Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  4atlem12 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 4atlem12 38996
Description: Lemma for 4at 38997. Combine all four possible cases. (Contributed by NM, 11-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
4at.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
4at.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
4at.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
4atlem12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
Proof of Theorem 4atlem12
StepHypRef Expression
1 simpl11 1245 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 38747 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 simpl12 1246 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
4 eqid 2726 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
5 4at.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
64, 5atbase 38672 . . . . . 6 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
73, 6syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
8 simpl13 1247 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
94, 5atbase 38672 . . . . . 6 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
108, 9syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
11 simpl23 1250 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ 𝑇 ∈ 𝐴)
12 simpl31 1251 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
13 4at.j . . . . . . . 8 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
144, 13, 5hlatjcl 38750 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
151, 11, 12, 14syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
16 simpl32 1252 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ 𝑉 ∈ 𝐴)
17 simpl33 1253 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ π‘Š ∈ 𝐴)
184, 13, 5hlatjcl 38750 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) β†’ (𝑉 ∨ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
191, 16, 17, 18syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (𝑉 ∨ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
204, 13latjcl 18404 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑉 ∨ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
212, 15, 19, 20syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
22 4at.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
234, 22, 13latjle12 18415 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
242, 7, 10, 21, 23syl13anc 1369 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
25 simpl21 1248 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
264, 5atbase 38672 . . . . . 6 (𝑅 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2725, 26syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
28 simpl22 1249 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
294, 5atbase 38672 . . . . . 6 (𝑆 ∈ 𝐴 β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3028, 29syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
314, 22, 13latjle12 18415 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ↔ (𝑅 ∨ 𝑆) ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
322, 27, 30, 21, 31syl13anc 1369 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ ((𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ↔ (𝑅 ∨ 𝑆) ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
3324, 32anbi12d 630 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))))
34 simpl1 1188 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴))
354, 13, 5hlatjcl 38750 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3634, 35syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
374, 13, 5hlatjcl 38750 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
381, 25, 28, 37syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
394, 22, 13latjle12 18415 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
402, 36, 38, 21, 39syl13anc 1369 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
4133, 40bitrd 279 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
42 simp1l 1194 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)))
43 simp1r 1195 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
44 simp2 1134 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š))
45 simp3 1135 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))))
4622, 13, 54atlem12b 38995 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
4742, 43, 44, 45, 46syl121anc 1372 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
48473exp 1116 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) β†’ (((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))))
494, 13latj4rot 18455 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ (𝑆 ∨ 𝑃)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)))
502, 10, 27, 30, 7, 49syl122anc 1376 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ (𝑆 ∨ 𝑃)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)))
51503ad2ant1 1130 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ (𝑆 ∨ 𝑃)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)))
521, 8, 253jca 1125 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴))
5328, 3, 113jca 1125 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴))
54 simpl3 1190 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴))
5552, 53, 543jca 1125 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)))
56553ad2ant1 1130 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)))
57 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
5822, 13, 54noncolr3 38837 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (𝑄 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)))
5934, 25, 28, 57, 58syl121anc 1372 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (𝑄 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)))
60593ad2ant1 1130 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ (𝑄 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)))
61 simp2 1134 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ Β¬ 𝑄 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š))
62 simprlr 777 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
63 simprrl 778 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ 𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
6462, 63jca 511 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ (𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
65 simprrr 779 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
66 simprll 776 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ 𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
6764, 65, 66jca32 515 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ ((𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))))
68673adant2 1128 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ ((𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))))
6922, 13, 54atlem12b 38995 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑄 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ ((𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ (𝑆 ∨ 𝑃)) = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
7056, 60, 61, 68, 69syl121anc 1372 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ (𝑆 ∨ 𝑃)) = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
7151, 70eqtr3d 2768 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
