Theorem hoissrrn 45834

Description: A half-open interval is a subset of R^n . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
hoissrrn.1	⊢ (𝜑 → 𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))

Assertion

Ref	Expression
hoissrrn	⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐼(𝑘)

Proof of Theorem hoissrrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6898	. . . . 5 ⊢ (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ∈ V
2	1	rgenw 3059	. . . 4 ⊢ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ∈ V
3		ixpssmapg 8924	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ∈ V → X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ (∪ 𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ↑m 𝑋))
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ (∪ 𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ↑m 𝑋)
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ (∪ 𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ↑m 𝑋))
6		reex 11203	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
8		hoissrrn.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))
9	8	hoissre 45829	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ℝ)
10	9	ralrimiva 3140	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ℝ)
11		iunss 5041	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ℝ ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ℝ)
12	10, 11	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ℝ)
13		mapss 8885	. . 3 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ℝ) → (∪ 𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ↑m 𝑋) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
14	7, 12, 13	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ↑m 𝑋) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
15	5, 14	sstrd 3987	1 ⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055  Vcvv 3468   ⊆ wss 3943  ∪ ciun 4990   × cxp 5667   ∘ ccom 5673  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405   ↑_m cmap 8822  Xcixp 8893  ℝcr 11111  [,)cico 13332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-ico 13336

This theorem is referenced by:  ovnlecvr  45843