Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  4atlem11 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 4atlem11 38783
Description: Lemma for 4at 38787. Combine all three possible cases. (Contributed by NM, 10-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
4at.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
4at.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
4at.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
4atlem11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ ((𝑄 ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
Proof of Theorem 4atlem11
StepHypRef Expression
1 3anass 1095 . . . 4 ((𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ↔ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))))
2 simpl11 1248 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
32hllatd 38537 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
4 simpl2l 1226 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
5 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
6 4at.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
75, 6atbase 38462 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
84, 7syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
9 simpl2r 1227 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
105, 6atbase 38462 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ 𝐴 β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
119, 10syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
12 simpl12 1249 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
13 simpl31 1254 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
14 4at.j . . . . . . . . 9 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
155, 14, 6hlatjcl 38540 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
162, 12, 13, 15syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
17 simpl32 1255 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ 𝑉 ∈ 𝐴)
18 simpl33 1256 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ π‘Š ∈ 𝐴)
195, 14, 6hlatjcl 38540 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) β†’ (𝑉 ∨ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
202, 17, 18, 19syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (𝑉 ∨ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
215, 14latjcl 18396 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑉 ∨ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
223, 16, 20, 21syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
23 4at.l . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜πΎ)
245, 23, 14latjle12 18407 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ↔ (𝑅 ∨ 𝑆) ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
253, 8, 11, 22, 24syl13anc 1372 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ ((𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ↔ (𝑅 ∨ 𝑆) ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
2625anbi2d 629 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ ((𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) ↔ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))))
271, 26bitrid 282 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ ((𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ↔ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))))
28 simpl13 1250 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
295, 6atbase 38462 . . . . 5 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3028, 29syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
315, 14, 6hlatjcl 38540 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
322, 4, 9, 31syl3anc 1371 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
335, 23, 14latjle12 18407 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ↔ (𝑄 ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
343, 30, 32, 22, 33syl13anc 1372 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ ((𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ↔ (𝑄 ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
3527, 34bitrd 278 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ ((𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) ↔ (𝑄 ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
36 simpl1 1191 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴))
37 simpl2 1192 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴))
3817, 18jca 512 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴))
39 simpr 485 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
4023, 14, 64atlem3a 38771 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∨ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∨ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)))
4136, 37, 38, 39, 40syl31anc 1373 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∨ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∨ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)))
42 simp1l 1197 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)))
43 simp1r 1198 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
44 simp2 1137 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š))
45 simp3 1138 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
4623, 14, 64atlem11b 38782 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
4742, 43, 44, 45, 46syl121anc 1375 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
48473exp 1119 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) β†’ ((𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))))
4923ad2ant1 1133 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
50123ad2ant1 1133 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
51283ad2ant1 1133 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
5243ad2ant1 1133 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
5393ad2ant1 1133 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
5414, 6hlatj4 38547 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑅) ∨ (𝑄 ∨ 𝑆)))
5549, 50, 51, 52, 53, 54syl122anc 1379 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑅) ∨ (𝑄 ∨ 𝑆)))
5649, 50, 523jca 1128 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴))
5751, 53jca 512 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴))
58 simp1l3 1268 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴))
59 simp1r2 1270 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
6023, 14, 64atlem0be 38769 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑃 β‰  𝑅)
6149, 50, 51, 52, 59, 60syl131anc 1383 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ 𝑃 β‰  𝑅)
62 simp1r1 1269 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
6323, 14, 64atlem0ae 38768 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑅))
6449, 50, 51, 52, 62, 59, 63syl132anc 1388 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑅))
65 simp1r3 1271 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
