Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoissrrn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoissrrn2 45280
Description: A half-open interval is a subset of R^n . (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoissrrn2.kph 𝑘𝜑
hoissrrn2.a ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
hoissrrn2.b ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
hoissrrn2 (𝜑X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
Distinct variable group:   𝑘,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem hoissrrn2
StepHypRef Expression
1 ovex 7438 . . . . 5 (𝐴[,)𝐵) ∈ V
21rgenw 3065 . . . 4 𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ∈ V
3 ixpssmapg 8918 . . . 4 (∀𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ∈ V → X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ ( 𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ↑m 𝑋))
42, 3ax-mp 5 . . 3 X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ ( 𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ↑m 𝑋)
54a1i 11 . 2 (𝜑X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ ( 𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ↑m 𝑋))
6 reex 11197 . . . 4 ℝ ∈ V
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℝ ∈ V)
8 hoissrrn2.kph . . . . 5 𝑘𝜑
9 hoissrrn2.a . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
10 hoissrrn2.b . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
11 icossre 13401 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
129, 10, 11syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
1312ex 413 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝑋 → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ))
148, 13ralrimi 3254 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
15 iunss 5047 . . . 4 ( 𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ ↔ ∀𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
1614, 15sylibr 233 . . 3 (𝜑 𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
17 mapss 8879 . . 3 ((ℝ ∈ V ∧ 𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ) → ( 𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ↑m 𝑋) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
187, 16, 17syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ( 𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ↑m 𝑋) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
195, 18sstrd 3991 1 (𝜑X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wnf 1785  wcel 2106  wral 3061  Vcvv 3474  wss 3947   ciun 4996  (class class class)co 7405  m cmap 8816  Xcixp 8887  cr 11105  *cxr 11243  [,)cico 13322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-ico 13326
This theorem is referenced by:  ovnhoilem1  45303  ovnhoilem2  45304  ovnhoi  45305  hoiqssbllem2  45325
  Copyright terms: Public domain W3C validator