Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoissrrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoissrrn 45199
Description: A half-open interval is a subset of R^n . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
hoissrrn.1 (𝜑𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
hoissrrn (𝜑X𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐼(𝑘)

Proof of Theorem hoissrrn
StepHypRef Expression
1 fvex 6900 . . . . 5 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ∈ V
21rgenw 3066 . . . 4 𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ∈ V
3 ixpssmapg 8917 . . . 4 (∀𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ∈ V → X𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ( 𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ↑m 𝑋))
42, 3ax-mp 5 . . 3 X𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ( 𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ↑m 𝑋)
54a1i 11 . 2 (𝜑X𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ( 𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ↑m 𝑋))
6 reex 11196 . . . 4 ℝ ∈ V
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℝ ∈ V)
8 hoissrrn.1 . . . . . 6 (𝜑𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))
98hoissre 45194 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ℝ)
109ralrimiva 3147 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ℝ)
11 iunss 5046 . . . 4 ( 𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ℝ ↔ ∀𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ℝ)
1210, 11sylibr 233 . . 3 (𝜑 𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ℝ)
13 mapss 8878 . . 3 ((ℝ ∈ V ∧ 𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ℝ) → ( 𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ↑m 𝑋) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
147, 12, 13syl2anc 585 . 2 (𝜑 → ( 𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ↑m 𝑋) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
155, 14sstrd 3990 1 (𝜑X𝑘𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  wral 3062  Vcvv 3475  wss 3946   ciun 4995   × cxp 5672  ccom 5678  wf 6535  cfv 6539  (class class class)co 7403  m cmap 8815  Xcixp 8886  cr 11104  [,)cico 13321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5283  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-id 5572  df-po 5586  df-so 5587  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-er 8698  df-map 8817  df-ixp 8887  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-ico 13325
This theorem is referenced by:  ovnlecvr  45208
  Copyright terms: Public domain W3C validator