Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalawlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dalawlem3 38339
Description: Lemma for dalaw 38352. First piece of dalawlem5 38341. (Contributed by NM, 4-Oct-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalawlem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dalawlem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dalawlem.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dalawlem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
dalawlem3 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≀ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆))))

Proof of Theorem dalawlem3
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . 2 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2 dalawlem.l . 2 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 simp11 1204 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
43hllatd 37829 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
5 simp22 1208 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
6 simp32 1211 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ 𝑇 ∈ 𝐴)
7 dalawlem.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
8 dalawlem.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
91, 7, 8hlatjcl 37832 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
103, 5, 6, 9syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
11 simp21 1207 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
121, 8atbase 37754 . . . . 5 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1311, 12syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
141, 7latjcl 18329 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
154, 10, 13, 14syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
16 simp31 1210 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
171, 8atbase 37754 . . . 4 (𝑆 ∈ 𝐴 β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1816, 17syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
19 dalawlem.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
201, 19latmcl 18330 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
214, 15, 18, 20syl3anc 1372 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
22 simp23 1209 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
231, 7, 8hlatjcl 37832 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
243, 5, 22, 23syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
25 simp33 1212 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
261, 8atbase 37754 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ 𝐴 β†’ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2725, 26syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
281, 19latmcl 18330 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
294, 24, 27, 28syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
301, 7, 8hlatjcl 37832 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑅 ∨ 𝑃) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
313, 22, 11, 30syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (𝑅 ∨ 𝑃) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
321, 7, 8hlatjcl 37832 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ (π‘ˆ ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
333, 25, 16, 32syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (π‘ˆ ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
341, 19latmcl 18330 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∨ 𝑃) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
354, 31, 33, 34syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
361, 7latjcl 18329 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ π‘ˆ) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
374, 29, 35, 36syl3anc 1372 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ π‘ˆ) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
381, 7, 8hlatjcl 37832 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
393, 6, 25, 38syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
401, 19latmcl 18330 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
414, 24, 39, 40syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
421, 7latjcl 18329 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
434, 41, 35, 42syl3anc 1372 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
441, 8atbase 37754 . . . . . . . . . 10 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
455, 44syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
461, 19latmcl 18330 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑄 ∧ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
474, 45, 27, 46syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (𝑄 ∧ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
481, 7, 8hlatjcl 37832 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
493, 11, 16, 48syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
501, 19latmcl 18330 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
514, 49, 45, 50syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
521, 7latjcl 18329 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∧ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑄 ∧ π‘ˆ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
534, 47, 51, 52syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑄 ∧ π‘ˆ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
541, 7latjcl 18329 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑄 ∧ π‘ˆ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄)) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑃 ∨ ((𝑄 ∧ π‘ˆ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
554, 13, 53, 54syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (𝑃 ∨ ((𝑄 ∧ π‘ˆ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
561, 8atbase 37754 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5722, 56syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
581, 7latjcl 18329 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ π‘ˆ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
594, 57, 29, 58syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ π‘ˆ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
601, 7latjcl 18329 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ π‘ˆ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑃 ∨ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ π‘ˆ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
614, 13, 59, 60syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (𝑃 ∨ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ π‘ˆ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
