Theorem latmlej22 18227

Description: Ordering of a meet and join with a common variable. (Contributed by NM, 4-Oct-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
latledi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latledi.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latledi.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
latledi.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latmlej22	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∧ 𝑋) ≤ (𝑍 ∨ 𝑋))

Proof of Theorem latmlej22

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latledi.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latledi.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
3	1, 2	latmcom 18209	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑌 ∧ 𝑋))
4	3	3adant3r3 1182	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑌 ∧ 𝑋))
5		latledi.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
6		latledi.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7	1, 5, 6, 2	latmlej12 18225	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ (𝑍 ∨ 𝑋))
8	4, 7	eqbrtrrd 5101	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∧ 𝑋) ≤ (𝑍 ∨ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1537   ∈ wcel 2101   class class class wbr 5077  ‘cfv 6447  (class class class)co 7295  Basecbs 16940  lecple 16997  joincjn 18057  meetcmee 18058  Latclat 18177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-rep 5212  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-id 5491  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-poset 18059  df-lub 18092  df-glb 18093  df-join 18094  df-meet 18095  df-lat 18178

This theorem is referenced by:  dalawlem2  37912  dalawlem3  37913  dalawlem6  37916