Theorem kqt0 23733

Description: The Kolmogorov quotient is T₀ even if the original topology is not. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kqt0	⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ (KQ‘𝐽) ∈ Kol2)

Proof of Theorem kqt0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toptopon2 22903	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
2		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ↦ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦}) = (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ↦ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦})
3	2	kqt0lem 23723	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) → (KQ‘𝐽) ∈ Kol2)
4	1, 3	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (KQ‘𝐽) ∈ Kol2)
5		t0top 23316	. . 3 ⊢ ((KQ‘𝐽) ∈ Kol2 → (KQ‘𝐽) ∈ Top)
6		kqtop 23732	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ (KQ‘𝐽) ∈ Top)
7	5, 6	sylibr 233	. 2 ⊢ ((KQ‘𝐽) ∈ Kol2 → 𝐽 ∈ Top)
8	4, 7	impbii 208	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ (KQ‘𝐽) ∈ Kol2)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∈ wcel 2098  {crab 3418  ∪ cuni 4912   ↦ cmpt 5235  ‘cfv 6553  Topctop 22878  TopOnctopon 22895  Kol2ct0 23293  KQckq 23680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5579  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-qtop 17517  df-top 22879  df-topon 22896  df-t0 23300  df-kq 23681

This theorem is referenced by:  kqf  23734  kqhmph  23806