MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latj4rot Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem latj4rot 18447
Description: Rotate lattice join of 4 classes. (Contributed by NM, 11-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
latjass.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
latjass.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
latj4rot ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ (𝑍 ∨ π‘Š)) = ((π‘Š ∨ 𝑋) ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
Proof of Theorem latj4rot
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
2 simp3l 1201 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
3 simp3r 1202 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
4 latjass.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
5 latjass.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
64, 5latjcom 18404 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (𝑍 ∨ π‘Š) = (π‘Š ∨ 𝑍))
71, 2, 3, 6syl3anc 1371 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ (𝑍 ∨ π‘Š) = (π‘Š ∨ 𝑍))
87oveq2d 7427 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ (𝑍 ∨ π‘Š)) = ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ (π‘Š ∨ 𝑍)))
93, 2jca 512 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡))
104, 5latj4 18446 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (π‘Š ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ (π‘Š ∨ 𝑍)) = ((𝑋 ∨ π‘Š) ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
119, 10syld3an3 1409 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ (π‘Š ∨ 𝑍)) = ((𝑋 ∨ π‘Š) ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
12 simp2l 1199 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
134, 5latjcom 18404 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ π‘Š) = (π‘Š ∨ 𝑋))
141, 12, 3, 13syl3anc 1371 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∨ π‘Š) = (π‘Š ∨ 𝑋))
1514oveq1d 7426 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Š) ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)) = ((π‘Š ∨ 𝑋) ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
168, 11, 153eqtrd 2776 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ (𝑍 ∨ π‘Š)) = ((π‘Š ∨ 𝑋) ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  joincjn 18268  Latclat 18388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-proset 18252  df-poset 18270  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-lat 18389
This theorem is referenced by:  4atlem11  38783  4atlem12  38786
  Copyright terms: Public domain W3C validator