Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoissrrn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoissrrn2 45745
Description: A half-open interval is a subset of R^n . (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoissrrn2.kph 𝑘𝜑
hoissrrn2.a ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
hoissrrn2.b ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
hoissrrn2 (𝜑X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
Distinct variable group:   𝑘,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem hoissrrn2
StepHypRef Expression
1 ovex 7434 . . . . 5 (𝐴[,)𝐵) ∈ V
21rgenw 3057 . . . 4 𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ∈ V
3 ixpssmapg 8917 . . . 4 (∀𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ∈ V → X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ ( 𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ↑m 𝑋))
42, 3ax-mp 5 . . 3 X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ ( 𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ↑m 𝑋)
54a1i 11 . 2 (𝜑X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ ( 𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ↑m 𝑋))
6 reex 11196 . . . 4 ℝ ∈ V
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℝ ∈ V)
8 hoissrrn2.kph . . . . 5 𝑘𝜑
9 hoissrrn2.a . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
10 hoissrrn2.b . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
11 icossre 13401 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
129, 10, 11syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
1312ex 412 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝑋 → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ))
148, 13ralrimi 3246 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
15 iunss 5038 . . . 4 ( 𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ ↔ ∀𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
1614, 15sylibr 233 . . 3 (𝜑 𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
17 mapss 8878 . . 3 ((ℝ ∈ V ∧ 𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ) → ( 𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ↑m 𝑋) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
187, 16, 17syl2anc 583 . 2 (𝜑 → ( 𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ↑m 𝑋) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
195, 18sstrd 3984 1 (𝜑X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wnf 1777  wcel 2098  wral 3053  Vcvv 3466  wss 3940   ciun 4987  (class class class)co 7401  m cmap 8815  Xcixp 8886  cr 11104  *cxr 11243  [,)cico 13322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-er 8698  df-map 8817  df-ixp 8887  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-ico 13326
This theorem is referenced by:  ovnhoilem1  45768  ovnhoilem2  45769  ovnhoi  45770  hoiqssbllem2  45790
  Copyright terms: Public domain W3C validator