Theorem kqf 23941

Description: The Kolmogorov quotient is a topology on the quotient set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kqf	⊢ KQ:Top⟶Kol2

Proof of Theorem kqf

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7456	. . 3 ⊢ (𝑗 qTop (𝑥 ∈ ∪ 𝑗 ↦ {𝑦 ∈ 𝑗 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦})) ∈ V
2		df-kq 23888	. . 3 ⊢ KQ = (𝑗 ∈ Top ↦ (𝑗 qTop (𝑥 ∈ ∪ 𝑗 ↦ {𝑦 ∈ 𝑗 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦})))
3	1, 2	fnmpti 6685	. 2 ⊢ KQ Fn Top
4		kqt0 23940	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Top ↔ (KQ‘𝑥) ∈ Kol2)
5	4	biimpi 219	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Top → (KQ‘𝑥) ∈ Kol2)
6	5	rgen 3084	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ Top (KQ‘𝑥) ∈ Kol2
7		ffnfv 7121	. 2 ⊢ (KQ:Top⟶Kol2 ↔ (KQ Fn Top ∧ ∀𝑥 ∈ Top (KQ‘𝑥) ∈ Kol2))
8	3, 6, 7	mpbir2an 724	1 ⊢ KQ:Top⟶Kol2

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082  {crab 3419  ∪ cuni 4877   ↦ cmpt 5197   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   qTop cqtop 17582  Topctop 23087  Kol2ct0 23500  KQckq 23887

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-qtop 17586  df-top 23088  df-topon 23105  df-t0 23507  df-kq 23888

This theorem is used by: (None)