Theorem kqf 23672

Description: The Kolmogorov quotient is a topology on the quotient set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kqf	⊢ KQ:Top⟶Kol2

Proof of Theorem kqf

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7388	. . 3 ⊢ (𝑗 qTop (𝑥 ∈ ∪ 𝑗 ↦ {𝑦 ∈ 𝑗 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦})) ∈ V
2		df-kq 23619	. . 3 ⊢ KQ = (𝑗 ∈ Top ↦ (𝑗 qTop (𝑥 ∈ ∪ 𝑗 ↦ {𝑦 ∈ 𝑗 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦})))
3	1, 2	fnmpti 6632	. 2 ⊢ KQ Fn Top
4		kqt0 23671	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Top ↔ (KQ‘𝑥) ∈ Kol2)
5	4	biimpi 216	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Top → (KQ‘𝑥) ∈ Kol2)
6	5	rgen 3051	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ Top (KQ‘𝑥) ∈ Kol2
7		ffnfv 7061	. 2 ⊢ (KQ:Top⟶Kol2 ↔ (KQ Fn Top ∧ ∀𝑥 ∈ Top (KQ‘𝑥) ∈ Kol2))
8	3, 6, 7	mpbir2an 711	1 ⊢ KQ:Top⟶Kol2

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049  {crab 3397  ∪ cuni 4860   ↦ cmpt 5176   Fn wfn 6484  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355   qTop cqtop 17417  Topctop 22818  Kol2ct0 23231  KQckq 23618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-qtop 17421  df-top 22819  df-topon 22836  df-t0 23238  df-kq 23619

This theorem is referenced by: (None)