Theorem 4atlem12 40276

Description: Lemma for 4at 40277. Combine all four possible cases. (Contributed by NM, 11-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
4at.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4at.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4at.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
4atlem12	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))

Proof of Theorem 4atlem12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl11 1265	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝐾 ∈ HL)
2	1	hllatd 40028	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝐾 ∈ Lat)
3		simpl12 1266	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
4		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5		4at.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6	4, 5	atbase 39953	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
7	3, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
8		simpl13 1267	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑄 ∈ 𝐴)
9	4, 5	atbase 39953	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
10	8, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
11		simpl23 1270	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑇 ∈ 𝐴)
12		simpl31 1271	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑈 ∈ 𝐴)
13		4at.j	. . . . . . . 8 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
14	4, 13, 5	hlatjcl 40031	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → (𝑇 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
15	1, 11, 12, 14	syl3anc 1396	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑇 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
16		simpl32 1272	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑉 ∈ 𝐴)
17		simpl33 1273	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑊 ∈ 𝐴)
18	4, 13, 5	hlatjcl 40031	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) → (𝑉 ∨ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
19	1, 16, 17, 18	syl3anc 1396	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑉 ∨ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
20	4, 13	latjcl 18495	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑇 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑉 ∨ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
21	2, 15, 19, 20	syl3anc 1396	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
22		4at.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
23	4, 22, 13	latjle12 18506	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))
24	2, 7, 10, 21, 23	syl13anc 1397	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))
25		simpl21 1268	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑅 ∈ 𝐴)
26	4, 5	atbase 39953	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
27	25, 26	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
28		simpl22 1269	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑆 ∈ 𝐴)
29	4, 5	atbase 39953	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
30	28, 29	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
31	4, 22, 13	latjle12 18506	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ↔ (𝑅 ∨ 𝑆) ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))
32	2, 27, 30, 21, 31	syl13anc 1397	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ↔ (𝑅 ∨ 𝑆) ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))
33	24, 32	anbi12d 643	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))))
34		simpl1 1208	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴))
35	4, 13, 5	hlatjcl 40031	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
36	34, 35	syl 18	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
37	4, 13, 5	hlatjcl 40031	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
38	1, 25, 28, 37	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
39	4, 22, 13	latjle12 18506	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))
40	2, 36, 38, 21, 39	syl13anc 1397	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))
41	33, 40	bitrd 282	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))
42		simp1l 1214	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ((𝑈 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ ((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)))
43		simp1r 1215	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ((𝑈 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ ((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))) → (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
44		simp2 1153	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ((𝑈 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ ((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))) → ¬ 𝑃 ≤ ((𝑈 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊))
45		simp3 1154	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ((𝑈 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ ((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))) → ((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))))
46	22, 13, 5	4atlem12b 40275	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ((𝑈 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ ((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
47	42, 43, 44, 45, 46	syl121anc 1400	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ((𝑈 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ ((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
48	47	3exp 1135	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (¬ 𝑃 ≤ ((𝑈 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) → (((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))))
49	4, 13	latj4rot 18546	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ (𝑆 ∨ 𝑃)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)))
50	2, 10, 27, 30, 7, 49	syl122anc 1404	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ (𝑆 ∨ 𝑃)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)))
51	50	3ad2ant1 1149	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑈 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ ((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ (𝑆 ∨ 𝑃)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)))
52	1, 8, 25	3jca 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴))
53	28, 3, 11	3jca 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴))
54		simpl3 1210	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴))
55	52, 53, 54	3jca 1144	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)))
56	55	3ad2ant1 1149	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑈 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ ((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)))
57		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
58	22, 13, 5	4noncolr3 40117	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)))
59	34, 25, 28, 57, 58	syl121anc 1400	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)))
60	59	3ad2ant1 1149	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑈 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ ((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))) → (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)))
61		simp2 1153	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑈 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ ((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))) → ¬ 𝑄 ≤ ((𝑈 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊))
62		simprlr 791	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))) → 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
63		simprrl 792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))) → 𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
64	62, 63	jca 520	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))) → (𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))
65		simprrr 793	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))) → 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
66		simprll 790	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))) → 𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
67	64, 65, 66	jca32 524	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))) → ((𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))))
68	67	3adant2 1147	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑈 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ ((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))) → ((𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))))
69	22, 13, 5	4atlem12b 40275	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑈 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ ((𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ (𝑆 ∨ 𝑃)) = ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
70	56, 60, 61, 68, 69	syl121anc 1400	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑈 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ ((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ (𝑆 ∨ 𝑃)) = ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
71	51, 70	eqtr3d 2806	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑈 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ ((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
72	71	3exp 1135	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (¬ 𝑄 ≤ ((𝑈 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) → (((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))))
73	48, 72	jaod 872	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((¬ 𝑃 ≤ ((𝑈 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∨ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑈 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) → (((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))))