6614, 6hlatj32 38545 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = ((𝑃 ∨ 𝑅) ∨ 𝑄))
6749, 50, 51, 52, 66syl13anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = ((𝑃 ∨ 𝑅) ∨ 𝑄))
6867breq2d 5160 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ (𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ↔ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∨ 𝑄)))
6965, 68mtbid 323 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∨ 𝑄))
7061, 64, 693jca 1128 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ (𝑃 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∨ 𝑄)))
71 simp2 1137 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š))
72 simp32 1210 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
73 simp31 1209 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
74 simp33 1211 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
7523, 14, 64atlem11b 38782 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∨ (𝑄 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
7656, 57, 58, 70, 71, 72, 73, 74, 75syl323anc 1400 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∨ (𝑄 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
7755, 76eqtrd 2772 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
78773exp 1119 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) β†’ ((𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))))
795, 6atbase 38462 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
8012, 79syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
815, 14latj4rot 18447 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑆 ∨ 𝑃) ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)))
823, 80, 30, 8, 11, 81syl122anc 1379 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑆 ∨ 𝑃) ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)))
8314, 6hlatjcom 38541 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑆 ∨ 𝑃) = (𝑃 ∨ 𝑆))
842, 9, 12, 83syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (𝑆 ∨ 𝑃) = (𝑃 ∨ 𝑆))
8584oveq1d 7426 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑃) ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)) = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)))
8682, 85eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)))
87863ad2ant1 1133 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)))
882, 12, 93jca 1128 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴))
8928, 4jca 512 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴))
90 simpl3 1193 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴))
9188, 89, 903jca 1128 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)))
92913ad2ant1 1133 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)))
9323, 14, 64noncolr1 38629 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (𝑆 β‰  𝑃 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑆 ∨ 𝑃) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑆 ∨ 𝑃) ∨ 𝑄)))
9436, 37, 39, 93syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (𝑆 β‰  𝑃 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑆 ∨ 𝑃) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑆 ∨ 𝑃) ∨ 𝑄)))
95 necom 2994 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 β‰  𝑃 ↔ 𝑃 β‰  𝑆)
9695a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (𝑆 β‰  𝑃 ↔ 𝑃 β‰  𝑆))
9784breq2d 5160 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (𝑄 ≀ (𝑆 ∨ 𝑃) ↔ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆)))
9897notbid 317 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (Β¬ 𝑄 ≀ (𝑆 ∨ 𝑃) ↔ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆)))
9984oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑃) ∨ 𝑄) = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑄))
10099breq2d 5160 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (𝑅 ≀ ((𝑆 ∨ 𝑃) ∨ 𝑄) ↔ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑄)))
101100notbid 317 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑆 ∨ 𝑃) ∨ 𝑄) ↔ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑄)))
10296, 98, 1013anbi123d 1436 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ ((𝑆 β‰  𝑃 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑆 ∨ 𝑃) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑆 ∨ 𝑃) ∨ 𝑄)) ↔ (𝑃 β‰  𝑆 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑄))))
10394, 102mpbid 231 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (𝑃 β‰  𝑆 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑄)))
1041033ad2ant1 1133 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ (𝑃 β‰  𝑆 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑄)))
105 simp2 1137 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š))
106 simpr3 1196 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
107 simpr1 1194 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
108 simpr2 1195 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
109106, 107, 1083jca 1128 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ (𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
1101093adant2 1131 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ (𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
11123, 14, 64atlem11b 38782 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑆 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ 𝑄)) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) ∧ (𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)) = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
11292, 104, 105, 110, 111syl121anc 1375 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)) = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
11387, 112eqtrd 2772 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∧ (𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
1141133exp 1119 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) β†’ ((𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))))
11548, 78, 1143jaod 1428 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ ((Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∨ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š) ∨ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑉) ∨ π‘Š)) β†’ ((𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))))
11641, 115mpd 15 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ ((𝑄 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
11735, 116sylbird 259 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ ((𝑄 ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≀ ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ w3o 1086   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  lecple 17208  joincjn 18268  Latclat 18388  Atomscatm 38436  HLchlt 38523
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-llines 38672  df-lplanes 38673  df-lvols 38674
This theorem is referenced by:  4atlem12b  38785
  Copyright terms: Public domain W3C validator