MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latmlej21 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latmlej21 18434
Description: Ordering of a meet and join with a common variable. (Contributed by NM, 4-Oct-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
latledi.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
latledi.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
latledi.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
latledi.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
latmlej21 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Œ ∧ 𝑋) ≀ (𝑋 ∨ 𝑍))

Proof of Theorem latmlej21
StepHypRef Expression
1 latledi.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 latledi.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
31, 2latmcom 18417 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (π‘Œ ∧ 𝑋))
433adant3r3 1181 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (π‘Œ ∧ 𝑋))
5 latledi.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
6 latledi.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
71, 5, 6, 2latmlej11 18432 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑋 ∨ 𝑍))
84, 7eqbrtrrd 5162 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Œ ∧ 𝑋) ≀ (𝑋 ∨ 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5138  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17142  lecple 17202  joincjn 18265  meetcmee 18266  Latclat 18385
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-poset 18267  df-lub 18300  df-glb 18301  df-join 18302  df-meet 18303  df-lat 18386
This theorem is referenced by:  dalawlem3  39200  dalawlem6  39203
  Copyright terms: Public domain W3C validator