621, 7latjcl 18329 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∧ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑄 ∧ π‘ˆ) ∨ 𝑃) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
634, 47, 13, 62syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑄 ∧ π‘ˆ) ∨ 𝑃) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
641, 2, 7, 19latmlej22 18371 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑄 ∧ π‘ˆ) ∨ 𝑃) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≀ (((𝑄 ∧ π‘ˆ) ∨ 𝑃) ∨ 𝑆))
654, 18, 15, 63, 64syl13anc 1373 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≀ (((𝑄 ∧ π‘ˆ) ∨ 𝑃) ∨ 𝑆))
661, 7latjass 18373 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑄 ∧ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (((𝑄 ∧ π‘ˆ) ∨ 𝑃) ∨ 𝑆) = ((𝑄 ∧ π‘ˆ) ∨ (𝑃 ∨ 𝑆)))
674, 47, 13, 18, 66syl13anc 1373 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑄 ∧ π‘ˆ) ∨ 𝑃) ∨ 𝑆) = ((𝑄 ∧ π‘ˆ) ∨ (𝑃 ∨ 𝑆)))
6865, 67breqtrd 5132 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≀ ((𝑄 ∧ π‘ˆ) ∨ (𝑃 ∨ 𝑆)))
691, 19latmcl 18330 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
704, 10, 49, 69syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
711, 7latjcl 18329 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∨ 𝑃) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
724, 70, 13, 71syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∨ 𝑃) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
731, 7, 8hlatjcl 37832 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
743, 11, 5, 73syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
752, 7, 8hlatlej2 37841 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆))
763, 11, 16, 75syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆))
771, 2, 19latmlem2 18360 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≀ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆))))
784, 18, 49, 15, 77syl13anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≀ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆))))
7976, 78mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≀ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)))
802, 7, 8hlatlej1 37840 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆))
813, 11, 16, 80syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆))
821, 2, 7, 19, 8atmod4i1 38332 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆)) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∨ 𝑃) = (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)))
833, 11, 10, 49, 81, 82syl131anc 1384 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∨ 𝑃) = (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)))
8479, 83breqtrrd 5134 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≀ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∨ 𝑃))
851, 19latmcom 18353 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)))
864, 10, 49, 85syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)))
87 simp12 1205 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
8886, 87eqbrtrd 5128 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
892, 7, 8hlatlej1 37840 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
903, 11, 5, 89syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
911, 2, 7latjle12 18340 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ↔ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∨ 𝑃) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
924, 70, 13, 74, 91syl13anc 1373 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ↔ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∨ 𝑃) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
9388, 90, 92mpbi2and 711 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∨ 𝑃) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
941, 2, 4, 21, 72, 74, 84, 93lattrd 18336 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
951, 7latjcl 18329 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∧ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑄 ∧ π‘ˆ) ∨ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
964, 47, 49, 95syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑄 ∧ π‘ˆ) ∨ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
971, 2, 19latlem12 18356 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑄 ∧ π‘ˆ) ∨ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (((((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≀ ((𝑄 ∧ π‘ˆ) ∨ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∧ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ↔ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≀ (((𝑄 ∧ π‘ˆ) ∨ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄))))
984, 21, 96, 74, 97syl13anc 1373 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (((((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≀ ((𝑄 ∧ π‘ˆ) ∨ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∧ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ↔ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≀ (((𝑄 ∧ π‘ˆ) ∨ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄))))
9968, 94, 98mpbi2and 711 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≀ (((𝑄 ∧ π‘ˆ) ∨ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)))
1001, 2, 7, 19, 8atmod3i1 38330 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆)) β†’ (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄)) = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)))
1013, 11, 49, 45, 81, 100syl131anc 1384 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄)) = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)))
102101oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑄 ∧ π‘ˆ) ∨ (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄))) = ((𝑄 ∧ π‘ˆ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄))))
1031, 7latj12 18374 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑄 ∧ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑄 ∧ π‘ˆ) ∨ (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄))) = (𝑃 ∨ ((𝑄 ∧ π‘ˆ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄))))
1044, 47, 13, 51, 103syl13anc 1373 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑄 ∧ π‘ˆ) ∨ (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄))) = (𝑃 ∨ ((𝑄 ∧ π‘ˆ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄))))
1051, 2, 7, 19latmlej12 18369 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (𝑄 ∧ π‘ˆ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
1064, 45, 27, 13, 105syl13anc 1373 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (𝑄 ∧ π‘ˆ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
