Theorem kqf 23667

Description: The Kolmogorov quotient is a topology on the quotient set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kqf	⊢ KQ:Top⟶Kol2

Proof of Theorem kqf

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7402	. . 3 ⊢ (𝑗 qTop (𝑥 ∈ ∪ 𝑗 ↦ {𝑦 ∈ 𝑗 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦})) ∈ V
2		df-kq 23614	. . 3 ⊢ KQ = (𝑗 ∈ Top ↦ (𝑗 qTop (𝑥 ∈ ∪ 𝑗 ↦ {𝑦 ∈ 𝑗 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦})))
3	1, 2	fnmpti 6643	. 2 ⊢ KQ Fn Top
4		kqt0 23666	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Top ↔ (KQ‘𝑥) ∈ Kol2)
5	4	biimpi 216	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Top → (KQ‘𝑥) ∈ Kol2)
6	5	rgen 3046	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ Top (KQ‘𝑥) ∈ Kol2
7		ffnfv 7073	. 2 ⊢ (KQ:Top⟶Kol2 ↔ (KQ Fn Top ∧ ∀𝑥 ∈ Top (KQ‘𝑥) ∈ Kol2))
8	3, 6, 7	mpbir2an 711	1 ⊢ KQ:Top⟶Kol2

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {crab 3402  ∪ cuni 4867   ↦ cmpt 5183   Fn wfn 6494  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   qTop cqtop 17442  Topctop 22813  Kol2ct0 23226  KQckq 23613

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-qtop 17446  df-top 22814  df-topon 22831  df-t0 23233  df-kq 23614

This theorem is referenced by: (None)