Theorem latj4 17790

Description: Rearrangement of lattice join of 4 classes. (chj4 29430 analog.) (Contributed by NM, 14-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
latjass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latjass.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latj4	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ (𝑍 ∨ 𝑊)) = ((𝑋 ∨ 𝑍) ∨ (𝑌 ∨ 𝑊)))

Proof of Theorem latj4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
2		simp2r 1197	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
3		simp3l 1198	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
4		simp3r 1199	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑊 ∈ 𝐵)
5		latjass.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		latjass.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7	5, 6	latj12 17785	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∨ (𝑍 ∨ 𝑊)) = (𝑍 ∨ (𝑌 ∨ 𝑊)))
8	1, 2, 3, 4, 7	syl13anc 1369	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∨ (𝑍 ∨ 𝑊)) = (𝑍 ∨ (𝑌 ∨ 𝑊)))
9	8	oveq2d 7172	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∨ (𝑌 ∨ (𝑍 ∨ 𝑊))) = (𝑋 ∨ (𝑍 ∨ (𝑌 ∨ 𝑊))))
10		simp2l 1196	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	5, 6	latjcl 17740	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑍 ∨ 𝑊) ∈ 𝐵)
12	1, 3, 4, 11	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑍 ∨ 𝑊) ∈ 𝐵)
13	5, 6	latjass 17784	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 ∨ 𝑊) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ (𝑍 ∨ 𝑊)) = (𝑋 ∨ (𝑌 ∨ (𝑍 ∨ 𝑊))))
14	1, 10, 2, 12, 13	syl13anc 1369	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ (𝑍 ∨ 𝑊)) = (𝑋 ∨ (𝑌 ∨ (𝑍 ∨ 𝑊))))
15	5, 6	latjcl 17740	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∨ 𝑊) ∈ 𝐵)
16	1, 2, 4, 15	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∨ 𝑊) ∈ 𝐵)
17	5, 6	latjass 17784	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∨ 𝑊) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∨ 𝑍) ∨ (𝑌 ∨ 𝑊)) = (𝑋 ∨ (𝑍 ∨ (𝑌 ∨ 𝑊))))
18	1, 10, 3, 16, 17	syl13anc 1369	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∨ 𝑍) ∨ (𝑌 ∨ 𝑊)) = (𝑋 ∨ (𝑍 ∨ (𝑌 ∨ 𝑊))))
19	9, 14, 18	3eqtr4d 2803	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ (𝑍 ∨ 𝑊)) = ((𝑋 ∨ 𝑍) ∨ (𝑌 ∨ 𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  Basecbs 16554  joincjn 17633  Latclat 17734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-id 5434  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-proset 17617  df-poset 17635  df-lub 17663  df-glb 17664  df-join 17665  df-meet 17666  df-lat 17735

This theorem is referenced by:  latj4rot  17791  latjjdi  17792  latjjdir  17793  hlatj4  36984  arglem1N  37800  cdleme11  37880  cdleme20l2  37931