MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r0sep Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem r0sep 23097
Description: The separation property of an R0 space. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
r0sep (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (KQ‘𝐽) ∈ Fre) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝐵𝑜) → ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝐵𝑜)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑜   𝐵,𝑜   𝑜,𝐽   𝑜,𝑋

Proof of Theorem r0sep
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . . 4 (𝑧𝑋 ↦ {𝑤𝐽𝑧𝑤}) = (𝑧𝑋 ↦ {𝑤𝐽𝑧𝑤})
21isr0 23086 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → ((KQ‘𝐽) ∈ Fre ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → ∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜))))
32biimpa 477 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (KQ‘𝐽) ∈ Fre) → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → ∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜)))
4 eleq1 2825 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝑜𝐴𝑜))
54imbi1d 341 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥𝑜𝑦𝑜) ↔ (𝐴𝑜𝑦𝑜)))
65ralbidv 3174 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) ↔ ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝑦𝑜)))
74bibi1d 343 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥𝑜𝑦𝑜) ↔ (𝐴𝑜𝑦𝑜)))
87ralbidv 3174 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) ↔ ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝑦𝑜)))
96, 8imbi12d 344 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → ∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜)) ↔ (∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝑦𝑜) → ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝑦𝑜))))
10 eleq1 2825 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦𝑜𝐵𝑜))
1110imbi2d 340 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → ((𝐴𝑜𝑦𝑜) ↔ (𝐴𝑜𝐵𝑜)))
1211ralbidv 3174 . . . 4 (𝑦 = 𝐵 → (∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝑦𝑜) ↔ ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝐵𝑜)))
1310bibi2d 342 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → ((𝐴𝑜𝑦𝑜) ↔ (𝐴𝑜𝐵𝑜)))
1413ralbidv 3174 . . . 4 (𝑦 = 𝐵 → (∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝑦𝑜) ↔ ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝐵𝑜)))
1512, 14imbi12d 344 . . 3 (𝑦 = 𝐵 → ((∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝑦𝑜) → ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝑦𝑜)) ↔ (∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝐵𝑜) → ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝐵𝑜))))
169, 15rspc2v 3590 . 2 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → ∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜)) → (∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝐵𝑜) → ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝐵𝑜))))
173, 16mpan9 507 1 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (KQ‘𝐽) ∈ Fre) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝐵𝑜) → ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜𝐵𝑜)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  {crab 3407  cmpt 5188  cfv 6496  TopOnctopon 22257  Frect1 22656  KQckq 23042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-map 8766  df-topgen 17324  df-qtop 17388  df-top 22241  df-topon 22258  df-cld 22368  df-cn 22576  df-t1 22663  df-kq 23043
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator