Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp1 1137 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΅ β§ π β π΅)) β πΎ β Lat) |
2 | | simp2r 1201 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΅ β§ π β π΅)) β π β π΅) |
3 | | simp3l 1202 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΅ β§ π β π΅)) β π β π΅) |
4 | | simp3r 1203 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΅ β§ π β π΅)) β π β π΅) |
5 | | latjass.b |
. . . . 5
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
6 | | latjass.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
7 | 5, 6 | latj12 18378 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅)) β (π β¨ (π β¨ π)) = (π β¨ (π β¨ π))) |
8 | 1, 2, 3, 4, 7 | syl13anc 1373 |
. . 3
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΅ β§ π β π΅)) β (π β¨ (π β¨ π)) = (π β¨ (π β¨ π))) |
9 | 8 | oveq2d 7374 |
. 2
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΅ β§ π β π΅)) β (π β¨ (π β¨ (π β¨ π))) = (π β¨ (π β¨ (π β¨ π)))) |
10 | | simp2l 1200 |
. . 3
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΅ β§ π β π΅)) β π β π΅) |
11 | 5, 6 | latjcl 18333 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β¨ π) β π΅) |
12 | 1, 3, 4, 11 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΅ β§ π β π΅)) β (π β¨ π) β π΅) |
13 | 5, 6 | latjass 18377 |
. . 3
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ (π β¨ π) β π΅)) β ((π β¨ π) β¨ (π β¨ π)) = (π β¨ (π β¨ (π β¨ π)))) |
14 | 1, 10, 2, 12, 13 | syl13anc 1373 |
. 2
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΅ β§ π β π΅)) β ((π β¨ π) β¨ (π β¨ π)) = (π β¨ (π β¨ (π β¨ π)))) |
15 | 5, 6 | latjcl 18333 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β¨ π) β π΅) |
16 | 1, 2, 4, 15 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΅ β§ π β π΅)) β (π β¨ π) β π΅) |
17 | 5, 6 | latjass 18377 |
. . 3
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ (π β¨ π) β π΅)) β ((π β¨ π) β¨ (π β¨ π)) = (π β¨ (π β¨ (π β¨ π)))) |
18 | 1, 10, 3, 16, 17 | syl13anc 1373 |
. 2
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΅ β§ π β π΅)) β ((π β¨ π) β¨ (π β¨ π)) = (π β¨ (π β¨ (π β¨ π)))) |
19 | 9, 14, 18 | 3eqtr4d 2783 |
1
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΅ β§ π β π΅)) β ((π β¨ π) β¨ (π β¨ π)) = ((π β¨ π) β¨ (π β¨ π))) |