Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  4atlem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4atlem11 35389
Description: Lemma for 4at 35393. Combine all three possible cases. (Contributed by NM, 10-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
4at.l = (le‘𝐾)
4at.j = (join‘𝐾)
4at.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
4atlem11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑄 (𝑅 𝑆)) ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊))))

Proof of Theorem 4atlem11
StepHypRef Expression
1 3anass 1109 . . . 4 ((𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊))) ↔ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))))
2 simpl11 1322 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝐾 ∈ HL)
32hllatd 35144 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝐾 ∈ Lat)
4 simpl2l 1290 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑅𝐴)
5 eqid 2806 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6 4at.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
75, 6atbase 35069 . . . . . . 7 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
84, 7syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
9 simpl2r 1292 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑆𝐴)
105, 6atbase 35069 . . . . . . 7 (𝑆𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
119, 10syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
12 simpl12 1324 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑃𝐴)
13 simpl31 1334 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑈𝐴)
14 4at.j . . . . . . . . 9 = (join‘𝐾)
155, 14, 6hlatjcl 35147 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑈𝐴) → (𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
162, 12, 13, 15syl3anc 1483 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
17 simpl32 1336 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑉𝐴)
18 simpl33 1338 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑊𝐴)
195, 14, 6hlatjcl 35147 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑉𝐴𝑊𝐴) → (𝑉 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
202, 17, 18, 19syl3anc 1483 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑉 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
215, 14latjcl 17256 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑉 𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
223, 16, 20, 21syl3anc 1483 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
23 4at.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
245, 23, 14latjle12 17267 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊))) ↔ (𝑅 𝑆) ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊))))
253, 8, 11, 22, 24syl13anc 1484 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊))) ↔ (𝑅 𝑆) ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊))))
2625anbi2d 616 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) ↔ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ (𝑅 𝑆) ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))))
271, 26syl5bb 274 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊))) ↔ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ (𝑅 𝑆) ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))))
28 simpl13 1326 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑄𝐴)
295, 6atbase 35069 . . . . 5 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
3028, 29syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
315, 14, 6hlatjcl 35147 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑆𝐴) → (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
322, 4, 9, 31syl3anc 1483 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
335, 23, 14latjle12 17267 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ (𝑅 𝑆) ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊))) ↔ (𝑄 (𝑅 𝑆)) ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊))))
343, 30, 32, 22, 33syl13anc 1484 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ (𝑅 𝑆) ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊))) ↔ (𝑄 (𝑅 𝑆)) ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊))))
3527, 34bitrd 270 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊))) ↔ (𝑄 (𝑅 𝑆)) ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊))))
36 simpl1 1235 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴))
37 simpl2 1237 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑅𝐴𝑆𝐴))
3817, 18jca 503 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑉𝐴𝑊𝐴))
39 simpr 473 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
4023, 14, 64atlem3a 35377 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (¬ 𝑄 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∨ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∨ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑉) 𝑊)))
4136, 37, 38, 39, 40syl31anc 1485 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (¬ 𝑄 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∨ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∨ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑉) 𝑊)))
42 simp1l 1247 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑄 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)))
43 simp1r 1248 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑄 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
44 simp2 1160 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑄 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → ¬ 𝑄 ((𝑃 𝑉) 𝑊))
45 simp3 1161 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑄 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊))))
4623, 14, 64atlem11b 35388 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ ((𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ((𝑃 𝑉) 𝑊)) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))
4742, 43, 44, 45, 46syl121anc 1487 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑄 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))
48473exp 1141 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (¬ 𝑄 ((𝑃 𝑉) 𝑊) → ((𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))))
4923ad2ant1 1156 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → 𝐾 ∈ HL)
50123ad2ant1 1156 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → 𝑃𝐴)
51283ad2ant1 1156 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → 𝑄𝐴)
5243ad2ant1 1156 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → 𝑅𝐴)
5393ad2ant1 1156 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → 𝑆𝐴)
5414, 6hlatj4 35154 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑅) (𝑄 𝑆)))
5549, 50, 51, 52, 53, 54syl122anc 1491 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑅) (𝑄 𝑆)))
5649, 50, 523jca 1151 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑅𝐴))
5751, 53jca 503 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → (𝑄𝐴𝑆𝐴))
58 simp1l3 1360 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴))
59 simp1r2 1362 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))
6023, 14, 64atlem0be 35375 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄)) → 𝑃𝑅)
6149, 50, 51, 52, 59, 60syl131anc 1495 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → 𝑃𝑅)
62 simp1r1 1361 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → 𝑃𝑄)
6323, 14, 64atlem0ae 35374 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → ¬ 𝑄 (𝑃 𝑅))
6449, 50, 51, 52, 62, 59, 63syl132anc 1500 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → ¬ 𝑄 (𝑃 𝑅))
65 simp1r3 1363 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
6614, 6hlatj32 35152 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = ((𝑃 𝑅) 𝑄))
