Theorem 4atlem11 40234

Description: Lemma for 4at 40238. Combine all three possible cases. (Contributed by NM, 10-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
4at.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4at.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4at.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
4atlem11	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝑄 ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))

Proof of Theorem 4atlem11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3anass 1107	. . . 4 ⊢ ((𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ↔ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))))
2		simpl11 1263	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝐾 ∈ HL)
3	2	hllatd 39989	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝐾 ∈ Lat)
4		simpl2l 1241	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑅 ∈ 𝐴)
5		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6		4at.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	5, 6	atbase 39914	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
8	4, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
9		simpl2r 1242	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑆 ∈ 𝐴)
10	5, 6	atbase 39914	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
12		simpl12 1264	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
13		simpl31 1269	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑈 ∈ 𝐴)
14		4at.j	. . . . . . . . 9 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
15	5, 14, 6	hlatjcl 39992	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
16	2, 12, 13, 15	syl3anc 1391	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑃 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
17		simpl32 1270	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑉 ∈ 𝐴)
18		simpl33 1271	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑊 ∈ 𝐴)
19	5, 14, 6	hlatjcl 39992	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) → (𝑉 ∨ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
20	2, 17, 18, 19	syl3anc 1391	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑉 ∨ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
21	5, 14	latjcl 18472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑉 ∨ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
22	3, 16, 20, 21	syl3anc 1391	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
23		4at.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
24	5, 23, 14	latjle12 18483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ↔ (𝑅 ∨ 𝑆) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))
25	3, 8, 11, 22, 24	syl13anc 1392	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ↔ (𝑅 ∨ 𝑆) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))
26	25	anbi2d 639	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) ↔ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))))
27	1, 26	bitrid 285	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ↔ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))))
28		simpl13 1265	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑄 ∈ 𝐴)
29	5, 6	atbase 39914	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
30	28, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
31	5, 14, 6	hlatjcl 39992	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
32	2, 4, 9, 31	syl3anc 1391	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
33	5, 23, 14	latjle12 18483	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ↔ (𝑄 ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))
34	3, 30, 32, 22, 33	syl13anc 1392	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ↔ (𝑄 ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))
35	27, 34	bitrd 281	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ↔ (𝑄 ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))
36		simpl1 1206	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴))
37		simpl2 1207	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴))
38	17, 18	jca 519	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴))
39		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
40	23, 14, 6	4atlem3a 40222	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∨ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∨ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)))
41	36, 37, 38, 39, 40	syl31anc 1393	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∨ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∨ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)))
42		simp1l 1212	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)))
43		simp1r 1213	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
44		simp2 1151	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊))
45		simp3 1152	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))
46	23, 14, 6	4atlem11b 40233	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
47	42, 43, 44, 45, 46	syl121anc 1395	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
48	47	3exp 1133	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) → ((𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))))
49	2	3ad2ant1 1147	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝐾 ∈ HL)
50	12	3ad2ant1 1147	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
51	28	3ad2ant1 1147	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑄 ∈ 𝐴)
52	4	3ad2ant1 1147	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑅 ∈ 𝐴)
53	9	3ad2ant1 1147	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑆 ∈ 𝐴)
54	14, 6	hlatj4 39999	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑅) ∨ (𝑄 ∨ 𝑆)))
55	49, 50, 51, 52, 53, 54	syl122anc 1399	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑅) ∨ (𝑄 ∨ 𝑆)))
56	49, 50, 52	3jca 1142	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴))
57	51, 53	jca 519	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴))
58		simp1l3 1283	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴))
59		simp1r2 1285	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
60	23, 14, 6	4atlem0be 40220	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) → 𝑃 ≠ 𝑅)
61	49, 50, 51, 52, 59, 60	syl131anc 1403	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑃 ≠ 𝑅)
62		simp1r1 1284	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑃 ≠ 𝑄)
63	23, 14, 6	4atlem0ae 40219	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) → ¬ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅))
64	49, 50, 51, 52, 62, 59, 63	syl132anc 1408	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ¬ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅))
65		simp1r3 1286	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
66	14, 6	hlatj32 39997	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = ((𝑃 ∨ 𝑅) ∨ 𝑄))
