Theorem latj4 18448

Description: Rearrangement of lattice join of 4 classes. (chj4 31464 analog.) (Contributed by NM, 14-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
latjass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latjass.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latj4	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ (𝑍 ∨ 𝑊)) = ((𝑋 ∨ 𝑍) ∨ (𝑌 ∨ 𝑊)))

Proof of Theorem latj4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
2		simp2r 1201	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
3		simp3l 1202	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
4		simp3r 1203	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑊 ∈ 𝐵)
5		latjass.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		latjass.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7	5, 6	latj12 18443	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∨ (𝑍 ∨ 𝑊)) = (𝑍 ∨ (𝑌 ∨ 𝑊)))
8	1, 2, 3, 4, 7	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∨ (𝑍 ∨ 𝑊)) = (𝑍 ∨ (𝑌 ∨ 𝑊)))
9	8	oveq2d 7403	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∨ (𝑌 ∨ (𝑍 ∨ 𝑊))) = (𝑋 ∨ (𝑍 ∨ (𝑌 ∨ 𝑊))))
10		simp2l 1200	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	5, 6	latjcl 18398	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑍 ∨ 𝑊) ∈ 𝐵)
12	1, 3, 4, 11	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑍 ∨ 𝑊) ∈ 𝐵)
13	5, 6	latjass 18442	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 ∨ 𝑊) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ (𝑍 ∨ 𝑊)) = (𝑋 ∨ (𝑌 ∨ (𝑍 ∨ 𝑊))))
14	1, 10, 2, 12, 13	syl13anc 1374	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ (𝑍 ∨ 𝑊)) = (𝑋 ∨ (𝑌 ∨ (𝑍 ∨ 𝑊))))
15	5, 6	latjcl 18398	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∨ 𝑊) ∈ 𝐵)
16	1, 2, 4, 15	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∨ 𝑊) ∈ 𝐵)
17	5, 6	latjass 18442	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∨ 𝑊) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∨ 𝑍) ∨ (𝑌 ∨ 𝑊)) = (𝑋 ∨ (𝑍 ∨ (𝑌 ∨ 𝑊))))
18	1, 10, 3, 16, 17	syl13anc 1374	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∨ 𝑍) ∨ (𝑌 ∨ 𝑊)) = (𝑋 ∨ (𝑍 ∨ (𝑌 ∨ 𝑊))))
19	9, 14, 18	3eqtr4d 2774	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ (𝑍 ∨ 𝑊)) = ((𝑋 ∨ 𝑍) ∨ (𝑌 ∨ 𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  joincjn 18272  Latclat 18390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-proset 18255  df-poset 18274  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-lat 18391

This theorem is referenced by:  latj4rot  18449  latjjdi  18450  latjjdir  18451  hlatj4  39367  arglem1N  40184  cdleme11  40264  cdleme20l2  40315