6749, 50, 51, 52, 66syl13anc 1484 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = ((𝑃 𝑅) 𝑄))
6867breq2d 4856 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → (𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅) ↔ 𝑆 ((𝑃 𝑅) 𝑄)))
6965, 68mtbid 315 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑅) 𝑄))
7061, 64, 693jca 1151 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → (𝑃𝑅 ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑅) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑅) 𝑄)))
71 simp2 1160 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊))
72 simp32 1260 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))
73 simp31 1259 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → 𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))
74 simp33 1261 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))
7523, 14, 64atlem11b 35388 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑄𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ ((𝑃𝑅 ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑅) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑅) 𝑄)) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊)) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → ((𝑃 𝑅) (𝑄 𝑆)) = ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))
7656, 57, 58, 70, 71, 72, 73, 74, 75syl323anc 1512 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → ((𝑃 𝑅) (𝑄 𝑆)) = ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))
7755, 76eqtrd 2840 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))
78773exp 1141 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) → ((𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))))
795, 6atbase 35069 . . . . . . . . . 10 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
8012, 79syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
815, 14latj4rot 17307 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑆 𝑃) (𝑄 𝑅)))
823, 80, 30, 8, 11, 81syl122anc 1491 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑆 𝑃) (𝑄 𝑅)))
8314, 6hlatjcom 35148 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑃𝐴) → (𝑆 𝑃) = (𝑃 𝑆))
842, 9, 12, 83syl3anc 1483 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑆 𝑃) = (𝑃 𝑆))
8584oveq1d 6889 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑆 𝑃) (𝑄 𝑅)) = ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑅)))
8682, 85eqtrd 2840 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑅)))
87863ad2ant1 1156 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑅)))
882, 12, 93jca 1151 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑆𝐴))
8928, 4jca 503 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑄𝐴𝑅𝐴))
90 simpl3 1239 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴))
9188, 89, 903jca 1151 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)))
92913ad2ant1 1156 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)))
9323, 14, 64noncolr1 35235 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑆𝑃 ∧ ¬ 𝑄 (𝑆 𝑃) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑆 𝑃) 𝑄)))
9436, 37, 39, 93syl3anc 1483 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑆𝑃 ∧ ¬ 𝑄 (𝑆 𝑃) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑆 𝑃) 𝑄)))
95 necom 3031 . . . . . . . . . . 11 (𝑆𝑃𝑃𝑆)
9695a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑆𝑃𝑃𝑆))
9784breq2d 4856 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑄 (𝑆 𝑃) ↔ 𝑄 (𝑃 𝑆)))
9897notbid 309 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (¬ 𝑄 (𝑆 𝑃) ↔ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑆)))
9984oveq1d 6889 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑆 𝑃) 𝑄) = ((𝑃 𝑆) 𝑄))
10099breq2d 4856 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑅 ((𝑆 𝑃) 𝑄) ↔ 𝑅 ((𝑃 𝑆) 𝑄)))
101100notbid 309 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (¬ 𝑅 ((𝑆 𝑃) 𝑄) ↔ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑆) 𝑄)))
10296, 98, 1013anbi123d 1553 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑆𝑃 ∧ ¬ 𝑄 (𝑆 𝑃) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑆 𝑃) 𝑄)) ↔ (𝑃𝑆 ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑆) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑆) 𝑄))))
10394, 102mpbid 223 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑃𝑆 ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑆) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑆) 𝑄)))
1041033ad2ant1 1156 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → (𝑃𝑆 ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑆) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑆) 𝑄)))
105 simp2 1160 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑉) 𝑊))
106 simpr3 1245 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))
107 simpr1 1241 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → 𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))
108 simpr2 1243 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))
109106, 107, 1083jca 1151 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → (𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊))))
1101093adant2 1154 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → (𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊))))
11123, 14, 64atlem11b 35388 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ ((𝑃𝑆 ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑆) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑆) 𝑄)) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑉) 𝑊)) ∧ (𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑅)) = ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))
11292, 104, 105, 110, 111syl121anc 1487 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑅)) = ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))
11387, 112eqtrd 2840 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))
1141133exp 1141 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (¬ 𝑆 ((𝑃 𝑉) 𝑊) → ((𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))))
11548, 78, 1143jaod 1546 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((¬ 𝑄 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∨ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑉) 𝑊) ∨ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑉) 𝑊)) → ((𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)))))
11641, 115mpd 15 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑄 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊))))
11735, 116sylbird 251 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑄 (𝑅 𝑆)) ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊)) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑈) (𝑉 𝑊))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3o 1099  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2156  wne 2978   class class class wbr 4844  cfv 6101  (class class class)co 6874  Basecbs 16068  lecple 16160  joincjn 17149  Latclat 17250  Atomscatm 35043  HLchlt 35130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-op 4377  df-uni 4631  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-id 5219  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-proset 17133  df-poset 17151  df-plt 17163  df-lub 17179  df-glb 17180  df-join 17181  df-meet 17182  df-p0 17244  df-lat 17251  df-clat 17313  df-oposet 34956  df-ol 34958  df-oml 34959  df-covers 35046  df-ats 35047  df-atl 35078  df-cvlat 35102  df-hlat 35131  df-llines 35278  df-lplanes 35279  df-lvols 35280
This theorem is referenced by:  4atlem12b  35391
  Copyright terms: Public domain W3C validator