1071, 2, 7, 19, 8atmod1i1m 38324 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑄 ∧ π‘ˆ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ ((𝑄 ∧ π‘ˆ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄))) = (((𝑄 ∧ π‘ˆ) ∨ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)))
1083, 25, 45, 49, 74, 106, 107syl231anc 1391 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑄 ∧ π‘ˆ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄))) = (((𝑄 ∧ π‘ˆ) ∨ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)))
109102, 104, 1083eqtr3rd 2786 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑄 ∧ π‘ˆ) ∨ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) = (𝑃 ∨ ((𝑄 ∧ π‘ˆ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄))))
11099, 109breqtrd 5132 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≀ (𝑃 ∨ ((𝑄 ∧ π‘ˆ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄))))
1112, 7, 8hlatlej1 37840 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ 𝑄 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))
1123, 5, 22, 111syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ 𝑄 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))
1132, 7, 8hlatlej2 37841 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ π‘ˆ ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ))
1143, 22, 25, 113syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ π‘ˆ ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ))
1151, 19latmcl 18330 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1164, 49, 10, 115syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1171, 7, 8hlatjcl 37832 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ (𝑅 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1183, 22, 25, 117syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (𝑅 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1192, 7, 8hlatlej1 37840 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) β†’ 𝑄 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇))
1203, 5, 6, 119syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ 𝑄 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇))
1211, 2, 19latmlem2 18360 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (𝑄 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ≀ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))))
1224, 45, 10, 49, 121syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (𝑄 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ≀ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))))
123120, 122mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ≀ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)))
124 simp13 1206 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ))
1251, 2, 4, 51, 116, 118, 123, 124lattrd 18336 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ))
1261, 2, 7latjle12 18340 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑅 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((π‘ˆ ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ↔ (π‘ˆ ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))
1274, 27, 51, 118, 126syl13anc 1373 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((π‘ˆ ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ↔ (π‘ˆ ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))
128114, 125, 127mpbi2and 711 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (π‘ˆ ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ))
1291, 7latjcl 18329 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (π‘ˆ ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1304, 27, 51, 129syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (π‘ˆ ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1311, 2, 19latmlem12 18361 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ ((π‘ˆ ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑅 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑄 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (π‘ˆ ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) β†’ (𝑄 ∧ (π‘ˆ ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄))) ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑅 ∨ π‘ˆ))))
1324, 45, 24, 130, 118, 131syl122anc 1380 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑄 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (π‘ˆ ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) β†’ (𝑄 ∧ (π‘ˆ ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄))) ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑅 ∨ π‘ˆ))))
133112, 128, 132mp2and 698 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (𝑄 ∧ (π‘ˆ ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄))) ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))
1341, 2, 19latmle2 18355 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ≀ 𝑄)
1354, 49, 45, 134syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ≀ 𝑄)
1361, 2, 7, 19, 8atmod2i2 38328 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ≀ 𝑄) β†’ ((𝑄 ∧ π‘ˆ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄)) = (𝑄 ∧ (π‘ˆ ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄))))
1373, 25, 45, 51, 135, 136syl131anc 1384 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑄 ∧ π‘ˆ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄)) = (𝑄 ∧ (π‘ˆ ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄))))
1382, 7, 8hlatlej2 37841 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ 𝑅 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))
1393, 5, 22, 138syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ 𝑅 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))
1401, 2, 7, 19, 8atmod3i2 38331 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑅 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ π‘ˆ)) = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))
1413, 25, 57, 24, 139, 140syl131anc 1384 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ π‘ˆ)) = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))
142133, 137, 1413brtr4d 5138 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑄 ∧ π‘ˆ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄)) ≀ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ π‘ˆ)))
1431, 2, 7latjlej2 18344 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑄 ∧ π‘ˆ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ π‘ˆ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (((𝑄 ∧ π‘ˆ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄)) ≀ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ π‘ˆ)) β†’ (𝑃 ∨ ((𝑄 ∧ π‘ˆ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄))) ≀ (𝑃 ∨ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ π‘ˆ)))))
