Theorem hoissrrn 45199

Description: A half-open interval is a subset of R^n . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
hoissrrn.1	⊢ (𝜑 → 𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))

Assertion

Ref	Expression
hoissrrn	⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐼(𝑘)

Proof of Theorem hoissrrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6900	. . . . 5 ⊢ (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ∈ V
2	1	rgenw 3066	. . . 4 ⊢ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ∈ V
3		ixpssmapg 8917	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ∈ V → X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ (∪ 𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ↑m 𝑋))
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ (∪ 𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ↑m 𝑋)
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ (∪ 𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ↑m 𝑋))
6		reex 11196	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
8		hoissrrn.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))
9	8	hoissre 45194	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ℝ)
10	9	ralrimiva 3147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ℝ)
11		iunss 5046	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ℝ ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ℝ)
12	10, 11	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ℝ)
13		mapss 8878	. . 3 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ℝ) → (∪ 𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ↑m 𝑋) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
14	7, 12, 13	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ↑m 𝑋) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
15	5, 14	sstrd 3990	1 ⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  Vcvv 3475   ⊆ wss 3946  ∪ ciun 4995   × cxp 5672   ∘ ccom 5678  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7403   ↑_m cmap 8815  Xcixp 8886  ℝcr 11104  [,)cico 13321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5283  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-id 5572  df-po 5586  df-so 5587  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-er 8698  df-map 8817  df-ixp 8887  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-ico 13325

This theorem is referenced by:  ovnlecvr  45208