Theorem 4atlem11 35684

Description: Lemma for 4at 35688. Combine all three possible cases. (Contributed by NM, 10-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
4at.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4at.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4at.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
4atlem11	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝑄 ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))

Proof of Theorem 4atlem11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3anass 1122	. . . 4 ⊢ ((𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ↔ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))))
2		simpl11 1335	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝐾 ∈ HL)
3	2	hllatd 35439	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝐾 ∈ Lat)
4		simpl2l 1303	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑅 ∈ 𝐴)
5		eqid 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6		4at.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	5, 6	atbase 35364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
8	4, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
9		simpl2r 1305	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑆 ∈ 𝐴)
10	5, 6	atbase 35364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
12		simpl12 1337	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
13		simpl31 1347	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑈 ∈ 𝐴)
14		4at.j	. . . . . . . . 9 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
15	5, 14, 6	hlatjcl 35442	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
16	2, 12, 13, 15	syl3anc 1496	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑃 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
17		simpl32 1349	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑉 ∈ 𝐴)
18		simpl33 1351	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑊 ∈ 𝐴)
19	5, 14, 6	hlatjcl 35442	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) → (𝑉 ∨ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
20	2, 17, 18, 19	syl3anc 1496	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑉 ∨ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
21	5, 14	latjcl 17404	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑉 ∨ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
22	3, 16, 20, 21	syl3anc 1496	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
23		4at.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
24	5, 23, 14	latjle12 17415	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ↔ (𝑅 ∨ 𝑆) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))
25	3, 8, 11, 22, 24	syl13anc 1497	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ↔ (𝑅 ∨ 𝑆) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))
26	25	anbi2d 624	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) ↔ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))))
27	1, 26	syl5bb 275	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ↔ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))))
28		simpl13 1339	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑄 ∈ 𝐴)
29	5, 6	atbase 35364	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
30	28, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
31	5, 14, 6	hlatjcl 35442	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
32	2, 4, 9, 31	syl3anc 1496	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
33	5, 23, 14	latjle12 17415	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ↔ (𝑄 ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))
34	3, 30, 32, 22, 33	syl13anc 1497	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ↔ (𝑄 ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))
35	27, 34	bitrd 271	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ↔ (𝑄 ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))
36		simpl1 1248	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴))
37		simpl2 1250	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴))
38	17, 18	jca 509	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴))
39		simpr 479	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
40	23, 14, 6	4atlem3a 35672	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∨ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∨ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)))
41	36, 37, 38, 39, 40	syl31anc 1498	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∨ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∨ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)))
42		simp1l 1260	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)))
43		simp1r 1261	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
44		simp2 1173	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊))
45		simp3 1174	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))
46	23, 14, 6	4atlem11b 35683	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
47	42, 43, 44, 45, 46	syl121anc 1500	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
48	47	3exp 1154	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) → ((𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))))
49	2	3ad2ant1 1169	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝐾 ∈ HL)
50	12	3ad2ant1 1169	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
51	28	3ad2ant1 1169	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑄 ∈ 𝐴)
52	4	3ad2ant1 1169	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑅 ∈ 𝐴)
53	9	3ad2ant1 1169	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑆 ∈ 𝐴)
54	14, 6	hlatj4 35449	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑅) ∨ (𝑄 ∨ 𝑆)))
55	49, 50, 51, 52, 53, 54	syl122anc 1504	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑅) ∨ (𝑄 ∨ 𝑆)))
56	49, 50, 52	3jca 1164	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴))
57	51, 53	jca 509	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴))
58		simp1l3 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴))
59		simp1r2 1375	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
60	23, 14, 6	4atlem0be 35670	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) → 𝑃 ≠ 𝑅)
61	49, 50, 51, 52, 59, 60	syl131anc 1508	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑃 ≠ 𝑅)
62		simp1r1 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑃 ≠ 𝑄)
63	23, 14, 6	4atlem0ae 35669	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) → ¬ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅))
64	49, 50, 51, 52, 62, 59, 63	syl132anc 1513	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ¬ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅))
65		simp1r3 1376	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
