Theorem kqf 24096

Description: The Kolmogorov quotient is a topology on the quotient set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kqf	⊢ KQ:Top⟶Kol2

Proof of Theorem kqf

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7476	. . 3 ⊢ (𝑗 qTop (𝑥 ∈ ∪ 𝑗 ↦ {𝑦 ∈ 𝑗 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦})) ∈ V
2		df-kq 24043	. . 3 ⊢ KQ = (𝑗 ∈ Top ↦ (𝑗 qTop (𝑥 ∈ ∪ 𝑗 ↦ {𝑦 ∈ 𝑗 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦})))
3	1, 2	fnmpti 6704	. 2 ⊢ KQ Fn Top
4		kqt0 24095	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Top ↔ (KQ‘𝑥) ∈ Kol2)
5	4	biimpi 219	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Top → (KQ‘𝑥) ∈ Kol2)
6	5	rgen 3082	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ Top (KQ‘𝑥) ∈ Kol2
7		ffnfv 7143	. 2 ⊢ (KQ:Top⟶Kol2 ↔ (KQ Fn Top ∧ ∀𝑥 ∈ Top (KQ‘𝑥) ∈ Kol2))
8	3, 6, 7	mpbir2an 724	1 ⊢ KQ:Top⟶Kol2

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  {crab 3416  ∪ cuni 4870   ↦ cmpt 5189   Fn wfn 6553  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443   qTop cqtop 17704  Topctop 23241  Kol2ct0 23654  KQckq 24042

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-qtop 17708  df-top 23242  df-topon 23259  df-t0 23661  df-kq 24043

This theorem is used by: (None)