MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kqt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem kqt0 23770
Description: The Kolmogorov quotient is T0 even if the original topology is not. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
kqt0 (𝐽 ∈ Top ↔ (KQ‘𝐽) ∈ Kol2)

Proof of Theorem kqt0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 toptopon2 22940 . . 3 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
2 eqid 2735 . . . 4 (𝑥 𝐽 ↦ {𝑦𝐽𝑥𝑦}) = (𝑥 𝐽 ↦ {𝑦𝐽𝑥𝑦})
32kqt0lem 23760 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) → (KQ‘𝐽) ∈ Kol2)
41, 3sylbi 217 . 2 (𝐽 ∈ Top → (KQ‘𝐽) ∈ Kol2)
5 t0top 23353 . . 3 ((KQ‘𝐽) ∈ Kol2 → (KQ‘𝐽) ∈ Top)
6 kqtop 23769 . . 3 (𝐽 ∈ Top ↔ (KQ‘𝐽) ∈ Top)
75, 6sylibr 234 . 2 ((KQ‘𝐽) ∈ Kol2 → 𝐽 ∈ Top)
84, 7impbii 209 1 (𝐽 ∈ Top ↔ (KQ‘𝐽) ∈ Kol2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wcel 2106  {crab 3433   cuni 4912  cmpt 5231  cfv 6563  Topctop 22915  TopOnctopon 22932  Kol2ct0 23330  KQckq 23717
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-qtop 17554  df-top 22916  df-topon 22933  df-t0 23337  df-kq 23718
This theorem is referenced by:  kqf  23771  kqhmph  23843
  Copyright terms: Public domain W3C validator