Theorem latj4 18207

Description: Rearrangement of lattice join of 4 classes. (chj4 29897 analog.) (Contributed by NM, 14-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
latjass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latjass.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latj4	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ (𝑍 ∨ 𝑊)) = ((𝑋 ∨ 𝑍) ∨ (𝑌 ∨ 𝑊)))

Proof of Theorem latj4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
2		simp2r 1199	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
3		simp3l 1200	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
4		simp3r 1201	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑊 ∈ 𝐵)
5		latjass.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		latjass.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7	5, 6	latj12 18202	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∨ (𝑍 ∨ 𝑊)) = (𝑍 ∨ (𝑌 ∨ 𝑊)))
8	1, 2, 3, 4, 7	syl13anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∨ (𝑍 ∨ 𝑊)) = (𝑍 ∨ (𝑌 ∨ 𝑊)))
9	8	oveq2d 7291	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∨ (𝑌 ∨ (𝑍 ∨ 𝑊))) = (𝑋 ∨ (𝑍 ∨ (𝑌 ∨ 𝑊))))
10		simp2l 1198	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	5, 6	latjcl 18157	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑍 ∨ 𝑊) ∈ 𝐵)
12	1, 3, 4, 11	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑍 ∨ 𝑊) ∈ 𝐵)
13	5, 6	latjass 18201	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 ∨ 𝑊) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ (𝑍 ∨ 𝑊)) = (𝑋 ∨ (𝑌 ∨ (𝑍 ∨ 𝑊))))
14	1, 10, 2, 12, 13	syl13anc 1371	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ (𝑍 ∨ 𝑊)) = (𝑋 ∨ (𝑌 ∨ (𝑍 ∨ 𝑊))))
15	5, 6	latjcl 18157	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∨ 𝑊) ∈ 𝐵)
16	1, 2, 4, 15	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∨ 𝑊) ∈ 𝐵)
17	5, 6	latjass 18201	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∨ 𝑊) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∨ 𝑍) ∨ (𝑌 ∨ 𝑊)) = (𝑋 ∨ (𝑍 ∨ (𝑌 ∨ 𝑊))))
18	1, 10, 3, 16, 17	syl13anc 1371	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∨ 𝑍) ∨ (𝑌 ∨ 𝑊)) = (𝑋 ∨ (𝑍 ∨ (𝑌 ∨ 𝑊))))
19	9, 14, 18	3eqtr4d 2788	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ (𝑍 ∨ 𝑊)) = ((𝑋 ∨ 𝑍) ∨ (𝑌 ∨ 𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  joincjn 18029  Latclat 18149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-proset 18013  df-poset 18031  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-lat 18150

This theorem is referenced by:  latj4rot  18208  latjjdi  18209  latjjdir  18210  hlatj4  37388  arglem1N  38204  cdleme11  38284  cdleme20l2  38335