72713exp 1116 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (Β¬ 𝑄 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) β†’ (((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))))
7348, 72jaod 856 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ ((Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∨ Β¬ 𝑄 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) β†’ (((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))))
744, 13latjcom 18412 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑅 ∨ 𝑆) ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)))
752, 36, 38, 74syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑅 ∨ 𝑆) ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)))
76753ad2ant1 1130 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑅 ∨ 𝑆) ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)))
771, 25, 283jca 1125 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴))
783, 8, 113jca 1125 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴))
7977, 78, 543jca 1125 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)))
80793ad2ant1 1130 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)))
8122, 13, 54noncolr2 38838 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (𝑅 β‰  𝑆 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑅 ∨ 𝑆) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∨ 𝑃)))
8234, 25, 28, 57, 81syl121anc 1372 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (𝑅 β‰  𝑆 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑅 ∨ 𝑆) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∨ 𝑃)))
83823ad2ant1 1130 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ (𝑅 β‰  𝑆 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑅 ∨ 𝑆) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∨ 𝑃)))
84 simp2 1134 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ Β¬ 𝑅 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š))
85 simprr 770 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
86 simprl 768 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ (𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
8785, 86jca 511 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ ((𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))))
88873adant2 1128 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ ((𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))))
8922, 13, 54atlem12b 38995 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑅 β‰  𝑆 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑅 ∨ 𝑆) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∨ 𝑃)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
9080, 83, 84, 88, 89syl121anc 1372 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
9176, 90eqtrd 2766 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
92913exp 1116 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (Β¬ 𝑅 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) β†’ (((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))))
934, 13latj4rot 18455 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑆 ∨ 𝑃) ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)))
942, 7, 10, 27, 30, 93syl122anc 1376 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑆 ∨ 𝑃) ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)))
95943ad2ant1 1130 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑆 ∨ 𝑃) ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)))
961, 28, 33jca 1125 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴))
978, 25, 113jca 1125 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴))
9896, 97, 543jca 1125 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)))
99983ad2ant1 1130 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)))
10022, 13, 54noncolr1 38839 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (𝑆 β‰  𝑃 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑆 ∨ 𝑃) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑆 ∨ 𝑃) ∨ 𝑄)))
10134, 25, 28, 57, 100syl121anc 1372 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (𝑆 β‰  𝑃 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑆 ∨ 𝑃) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑆 ∨ 𝑃) ∨ 𝑄)))
1021013ad2ant1 1130 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ (𝑆 β‰  𝑃 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑆 ∨ 𝑃) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑆 ∨ 𝑃) ∨ 𝑄)))
103 simp2 1134 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ Β¬ 𝑆 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š))
10465, 66jca 511 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ (𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
105104, 62, 63jca32 515 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ ((𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))))
1061053adant2 1128 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ ((𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))))
10722, 13, 54atlem12b 38995 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑆 β‰  𝑃 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑆 ∨ 𝑃) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑆 ∨ 𝑃) ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑃) ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)) = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
10899, 102, 103, 106, 107syl121anc 1372 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑃) ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)) = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
10995, 108eqtrd 2766 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
1101093exp 1116 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (Β¬ 𝑆 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) β†’ (((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))))
11192, 110jaod 856 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ ((Β¬ 𝑅 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∨ Β¬ 𝑆 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) β†’ (((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))))
11225, 28, 123jca 1125 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴))
11316, 17jca 511 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴))
11422, 13, 54atlem3 38980 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ ((Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∨ Β¬ 𝑄 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∨ (Β¬ 𝑅 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∨ Β¬ 𝑆 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š))))
11534, 112, 113, 57, 114syl31anc 1370 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ ((Β¬ 𝑃 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∨ Β¬ 𝑄 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∨ (Β¬ 𝑅 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∨ Β¬ 𝑆 ≀ ((π‘ˆ ∨ 𝑉) ∨ π‘Š))))
11673, 111, 115mpjaod 857 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
11741, 116sylbird 260 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  lecple 17213  joincjn 18276  Latclat 18396  Atomscatm 38646  HLchlt 38733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-llines 38882  df-lplanes 38883  df-lvols 38884
This theorem is referenced by:  4at  38997
  Copyright terms: Public domain W3C validator