1444, 53, 59, 13, 143syl13anc 1373 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑄 ∧ π‘ˆ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄)) ≀ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ π‘ˆ)) β†’ (𝑃 ∨ ((𝑄 ∧ π‘ˆ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄))) ≀ (𝑃 ∨ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ π‘ˆ)))))
145142, 144mpd 15 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (𝑃 ∨ ((𝑄 ∧ π‘ˆ) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄))) ≀ (𝑃 ∨ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ π‘ˆ))))
1461, 2, 4, 21, 55, 61, 110, 145lattrd 18336 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≀ (𝑃 ∨ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ π‘ˆ))))
1471, 7latj13 18376 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (𝑃 ∨ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ π‘ˆ))) = (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ π‘ˆ) ∨ (𝑅 ∨ 𝑃)))
1484, 13, 57, 29, 147syl13anc 1373 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (𝑃 ∨ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ π‘ˆ))) = (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ π‘ˆ) ∨ (𝑅 ∨ 𝑃)))
149146, 148breqtrd 5132 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≀ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ π‘ˆ) ∨ (𝑅 ∨ 𝑃)))
1501, 2, 7, 19latmlej22 18371 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆))
1514, 18, 15, 27, 150syl13anc 1373 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆))
1521, 7latjcl 18329 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑅 ∨ 𝑃) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ π‘ˆ) ∨ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1534, 29, 31, 152syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ π‘ˆ) ∨ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1541, 2, 19latlem12 18356 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ π‘ˆ) ∨ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (((((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≀ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ π‘ˆ) ∨ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ↔ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≀ ((((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ π‘ˆ) ∨ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆))))
1554, 21, 153, 33, 154syl13anc 1373 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (((((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≀ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ π‘ˆ) ∨ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ↔ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≀ ((((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ π‘ˆ) ∨ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆))))
156149, 151, 155mpbi2and 711 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≀ ((((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ π‘ˆ) ∨ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆)))
1571, 2, 7, 19latmlej21 18370 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ π‘ˆ) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆))
1584, 27, 24, 18, 157syl13anc 1373 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ π‘ˆ) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆))
1591, 2, 7, 19, 8atmod1i1m 38324 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑅 ∨ 𝑃) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ π‘ˆ) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ π‘ˆ) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) = ((((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ π‘ˆ) ∨ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆)))
1603, 25, 24, 31, 33, 158, 159syl231anc 1391 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ π‘ˆ) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) = ((((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ π‘ˆ) ∨ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆)))
161156, 160breqtrrd 5134 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≀ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ π‘ˆ) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆))))
1622, 7, 8hlatlej2 37841 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ π‘ˆ ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ))
1633, 6, 25, 162syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ π‘ˆ ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ))
1641, 2, 19latmlem2 18360 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (π‘ˆ ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ π‘ˆ) ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ))))
1654, 27, 39, 24, 164syl13anc 1373 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (π‘ˆ ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ π‘ˆ) ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ))))
166163, 165mpd 15 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ π‘ˆ) ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)))
1671, 2, 7latjlej1 18343 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ π‘ˆ) ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ π‘ˆ) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ≀ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆)))))
1684, 29, 41, 35, 167syl13anc 1373 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ π‘ˆ) ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ π‘ˆ) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ≀ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆)))))
169166, 168mpd 15 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ π‘ˆ) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ≀ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆))))
1701, 2, 4, 21, 37, 43, 161, 169lattrd 18336 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≀ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17084  lecple 17141  joincjn 18201  meetcmee 18202  Latclat 18321  Atomscatm 37728  HLchlt 37815
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-proset 18185  df-poset 18203  df-plt 18220  df-lub 18236  df-glb 18237  df-join 18238  df-meet 18239  df-p0 18315  df-lat 18322  df-clat 18389  df-oposet 37641  df-ol 37643  df-oml 37644  df-covers 37731  df-ats 37732  df-atl 37763  df-cvlat 37787  df-hlat 37816  df-psubsp 37969  df-pmap 37970  df-padd 38262
This theorem is referenced by:  dalawlem4  38340  dalawlem5  38341
  Copyright terms: Public domain W3C validator