MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latj4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latj4 17309
Description: Rearrangement of lattice join of 4 classes. (chj4 28734 analog.) (Contributed by NM, 14-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
latjass.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latjass.j = (join‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latj4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → ((𝑋 𝑌) (𝑍 𝑊)) = ((𝑋 𝑍) (𝑌 𝑊)))

Proof of Theorem latj4
StepHypRef Expression
1 simp1 1130 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
2 simp2r 1242 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → 𝑌𝐵)
3 simp3l 1243 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → 𝑍𝐵)
4 simp3r 1244 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → 𝑊𝐵)
5 latjass.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 latjass.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
75, 6latj12 17304 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵𝑊𝐵)) → (𝑌 (𝑍 𝑊)) = (𝑍 (𝑌 𝑊)))
81, 2, 3, 4, 7syl13anc 1478 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → (𝑌 (𝑍 𝑊)) = (𝑍 (𝑌 𝑊)))
98oveq2d 6812 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → (𝑋 (𝑌 (𝑍 𝑊))) = (𝑋 (𝑍 (𝑌 𝑊))))
10 simp2l 1241 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → 𝑋𝐵)
115, 6latjcl 17259 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍𝐵𝑊𝐵) → (𝑍 𝑊) ∈ 𝐵)
121, 3, 4, 11syl3anc 1476 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → (𝑍 𝑊) ∈ 𝐵)
135, 6latjass 17303 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵 ∧ (𝑍 𝑊) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 𝑌) (𝑍 𝑊)) = (𝑋 (𝑌 (𝑍 𝑊))))
141, 10, 2, 12, 13syl13anc 1478 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → ((𝑋 𝑌) (𝑍 𝑊)) = (𝑋 (𝑌 (𝑍 𝑊))))
155, 6latjcl 17259 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵𝑊𝐵) → (𝑌 𝑊) ∈ 𝐵)
161, 2, 4, 15syl3anc 1476 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → (𝑌 𝑊) ∈ 𝐵)
175, 6latjass 17303 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑍𝐵 ∧ (𝑌 𝑊) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 𝑍) (𝑌 𝑊)) = (𝑋 (𝑍 (𝑌 𝑊))))
181, 10, 3, 16, 17syl13anc 1478 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → ((𝑋 𝑍) (𝑌 𝑊)) = (𝑋 (𝑍 (𝑌 𝑊))))
199, 14, 183eqtr4d 2815 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → ((𝑋 𝑌) (𝑍 𝑊)) = ((𝑋 𝑍) (𝑌 𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  cfv 6030  (class class class)co 6796  Basecbs 16064  joincjn 17152  Latclat 17253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-preset 17136  df-poset 17154  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-lat 17254
This theorem is referenced by:  latj4rot  17310  latjjdi  17311  latjjdir  17312  hlatj4  35181  arglem1N  35998  cdleme11  36078  cdleme20l2  36129
  Copyright terms: Public domain W3C validator