝑋))
6 reex 11244 . . . 4 ℝ ∈ V
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℝ ∈ V)
8 hoissrrn.1 . . . . . 6 (𝜑𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))
98hoissre 46500 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ℝ)
109ralrimiva 3144 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ℝ)
11 iunss 5050 . . . 4 ( 𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ℝ ↔ ∀𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ℝ)
1210, 11sylibr 234 . . 3 (𝜑 𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ℝ)
13 mapss 8928 . . 3 ((ℝ ∈ V ∧ 𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ℝ) → ( 𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ↑m 𝑋) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
147, 12, 13syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ( 𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ↑m 𝑋) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
155, 14sstrd 4006 1 (𝜑X𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2106  wral 3059  Vcvv 3478  wss 3963   ciun 4996   × cxp 5687  ccom 5693  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865  Xcixp 8936  cr 11152  [,)cico 13386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-ico 13390
This theorem is referenced by:  ovnlecvr  46514
  Copyright terms: Public domain W3C validator