Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latj4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latj4 17790
 Description: Rearrangement of lattice join of 4 classes. (chj4 29430 analog.) (Contributed by NM, 14-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
latjass.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latjass.j = (join‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latj4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → ((𝑋 𝑌) (𝑍 𝑊)) = ((𝑋 𝑍) (𝑌 𝑊)))

Proof of Theorem latj4
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
2 simp2r 1197 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → 𝑌𝐵)
3 simp3l 1198 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → 𝑍𝐵)
4 simp3r 1199 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → 𝑊𝐵)
5 latjass.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 latjass.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
75, 6latj12 17785 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵𝑊𝐵)) → (𝑌 (𝑍 𝑊)) = (𝑍 (𝑌 𝑊)))
81, 2, 3, 4, 7syl13anc 1369 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → (𝑌 (𝑍 𝑊)) = (𝑍 (𝑌 𝑊)))
98oveq2d 7172 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → (𝑋 (𝑌 (𝑍 𝑊))) = (𝑋 (𝑍 (𝑌 𝑊))))
10 simp2l 1196 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → 𝑋𝐵)
115, 6latjcl 17740 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍𝐵𝑊𝐵) → (𝑍 𝑊) ∈ 𝐵)
121, 3, 4, 11syl3anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → (𝑍 𝑊) ∈ 𝐵)
135, 6latjass 17784 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵 ∧ (𝑍 𝑊) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 𝑌) (𝑍 𝑊)) = (𝑋 (𝑌 (𝑍 𝑊))))
141, 10, 2, 12, 13syl13anc 1369 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → ((𝑋 𝑌) (𝑍 𝑊)) = (𝑋 (𝑌 (𝑍 𝑊))))
155, 6latjcl 17740 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵𝑊𝐵) → (𝑌 𝑊) ∈ 𝐵)
161, 2, 4, 15syl3anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → (𝑌 𝑊) ∈ 𝐵)
175, 6latjass 17784 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑍𝐵 ∧ (𝑌 𝑊) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 𝑍) (𝑌 𝑊)) = (𝑋 (𝑍 (𝑌 𝑊))))
181, 10, 3, 16, 17syl13anc 1369 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → ((𝑋 𝑍) (𝑌 𝑊)) = (𝑋 (𝑍 (𝑌 𝑊))))
199, 14, 183eqtr4d 2803 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → ((𝑋 𝑌) (𝑍 𝑊)) = ((𝑋 𝑍) (𝑌 𝑊)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  Basecbs 16554  joincjn 17633  Latclat 17734 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-id 5434  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-proset 17617  df-poset 17635  df-lub 17663  df-glb 17664  df-join 17665  df-meet 17666  df-lat 17735 This theorem is referenced by:  latj4rot  17791  latjjdi  17792  latjjdir  17793  hlatj4  36984  arglem1N  37800  cdleme11  37880  cdleme20l2  37931
 Copyright terms: Public domain W3C validator