MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latmlej22 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latmlej22 18210
Description: Ordering of a meet and join with a common variable. (Contributed by NM, 4-Oct-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
latledi.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latledi.l = (le‘𝐾)
latledi.j = (join‘𝐾)
latledi.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latmlej22 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑌 𝑋) (𝑍 𝑋))

Proof of Theorem latmlej22
StepHypRef Expression
1 latledi.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 latledi.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
31, 2latmcom 18192 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑌 𝑋))
433adant3r3 1183 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑌) = (𝑌 𝑋))
5 latledi.l . . 3 = (le‘𝐾)
6 latledi.j . . 3 = (join‘𝐾)
71, 5, 6, 2latmlej12 18208 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑌) (𝑍 𝑋))
84, 7eqbrtrrd 5103 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑌 𝑋) (𝑍 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1542  wcel 2110   class class class wbr 5079  cfv 6432  (class class class)co 7272  Basecbs 16923  lecple 16980  joincjn 18040  meetcmee 18041  Latclat 18160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5490  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-poset 18042  df-lub 18075  df-glb 18076  df-join 18077  df-meet 18078  df-lat 18161
This theorem is referenced by:  dalawlem2  37895  dalawlem3  37896  dalawlem6  37899
  Copyright terms: Public domain W3C validator