MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latmlej11 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem latmlej11 18435
Description: Ordering of a meet and join with a common variable. (Contributed by NM, 4-Oct-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
latledi.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
latledi.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
latledi.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
latledi.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
latmlej11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑋 ∨ 𝑍))
Proof of Theorem latmlej11
StepHypRef Expression
1 latledi.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 latledi.l . 2 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 simpl 483 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
4 latledi.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
51, 4latmcl 18397 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
653adant3r3 1184 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
7 simpr1 1194 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
8 latledi.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
91, 8latjcl 18396 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ 𝑍) ∈ 𝐡)
1093adant3r2 1183 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∨ 𝑍) ∈ 𝐡)
111, 2, 4latmle1 18421 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋)
12113adant3r3 1184 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋)
131, 2, 8latlej1 18405 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑍))
14133adant3r2 1183 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑍))
151, 2, 3, 6, 7, 10, 12, 14lattrd 18403 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑋 ∨ 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  lecple 17208  joincjn 18268  meetcmee 18269  Latclat 18388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-poset 18270  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-lat 18389
This theorem is referenced by:  latmlej12  18436  latmlej21  18437  cdlema1N  38965
  Copyright terms: Public domain W3C validator