Theorem kqt0 22897

Description: The Kolmogorov quotient is T₀ even if the original topology is not. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kqt0	⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ (KQ‘𝐽) ∈ Kol2)

Proof of Theorem kqt0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toptopon2 22067	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ↦ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦}) = (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ↦ {𝑦 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦})
3	2	kqt0lem 22887	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) → (KQ‘𝐽) ∈ Kol2)
4	1, 3	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (KQ‘𝐽) ∈ Kol2)
5		t0top 22480	. . 3 ⊢ ((KQ‘𝐽) ∈ Kol2 → (KQ‘𝐽) ∈ Top)
6		kqtop 22896	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ (KQ‘𝐽) ∈ Top)
7	5, 6	sylibr 233	. 2 ⊢ ((KQ‘𝐽) ∈ Kol2 → 𝐽 ∈ Top)
8	4, 7	impbii 208	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ (KQ‘𝐽) ∈ Kol2)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∈ wcel 2106  {crab 3068  ∪ cuni 4839   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  Topctop 22042  TopOnctopon 22059  Kol2ct0 22457  KQckq 22844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-qtop 17218  df-top 22043  df-topon 22060  df-t0 22464  df-kq 22845

This theorem is referenced by:  kqf  22898  kqhmph  22970