67	49, 50, 51, 52, 66	syl13anc 1392	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = ((𝑃 ∨ 𝑅) ∨ 𝑄))
68	67	breq2d 5113	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → (𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ↔ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∨ 𝑄)))
69	65, 68	mtbid 326	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∨ 𝑄))
70	61, 64, 69	3jca 1142	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → (𝑃 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∨ 𝑄)))
71		simp2 1151	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊))
72		simp32 1225	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
73		simp31 1224	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
74		simp33 1226	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
75	23, 14, 6	4atlem11b 40233	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∨ 𝑄)) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝑃 ∨ 𝑅) ∨ (𝑄 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
76	56, 57, 58, 70, 71, 72, 73, 74, 75	syl323anc 1420	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝑃 ∨ 𝑅) ∨ (𝑄 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
77	55, 76	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
78	77	3exp 1133	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) → ((𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))))
79	5, 6	atbase 39914	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
80	12, 79	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
81	5, 14	latj4rot 18523	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑆 ∨ 𝑃) ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)))
82	3, 80, 30, 8, 11, 81	syl122anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑆 ∨ 𝑃) ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)))
83	14, 6	hlatjcom 39993	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑆 ∨ 𝑃) = (𝑃 ∨ 𝑆))
84	2, 9, 12, 83	syl3anc 1391	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑆 ∨ 𝑃) = (𝑃 ∨ 𝑆))
85	84	oveq1d 7412	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝑆 ∨ 𝑃) ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)) = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)))
86	82, 85	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)))
87	86	3ad2ant1 1147	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)))
88	2, 12, 9	3jca 1142	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴))
89	28, 4	jca 519	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴))
90		simpl3 1208	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴))
91	88, 89, 90	3jca 1142	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)))
92	91	3ad2ant1 1147	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)))
93	23, 14, 6	4noncolr1 40080	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑆 ≠ 𝑃 ∧ ¬ 𝑄 ≤ (𝑆 ∨ 𝑃) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑆 ∨ 𝑃) ∨ 𝑄)))
94	36, 37, 39, 93	syl3anc 1391	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑆 ≠ 𝑃 ∧ ¬ 𝑄 ≤ (𝑆 ∨ 𝑃) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑆 ∨ 𝑃) ∨ 𝑄)))
95		necom 3011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ≠ 𝑃 ↔ 𝑃 ≠ 𝑆)
96	95	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑆 ≠ 𝑃 ↔ 𝑃 ≠ 𝑆))
97	84	breq2d 5113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑄 ≤ (𝑆 ∨ 𝑃) ↔ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆)))
98	97	notbid 320	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (¬ 𝑄 ≤ (𝑆 ∨ 𝑃) ↔ ¬ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆)))
99	84	oveq1d 7412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝑆 ∨ 𝑃) ∨ 𝑄) = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑄))
100	99	breq2d 5113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑅 ≤ ((𝑆 ∨ 𝑃) ∨ 𝑄) ↔ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑄)))
101	100	notbid 320	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (¬ 𝑅 ≤ ((𝑆 ∨ 𝑃) ∨ 𝑄) ↔ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑄)))
102	96, 98, 101	3anbi123d 1458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝑆 ≠ 𝑃 ∧ ¬ 𝑄 ≤ (𝑆 ∨ 𝑃) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑆 ∨ 𝑃) ∨ 𝑄)) ↔ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑄))))
103	94, 102	mpbid 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑄)))
104	103	3ad2ant1 1147	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑄)))
105		simp2 1151	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊))
106		simpr3 1211	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
107		simpr1 1209	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
108		simpr2 1210	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
109	106, 107, 108	3jca 1142	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → (𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))
110	109	3adant2 1145	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → (𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))
111	23, 14, 6	4atlem11b 40233	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑄)) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) ∧ (𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
112	92, 104, 105, 110, 111	syl121anc 1395	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
113	87, 112	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∧ (𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
114	113	3exp 1133	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) → ((𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))))
115	48, 78, 114	3jaod 1450	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((¬ 𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∨ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊) ∨ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ 𝑊)) → ((𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))))
116	41, 115	mpd 15	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝑄 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))
117	35, 116	sylbird 262	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝑄 ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ w3o 1098   ∧ w3a 1099   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   class class class wbr 5101  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397  Basecbs 17246  lecple 17294  joincjn 18344  Latclat 18464  Atomscatm 39888  HLchlt 39975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-proset 18327  df-poset 18346  df-plt 18361  df-lub 18377  df-glb 18378  df-join 18379  df-meet 18380  df-p0 18456  df-lat 18465  df-clat 18532  df-oposet 39801  df-ol 39803  df-oml 39804  df-covers 39891  df-ats 39892  df-atl 39923  df-cvlat 39947  df-hlat 39976  df-llines 40123  df-lplanes 40124  df-lvols 40125

This theorem is referenced by:  4atlem12b  40236