MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latj4 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem latj4 18450
Description: Rearrangement of lattice join of 4 classes. (chj4 31282 analog.) (Contributed by NM, 14-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
latjass.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
latjass.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
latj4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ (𝑍 ∨ π‘Š)) = ((𝑋 ∨ 𝑍) ∨ (π‘Œ ∨ π‘Š)))
Proof of Theorem latj4
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
2 simp2r 1197 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
3 simp3l 1198 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
4 simp3r 1199 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
5 latjass.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
6 latjass.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
75, 6latj12 18445 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Œ ∨ (𝑍 ∨ π‘Š)) = (𝑍 ∨ (π‘Œ ∨ π‘Š)))
81, 2, 3, 4, 7syl13anc 1369 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Œ ∨ (𝑍 ∨ π‘Š)) = (𝑍 ∨ (π‘Œ ∨ π‘Š)))
98oveq2d 7418 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ (𝑍 ∨ π‘Š))) = (𝑋 ∨ (𝑍 ∨ (π‘Œ ∨ π‘Š))))
10 simp2l 1196 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
115, 6latjcl 18400 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (𝑍 ∨ π‘Š) ∈ 𝐡)
121, 3, 4, 11syl3anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ (𝑍 ∨ π‘Š) ∈ 𝐡)
135, 6latjass 18444 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑍 ∨ π‘Š) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ (𝑍 ∨ π‘Š)) = (𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ (𝑍 ∨ π‘Š))))
141, 10, 2, 12, 13syl13anc 1369 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ (𝑍 ∨ π‘Š)) = (𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ (𝑍 ∨ π‘Š))))
155, 6latjcl 18400 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∨ π‘Š) ∈ 𝐡)
161, 2, 4, 15syl3anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Œ ∨ π‘Š) ∈ 𝐡)
175, 6latjass 18444 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ ∨ π‘Š) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∨ 𝑍) ∨ (π‘Œ ∨ π‘Š)) = (𝑋 ∨ (𝑍 ∨ (π‘Œ ∨ π‘Š))))
181, 10, 3, 16, 17syl13anc 1369 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∨ 𝑍) ∨ (π‘Œ ∨ π‘Š)) = (𝑋 ∨ (𝑍 ∨ (π‘Œ ∨ π‘Š))))
199, 14, 183eqtr4d 2774 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ (𝑍 ∨ π‘Š)) = ((𝑋 ∨ 𝑍) ∨ (π‘Œ ∨ π‘Š)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17149  joincjn 18272  Latclat 18392
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-proset 18256  df-poset 18274  df-lub 18307  df-glb 18308  df-join 18309  df-meet 18310  df-lat 18393
This theorem is referenced by:  latj4rot  18451  latjjdi  18452  latjjdir  18453  hlatj4  38747  arglem1N  39564  cdleme11  39644  cdleme20l2  39695
  Copyright terms: Public domain W3C validator