74	4, 13	latjcom 18503	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑅 ∨ 𝑆) ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)))
75	2, 36, 38, 74	syl3anc 1396	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑅 ∨ 𝑆) ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)))
76	75	3ad2ant1 1149	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑈 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ ((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑅 ∨ 𝑆) ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)))
77	1, 25, 28	3jca 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴))
78	3, 8, 11	3jca 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴))
79	77, 78, 54	3jca 1144	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)))
80	79	3ad2ant1 1149	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑈 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ ((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)))
81	22, 13, 5	4noncolr2 40118	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑆) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∨ 𝑃)))
82	34, 25, 28, 57, 81	syl121anc 1400	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑆) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∨ 𝑃)))
83	82	3ad2ant1 1149	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑈 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ ((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))) → (𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑆) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∨ 𝑃)))
84		simp2 1153	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑈 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ ((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))) → ¬ 𝑅 ≤ ((𝑈 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊))
85		simprr 784	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))) → (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))
86		simprl 782	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))) → (𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))
87	85, 86	jca 520	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))) → ((𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))))
88	87	3adant2 1147	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑈 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ ((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))) → ((𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))))
89	22, 13, 5	4atlem12b 40275	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑆) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∨ 𝑃)) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑈 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ ((𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))) → ((𝑅 ∨ 𝑆) ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) = ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
90	80, 83, 84, 88, 89	syl121anc 1400	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑈 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ ((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))) → ((𝑅 ∨ 𝑆) ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) = ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
91	76, 90	eqtrd 2804	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑈 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ ((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
92	91	3exp 1135	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (¬ 𝑅 ≤ ((𝑈 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) → (((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))))
93	4, 13	latj4rot 18546	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑆 ∨ 𝑃) ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)))
94	2, 7, 10, 27, 30, 93	syl122anc 1404	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑆 ∨ 𝑃) ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)))
95	94	3ad2ant1 1149	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑈 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ ((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑆 ∨ 𝑃) ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)))
96	1, 28, 3	3jca 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴))
97	8, 25, 11	3jca 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴))
98	96, 97, 54	3jca 1144	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)))
99	98	3ad2ant1 1149	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑈 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ ((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)))
100	22, 13, 5	4noncolr1 40119	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑆 ≠ 𝑃 ∧ ¬ 𝑄 ≤ (𝑆 ∨ 𝑃) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑆 ∨ 𝑃) ∨ 𝑄)))
101	34, 25, 28, 57, 100	syl121anc 1400	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑆 ≠ 𝑃 ∧ ¬ 𝑄 ≤ (𝑆 ∨ 𝑃) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑆 ∨ 𝑃) ∨ 𝑄)))
102	101	3ad2ant1 1149	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑈 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ ((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))) → (𝑆 ≠ 𝑃 ∧ ¬ 𝑄 ≤ (𝑆 ∨ 𝑃) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑆 ∨ 𝑃) ∨ 𝑄)))
103		simp2 1153	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑈 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ ((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))) → ¬ 𝑆 ≤ ((𝑈 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊))
104	65, 66	jca 520	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))) → (𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))
105	104, 62, 63	jca32 524	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))) → ((𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))))
106	105	3adant2 1147	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑈 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ ((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))) → ((𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))))
107	22, 13, 5	4atlem12b 40275	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑆 ≠ 𝑃 ∧ ¬ 𝑄 ≤ (𝑆 ∨ 𝑃) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑆 ∨ 𝑃) ∨ 𝑄)) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑈 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ ((𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))) → ((𝑆 ∨ 𝑃) ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)) = ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
108	99, 102, 103, 106, 107	syl121anc 1400	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑈 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ ((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))) → ((𝑆 ∨ 𝑃) ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)) = ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
109	95, 108	eqtrd 2804	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑈 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ ((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
110	109	3exp 1135	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (¬ 𝑆 ≤ ((𝑈 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) → (((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))))
111	92, 110	jaod 872	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((¬ 𝑅 ≤ ((𝑈 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∨ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑈 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) → (((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))))
112	25, 28, 12	3jca 1144	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴))
113	16, 17	jca 520	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴))
114	22, 13, 5	4atlem3 40260	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((¬ 𝑃 ≤ ((𝑈 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∨ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑈 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∨ (¬ 𝑅 ≤ ((𝑈 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∨ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑈 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊))))
115	34, 112, 113, 57, 114	syl31anc 1398	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((¬ 𝑃 ≤ ((𝑈 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∨ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑈 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∨ (¬ 𝑅 ≤ ((𝑈 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∨ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑈 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊))))
116	73, 111, 115	mpjaod 873	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (((𝑃 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))
117	41, 116	sylbird 263	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≤ ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑇 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17269  lecple 17317  joincjn 18367  Latclat 18487  Atomscatm 39927  HLchlt 40014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-proset 18350  df-poset 18369  df-plt 18384  df-lub 18400  df-glb 18401  df-join 18402  df-meet 18403  df-p0 18479  df-lat 18488  df-clat 18555  df-oposet 39840  df-ol 39842  df-oml 39843  df-covers 39930  df-ats 39931  df-atl 39962  df-cvlat 39986  df-hlat 40015  df-llines 40162  df-lplanes 40163  df-lvols 40164

This theorem is referenced by:  4at  40277