Theorem latmlej21 18437

Description: Ordering of a meet and join with a common variable. (Contributed by NM, 4-Oct-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
latledi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latledi.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latledi.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
latledi.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latmlej21	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∧ 𝑋) ≤ (𝑋 ∨ 𝑍))

Proof of Theorem latmlej21

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latledi.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latledi.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
3	1, 2	latmcom 18420	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑌 ∧ 𝑋))
4	3	3adant3r3 1186	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑌 ∧ 𝑋))
5		latledi.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
6		latledi.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7	1, 5, 6, 2	latmlej11 18435	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ (𝑋 ∨ 𝑍))
8	4, 7	eqbrtrrd 5110	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∧ 𝑋) ≤ (𝑋 ∨ 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170  lecple 17218  joincjn 18268  meetcmee 18269  Latclat 18388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-poset 18270  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-lat 18389

This theorem is referenced by:  dalawlem3  40333  dalawlem6  40336