Theorem kqf 23787

Description: The Kolmogorov quotient is a topology on the quotient set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kqf	⊢ KQ:Top⟶Kol2

Proof of Theorem kqf

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7425	. . 3 ⊢ (𝑗 qTop (𝑥 ∈ ∪ 𝑗 ↦ {𝑦 ∈ 𝑗 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦})) ∈ V
2		df-kq 23734	. . 3 ⊢ KQ = (𝑗 ∈ Top ↦ (𝑗 qTop (𝑥 ∈ ∪ 𝑗 ↦ {𝑦 ∈ 𝑗 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦})))
3	1, 2	fnmpti 6660	. 2 ⊢ KQ Fn Top
4		kqt0 23786	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Top ↔ (KQ‘𝑥) ∈ Kol2)
5	4	biimpi 218	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Top → (KQ‘𝑥) ∈ Kol2)
6	5	rgen 3077	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ Top (KQ‘𝑥) ∈ Kol2
7		ffnfv 7096	. 2 ⊢ (KQ:Top⟶Kol2 ↔ (KQ Fn Top ∧ ∀𝑥 ∈ Top (KQ‘𝑥) ∈ Kol2))
8	3, 6, 7	mpbir2an 721	1 ⊢ KQ:Top⟶Kol2

Syntax hints:   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  {crab 3413  ∪ cuni 4864   ↦ cmpt 5180   Fn wfn 6512  ⟶wf 6513  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392   qTop cqtop 17516  Topctop 22933  Kol2ct0 23346  KQckq 23733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-qtop 17520  df-top 22934  df-topon 22951  df-t0 23353  df-kq 23734

This theorem is referenced by: (None)