Theorem latj4 18446

Description: Rearrangement of lattice join of 4 classes. (chj4 31624 analog.) (Contributed by NM, 14-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
latjass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latjass.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latj4	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ (𝑍 ∨ 𝑊)) = ((𝑋 ∨ 𝑍) ∨ (𝑌 ∨ 𝑊)))

Proof of Theorem latj4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1142	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
2		simp2r 1207	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
3		simp3l 1208	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
4		simp3r 1209	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑊 ∈ 𝐵)
5		latjass.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		latjass.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7	5, 6	latj12 18441	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∨ (𝑍 ∨ 𝑊)) = (𝑍 ∨ (𝑌 ∨ 𝑊)))
8	1, 2, 3, 4, 7	syl13anc 1380	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∨ (𝑍 ∨ 𝑊)) = (𝑍 ∨ (𝑌 ∨ 𝑊)))
9	8	oveq2d 7372	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∨ (𝑌 ∨ (𝑍 ∨ 𝑊))) = (𝑋 ∨ (𝑍 ∨ (𝑌 ∨ 𝑊))))
10		simp2l 1206	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	5, 6	latjcl 18396	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑍 ∨ 𝑊) ∈ 𝐵)
12	1, 3, 4, 11	syl3anc 1379	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑍 ∨ 𝑊) ∈ 𝐵)
13	5, 6	latjass 18440	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 ∨ 𝑊) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ (𝑍 ∨ 𝑊)) = (𝑋 ∨ (𝑌 ∨ (𝑍 ∨ 𝑊))))
14	1, 10, 2, 12, 13	syl13anc 1380	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ (𝑍 ∨ 𝑊)) = (𝑋 ∨ (𝑌 ∨ (𝑍 ∨ 𝑊))))
15	5, 6	latjcl 18396	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∨ 𝑊) ∈ 𝐵)
16	1, 2, 4, 15	syl3anc 1379	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∨ 𝑊) ∈ 𝐵)
17	5, 6	latjass 18440	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∨ 𝑊) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∨ 𝑍) ∨ (𝑌 ∨ 𝑊)) = (𝑋 ∨ (𝑍 ∨ (𝑌 ∨ 𝑊))))
18	1, 10, 3, 16, 17	syl13anc 1380	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∨ 𝑍) ∨ (𝑌 ∨ 𝑊)) = (𝑋 ∨ (𝑍 ∨ (𝑌 ∨ 𝑊))))
19	9, 14, 18	3eqtr4d 2784	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ (𝑍 ∨ 𝑊)) = ((𝑋 ∨ 𝑍) ∨ (𝑌 ∨ 𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170  joincjn 18268  Latclat 18388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-proset 18251  df-poset 18270  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-lat 18389

This theorem is referenced by:  latj4rot  18447  latjjdi  18448  latjjdir  18449  hlatj4  39866  arglem1N  40682  cdleme11  40762  cdleme20l2  40813