Theorem kqt0 23720

Description: The Kolmogorov quotient is T₀ even if the original topology is not. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kqt0	⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ (KQ‘𝐽) ∈ Kol2)

Proof of Theorem kqt0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toptopon2 22892	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ↦ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦}) = (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ↦ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦})
3	2	kqt0lem 23710	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) → (KQ‘𝐽) ∈ Kol2)
4	1, 3	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (KQ‘𝐽) ∈ Kol2)
5		t0top 23303	. . 3 ⊢ ((KQ‘𝐽) ∈ Kol2 → (KQ‘𝐽) ∈ Top)
6		kqtop 23719	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ (KQ‘𝐽) ∈ Top)
7	5, 6	sylibr 234	. 2 ⊢ ((KQ‘𝐽) ∈ Kol2 → 𝐽 ∈ Top)
8	4, 7	impbii 209	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ (KQ‘𝐽) ∈ Kol2)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114  {crab 3390  ∪ cuni 4851   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6490  Topctop 22867  TopOnctopon 22884  Kol2ct0 23280  KQckq 23667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-qtop 17460  df-top 22868  df-topon 22885  df-t0 23287  df-kq 23668

This theorem is referenced by:  kqf  23721  kqhmph  23793