Theorem hoissrrn2 44116

Description: A half-open interval is a subset of R^n . (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoissrrn2.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
hoissrrn2.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
hoissrrn2.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
hoissrrn2	⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))

Distinct variable group:   𝑘,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem hoissrrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7308	. . . . 5 ⊢ (𝐴[,)𝐵) ∈ V
2	1	rgenw 3076	. . . 4 ⊢ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ∈ V
3		ixpssmapg 8716	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ∈ V → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ (∪ 𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ↑m 𝑋))
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ (∪ 𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ↑m 𝑋)
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ (∪ 𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ↑m 𝑋))
6		reex 10962	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
8		hoissrrn2.kph	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
9		hoissrrn2.a	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
10		hoissrrn2.b	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
11		icossre 13160	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
12	9, 10, 11	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
13	12	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑋 → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ))
14	8, 13	ralrimi 3141	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
15		iunss 4975	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
16	14, 15	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
17		mapss 8677	. . 3 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ) → (∪ 𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ↑m 𝑋) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
18	7, 16, 17	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ↑m 𝑋) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
19	5, 18	sstrd 3931	1 ⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396  Ⅎwnf 1786   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887  ∪ ciun 4924  (class class class)co 7275   ↑_m cmap 8615  Xcixp 8685  ℝcr 10870  ℝ^*cxr 11008  [,)cico 13081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-ico 13085

This theorem is referenced by:  ovnhoilem1  44139  ovnhoilem2  44140  ovnhoi  44141  hoiqssbllem2  44161