MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latj4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latj4 17706
Description: Rearrangement of lattice join of 4 classes. (chj4 29245 analog.) (Contributed by NM, 14-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
latjass.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latjass.j = (join‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latj4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → ((𝑋 𝑌) (𝑍 𝑊)) = ((𝑋 𝑍) (𝑌 𝑊)))

Proof of Theorem latj4
StepHypRef Expression
1 simp1 1130 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
2 simp2r 1194 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → 𝑌𝐵)
3 simp3l 1195 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → 𝑍𝐵)
4 simp3r 1196 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → 𝑊𝐵)
5 latjass.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 latjass.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
75, 6latj12 17701 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵𝑊𝐵)) → (𝑌 (𝑍 𝑊)) = (𝑍 (𝑌 𝑊)))
81, 2, 3, 4, 7syl13anc 1366 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → (𝑌 (𝑍 𝑊)) = (𝑍 (𝑌 𝑊)))
98oveq2d 7166 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → (𝑋 (𝑌 (𝑍 𝑊))) = (𝑋 (𝑍 (𝑌 𝑊))))
10 simp2l 1193 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → 𝑋𝐵)
115, 6latjcl 17656 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍𝐵𝑊𝐵) → (𝑍 𝑊) ∈ 𝐵)
121, 3, 4, 11syl3anc 1365 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → (𝑍 𝑊) ∈ 𝐵)
135, 6latjass 17700 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵 ∧ (𝑍 𝑊) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 𝑌) (𝑍 𝑊)) = (𝑋 (𝑌 (𝑍 𝑊))))
141, 10, 2, 12, 13syl13anc 1366 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → ((𝑋 𝑌) (𝑍 𝑊)) = (𝑋 (𝑌 (𝑍 𝑊))))
155, 6latjcl 17656 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵𝑊𝐵) → (𝑌 𝑊) ∈ 𝐵)
161, 2, 4, 15syl3anc 1365 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → (𝑌 𝑊) ∈ 𝐵)
175, 6latjass 17700 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑍𝐵 ∧ (𝑌 𝑊) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 𝑍) (𝑌 𝑊)) = (𝑋 (𝑍 (𝑌 𝑊))))
181, 10, 3, 16, 17syl13anc 1366 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → ((𝑋 𝑍) (𝑌 𝑊)) = (𝑋 (𝑍 (𝑌 𝑊))))
199, 14, 183eqtr4d 2871 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → ((𝑋 𝑌) (𝑍 𝑊)) = ((𝑋 𝑍) (𝑌 𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  cfv 6354  (class class class)co 7150  Basecbs 16478  joincjn 17549  Latclat 17650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-proset 17533  df-poset 17551  df-lub 17579  df-glb 17580  df-join 17581  df-meet 17582  df-lat 17651
This theorem is referenced by:  latj4rot  17707  latjjdi  17708  latjjdir  17709  hlatj4  36396  arglem1N  37212  cdleme11  37292  cdleme20l2  37343
  Copyright terms: Public domain W3C validator