66	14, 6	hlatj32 35447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = ((𝑃 ∨ 𝑅) ∨ 𝑄))
67	49, 50, 51, 52, 66	syl13anc 1497	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = ((𝑃 ∨ 𝑅) ∨ 𝑄))
68	67	breq2d 4885	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → (𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ↔ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∨ 𝑄)))
69	65, 68	mtbid 316	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∨ 𝑄))
70	61, 64, 69	3jca 1164	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → (𝑃 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∨ 𝑄)))
71		simp2 1173	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊))
72		simp32 1273	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
73		simp31 1272	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
74		simp33 1274	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
75	23, 14, 6	4atlem11b 35683	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∨ 𝑄)) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝑃 ∨ 𝑅) ∨ (𝑄 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
76	56, 57, 58, 70, 71, 72, 73, 74, 75	syl323anc 1525	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝑃 ∨ 𝑅) ∨ (𝑄 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
77	55, 76	eqtrd 2861	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
78	77	3exp 1154	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) → ((𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))))
79	5, 6	atbase 35364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
80	12, 79	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
81	5, 14	latj4rot 17455	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑆 ∨ 𝑃) ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)))
82	3, 80, 30, 8, 11, 81	syl122anc 1504	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑆 ∨ 𝑃) ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)))
83	14, 6	hlatjcom 35443	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑆 ∨ 𝑃) = (𝑃 ∨ 𝑆))
84	2, 9, 12, 83	syl3anc 1496	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑆 ∨ 𝑃) = (𝑃 ∨ 𝑆))
85	84	oveq1d 6920	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝑆 ∨ 𝑃) ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)) = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)))
86	82, 85	eqtrd 2861	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)))
87	86	3ad2ant1 1169	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)))
88	2, 12, 9	3jca 1164	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴))
89	28, 4	jca 509	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴))
90		simpl3 1252	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴))
91	88, 89, 90	3jca 1164	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)))
92	91	3ad2ant1 1169	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)))
93	23, 14, 6	4noncolr1 35530	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑆 ≠ 𝑃 ∧ ¬ 𝑄 ≤ (𝑆 ∨ 𝑃) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑆 ∨ 𝑃) ∨ 𝑄)))
94	36, 37, 39, 93	syl3anc 1496	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑆 ≠ 𝑃 ∧ ¬ 𝑄 ≤ (𝑆 ∨ 𝑃) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑆 ∨ 𝑃) ∨ 𝑄)))
95		necom 3052	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ≠ 𝑃 ↔ 𝑃 ≠ 𝑆)
96	95	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑆 ≠ 𝑃 ↔ 𝑃 ≠ 𝑆))
97	84	breq2d 4885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑄 ≤ (𝑆 ∨ 𝑃) ↔ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆)))
98	97	notbid 310	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (¬ 𝑄 ≤ (𝑆 ∨ 𝑃) ↔ ¬ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆)))
99	84	oveq1d 6920	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝑆 ∨ 𝑃) ∨ 𝑄) = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑄))
100	99	breq2d 4885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑅 ≤ ((𝑆 ∨ 𝑃) ∨ 𝑄) ↔ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑄)))
101	100	notbid 310	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (¬ 𝑅 ≤ ((𝑆 ∨ 𝑃) ∨ 𝑄) ↔ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑄)))
102	96, 98, 101	3anbi123d 1566	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝑆 ≠ 𝑃 ∧ ¬ 𝑄 ≤ (𝑆 ∨ 𝑃) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑆 ∨ 𝑃) ∨ 𝑄)) ↔ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑄))))
103	94, 102	mpbid 224	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑄)))
104	103	3ad2ant1 1169	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑄)))
105		simp2 1173	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊))
106		simpr3 1258	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
107		simpr1 1254	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
108		simpr2 1256	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
109	106, 107, 108	3jca 1164	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → (𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))
110	109	3adant2 1167	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → (𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))
111	23, 14, 6	4atlem11b 35683	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑄)) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
112	92, 104, 105, 110, 111	syl121anc 1500	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
113	87, 112	eqtrd 2861	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
114	113	3exp 1154	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) → ((𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))))
115	48, 78, 114	3jaod 1559	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∨ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∨ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) → ((𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))))
116	41, 115	mpd 15	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))
117	35, 116	sylbird 252	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝑄 ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∨ w3o 1112   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 2999   class class class wbr 4873  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  Basecbs 16222  lecple 16312  joincjn 17297  Latclat 17398  Atomscatm 35338  HLchlt 35425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-id 5250  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-proset 17281  df-poset 17299  df-plt 17311  df-lub 17327  df-glb 17328  df-join 17329  df-meet 17330  df-p0 17392  df-lat 17399  df-clat 17461  df-oposet 35251  df-ol 35253  df-oml 35254  df-covers 35341  df-ats 35342  df-atl 35373  df-cvlat 35397  df-hlat 35426  df-llines 35573  df-lplanes 35574  df-lvols 35575

This theorem is referenced by:  4atlem12b  35686