Theorem hoissrrn2 47021

Description: A half-open interval is a subset of R^n . (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoissrrn2.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
hoissrrn2.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
hoissrrn2.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
hoissrrn2	⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))

Distinct variable group:   𝑘,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem hoissrrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7389	. . . . 5 ⊢ (𝐴[,)𝐵) ∈ V
2	1	rgenw 3057	. . . 4 ⊢ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ∈ V
3		ixpssmapg 8866	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ∈ V → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ (∪ 𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ↑m 𝑋))
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ (∪ 𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ↑m 𝑋)
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ (∪ 𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ↑m 𝑋))
6		reex 11120	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
8		hoissrrn2.kph	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
9		hoissrrn2.a	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
10		hoissrrn2.b	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
11		icossre 13372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
12	9, 10, 11	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
13	12	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑋 → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ))
14	8, 13	ralrimi 3237	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
15		iunss 4974	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
16	14, 15	sylibr 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
17		mapss 8827	. . 3 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ) → (∪ 𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ↑m 𝑋) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
18	7, 16, 17	syl2anc 590	. 2 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ↑m 𝑋) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
19	5, 18	sstrd 3925	1 ⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396  Ⅎwnf 1790   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  Vcvv 3431   ⊆ wss 3883  ∪ ciun 4921  (class class class)co 7356   ↑_m cmap 8763  Xcixp 8835  ℝcr 11028  ℝ^*cxr 11169  [,)cico 13291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-er 8633  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-ico 13295

This theorem is referenced by:  ovnhoilem1  47044  ovnhoilem2  47045  ovnhoi  47046  hoiqssbllem2  47066