MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r0sep Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem r0sep 23472
Description: The separation property of an R0 space. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
r0sep (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Fre) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ 𝐡 ∈ π‘œ) β†’ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ ↔ 𝐡 ∈ π‘œ)))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘œ   𝐡,π‘œ   π‘œ,𝐽   π‘œ,𝑋
Proof of Theorem r0sep
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . 4 (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝐽 ∣ 𝑧 ∈ 𝑀}) = (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝐽 ∣ 𝑧 ∈ 𝑀})
21isr0 23461 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ ((KQβ€˜π½) ∈ Fre ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ π‘œ β†’ 𝑦 ∈ π‘œ) β†’ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ π‘œ ↔ 𝑦 ∈ π‘œ))))
32biimpa 477 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Fre) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ π‘œ β†’ 𝑦 ∈ π‘œ) β†’ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ π‘œ ↔ 𝑦 ∈ π‘œ)))
4 eleq1 2821 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ π‘œ ↔ 𝐴 ∈ π‘œ))
54imbi1d 341 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ π‘œ β†’ 𝑦 ∈ π‘œ) ↔ (𝐴 ∈ π‘œ β†’ 𝑦 ∈ π‘œ)))
65ralbidv 3177 . . . 4 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ π‘œ β†’ 𝑦 ∈ π‘œ) ↔ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ 𝑦 ∈ π‘œ)))
74bibi1d 343 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ π‘œ ↔ 𝑦 ∈ π‘œ) ↔ (𝐴 ∈ π‘œ ↔ 𝑦 ∈ π‘œ)))
87ralbidv 3177 . . . 4 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ π‘œ ↔ 𝑦 ∈ π‘œ) ↔ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ ↔ 𝑦 ∈ π‘œ)))
96, 8imbi12d 344 . . 3 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ((βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ π‘œ β†’ 𝑦 ∈ π‘œ) β†’ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ π‘œ ↔ 𝑦 ∈ π‘œ)) ↔ (βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ 𝑦 ∈ π‘œ) β†’ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ ↔ 𝑦 ∈ π‘œ))))
10 eleq1 2821 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐡 β†’ (𝑦 ∈ π‘œ ↔ 𝐡 ∈ π‘œ))
1110imbi2d 340 . . . . 5 (𝑦 = 𝐡 β†’ ((𝐴 ∈ π‘œ β†’ 𝑦 ∈ π‘œ) ↔ (𝐴 ∈ π‘œ β†’ 𝐡 ∈ π‘œ)))
1211ralbidv 3177 . . . 4 (𝑦 = 𝐡 β†’ (βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ 𝑦 ∈ π‘œ) ↔ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ 𝐡 ∈ π‘œ)))
1310bibi2d 342 . . . . 5 (𝑦 = 𝐡 β†’ ((𝐴 ∈ π‘œ ↔ 𝑦 ∈ π‘œ) ↔ (𝐴 ∈ π‘œ ↔ 𝐡 ∈ π‘œ)))
1413ralbidv 3177 . . . 4 (𝑦 = 𝐡 β†’ (βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ ↔ 𝑦 ∈ π‘œ) ↔ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ ↔ 𝐡 ∈ π‘œ)))
1512, 14imbi12d 344 . . 3 (𝑦 = 𝐡 β†’ ((βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ 𝑦 ∈ π‘œ) β†’ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ ↔ 𝑦 ∈ π‘œ)) ↔ (βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ 𝐡 ∈ π‘œ) β†’ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ ↔ 𝐡 ∈ π‘œ))))
169, 15rspc2v 3622 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ π‘œ β†’ 𝑦 ∈ π‘œ) β†’ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ π‘œ ↔ 𝑦 ∈ π‘œ)) β†’ (βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ 𝐡 ∈ π‘œ) β†’ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ ↔ 𝐡 ∈ π‘œ))))
173, 16mpan9 507 1 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (KQβ€˜π½) ∈ Fre) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ 𝐡 ∈ π‘œ) β†’ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ ↔ 𝐡 ∈ π‘œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  {crab 3432   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6543  TopOnctopon 22632  Frect1 23031  KQckq 23417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-map 8824  df-topgen 17393  df-qtop 17457  df-top 22616  df-topon 22633  df-cld 22743  df-cn 22951  df-t1 23038  df-kq 23418
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator