Theorem dalawlem3 40249

Description: Lemma for dalaw 40262. First piece of dalawlem5 40251. (Contributed by NM, 4-Oct-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
dalawlem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dalawlem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dalawlem.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dalawlem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
dalawlem3	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))))

Proof of Theorem dalawlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. 2 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		dalawlem.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		simp11 1205	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
4	3	hllatd 39740	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp22 1209	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
6		simp32 1212	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝑇 ∈ 𝐴)
7		dalawlem.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
8		dalawlem.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9	1, 7, 8	hlatjcl 39743	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) → (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
10	3, 5, 6, 9	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
11		simp21 1208	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
12	1, 8	atbase 39665	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
14	1, 7	latjcl 18374	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
15	4, 10, 13, 14	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
16		simp31 1211	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝑆 ∈ 𝐴)
17	1, 8	atbase 39665	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
18	16, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
19		dalawlem.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
20	1, 19	latmcl 18375	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
21	4, 15, 18, 20	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
22		simp23 1210	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝑅 ∈ 𝐴)
23	1, 7, 8	hlatjcl 39743	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
24	3, 5, 22, 23	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
25		simp33 1213	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝑈 ∈ 𝐴)
26	1, 8	atbase 39665	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐴 → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
27	25, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
28	1, 19	latmcl 18375	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
29	4, 24, 27, 28	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
30	1, 7, 8	hlatjcl 39743	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑅 ∨ 𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
31	3, 22, 11, 30	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑅 ∨ 𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
32	1, 7, 8	hlatjcl 39743	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (𝑈 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
33	3, 25, 16, 32	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑈 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
34	1, 19	latmcl 18375	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∨ 𝑃) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
35	4, 31, 33, 34	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
36	1, 7	latjcl 18374	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))) ∈ (Base‘𝐾))
37	4, 29, 35, 36	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))) ∈ (Base‘𝐾))
38	1, 7, 8	hlatjcl 39743	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → (𝑇 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
39	3, 6, 25, 38	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑇 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
40	1, 19	latmcl 18375	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∈ (Base‘𝐾))
41	4, 24, 39, 40	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∈ (Base‘𝐾))
42	1, 7	latjcl 18374	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))) ∈ (Base‘𝐾))
43	4, 41, 35, 42	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))) ∈ (Base‘𝐾))
44	1, 8	atbase 39665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
45	5, 44	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
46	1, 19	latmcl 18375	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑄 ∧ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
47	4, 45, 27, 46	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑄 ∧ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
48	1, 7, 8	hlatjcl 39743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
49	3, 11, 16, 48	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
50	1, 19	latmcl 18375	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
51	4, 49, 45, 50	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
52	1, 7	latjcl 18374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∧ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑄 ∧ 𝑈) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄)) ∈ (Base‘𝐾))
53	4, 47, 51, 52	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑄 ∧ 𝑈) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄)) ∈ (Base‘𝐾))
54	1, 7	latjcl 18374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑄 ∧ 𝑈) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄)) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ∨ ((𝑄 ∧ 𝑈) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄))) ∈ (Base‘𝐾))
55	4, 13, 53, 54	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∨ ((𝑄 ∧ 𝑈) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄))) ∈ (Base‘𝐾))
56	1, 8	atbase 39665	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
57	22, 56	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
58	1, 7	latjcl 18374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈)) ∈ (Base‘𝐾))
59	4, 57, 29, 58	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈)) ∈ (Base‘𝐾))
60	1, 7	latjcl 18374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈)) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ∨ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈))) ∈ (Base‘𝐾))
61	4, 13, 59, 60	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∨ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈))) ∈ (Base‘𝐾))
62	1, 7	latjcl 18374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∧ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑄 ∧ 𝑈) ∨ 𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
63	4, 47, 13, 62	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑄 ∧ 𝑈) ∨ 𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
64	1, 2, 7, 19	latmlej22 18416	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑄 ∧ 𝑈) ∨ 𝑃) ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≤ (((𝑄 ∧ 𝑈) ∨ 𝑃) ∨ 𝑆))
65	4, 18, 15, 63, 64	syl13anc 1375	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≤ (((𝑄 ∧ 𝑈) ∨ 𝑃) ∨ 𝑆))
66	1, 7	latjass 18418	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑄 ∧ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑄 ∧ 𝑈) ∨ 𝑃) ∨ 𝑆) = ((𝑄 ∧ 𝑈) ∨ (𝑃 ∨ 𝑆)))
67	4, 47, 13, 18, 66	syl13anc 1375	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∧ 𝑈) ∨ 𝑃) ∨ 𝑆) = ((𝑄 ∧ 𝑈) ∨ (𝑃 ∨ 𝑆)))
68	65, 67	breqtrd 5126	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≤ ((𝑄 ∧ 𝑈) ∨ (𝑃 ∨ 𝑆)))
69	1, 19	latmcl 18375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
70	4, 10, 49, 69	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
71	1, 7	latjcl 18374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∨ 𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
72	4, 70, 13, 71	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∨ 𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
73	1, 7, 8	hlatjcl 39743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
74	3, 11, 5, 73	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
75	2, 7, 8	hlatlej2 39752	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆))
76	3, 11, 16, 75	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆))
77	1, 2, 19	latmlem2 18405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) → (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆))))
78	4, 18, 49, 15, 77	syl13anc 1375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) → (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆))))
79	76, 78	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)))
80	2, 7, 8	hlatlej1 39751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆))
81	3, 11, 16, 80	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆))
82	1, 2, 7, 19, 8	atmod4i1 40242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆)) → (((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∨ 𝑃) = (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)))
83	3, 11, 10, 49, 81, 82	syl131anc 1386	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∨ 𝑃) = (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)))
84	79, 83	breqtrrd 5128	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∨ 𝑃))
85	1, 19	latmcom 18398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)))
86	4, 10, 49, 85	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)))
87		simp12 1206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
88	86, 87	eqbrtrd 5122	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
89	2, 7, 8	hlatlej1 39751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
90	3, 11, 5, 89	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
91	1, 2, 7	latjle12 18385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))) → ((((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ↔ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∨ 𝑃) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)))
92	4, 70, 13, 74, 91	syl13anc 1375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ↔ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∨ 𝑃) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)))
93	88, 90, 92	mpbi2and 713	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∨ 𝑃) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
94	1, 2, 4, 21, 72, 74, 84, 93	lattrd 18381	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
95	1, 7	latjcl 18374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∧ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑄 ∧ 𝑈) ∨ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
96	4, 47, 49, 95	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑄 ∧ 𝑈) ∨ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
97	1, 2, 19	latlem12 18401	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑄 ∧ 𝑈) ∨ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))) → (((((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≤ ((𝑄 ∧ 𝑈) ∨ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∧ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ↔ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≤ (((𝑄 ∧ 𝑈) ∨ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄))))
98	4, 21, 96, 74, 97	syl13anc 1375	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≤ ((𝑄 ∧ 𝑈) ∨ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∧ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ↔ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≤ (((𝑄 ∧ 𝑈) ∨ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄))))
99	68, 94, 98	mpbi2and 713	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≤ (((𝑄 ∧ 𝑈) ∨ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)))
100	1, 2, 7, 19, 8	atmod3i1 40240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆)) → (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄)) = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)))
101	3, 11, 49, 45, 81, 100	syl131anc 1386	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄)) = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)))
102	101	oveq2d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑄 ∧ 𝑈) ∨ (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄))) = ((𝑄 ∧ 𝑈) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄))))
103	1, 7	latj12 18419	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑄 ∧ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑄 ∧ 𝑈) ∨ (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄))) = (𝑃 ∨ ((𝑄 ∧ 𝑈) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄))))
104	4, 47, 13, 51, 103	syl13anc 1375	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑄 ∧ 𝑈) ∨ (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄))) = (𝑃 ∨ ((𝑄 ∧ 𝑈) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄))))
105	1, 2, 7, 19	latmlej12 18414	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑄 ∧ 𝑈) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
106	4, 45, 27, 13, 105	syl13anc 1375	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑄 ∧ 𝑈) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
107	1, 2, 7, 19, 8	atmod1i1m 40234	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑄 ∧ 𝑈) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) → ((𝑄 ∧ 𝑈) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄))) = (((𝑄 ∧ 𝑈) ∨ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)))
108	3, 25, 45, 49, 74, 106, 107	syl231anc 1393	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑄 ∧ 𝑈) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄))) = (((𝑄 ∧ 𝑈) ∨ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)))
109	102, 104, 108	3eqtr3rd 2781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∧ 𝑈) ∨ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) = (𝑃 ∨ ((𝑄 ∧ 𝑈) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄))))
110	99, 109	breqtrd 5126	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≤ (𝑃 ∨ ((𝑄 ∧ 𝑈) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄))))
111	2, 7, 8	hlatlej1 39751	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))
112	3, 5, 22, 111	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝑄 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))
113	2, 7, 8	hlatlej2 39752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → 𝑈 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈))
114	3, 22, 25, 113	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝑈 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈))
115	1, 19	latmcl 18375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
116	4, 49, 10, 115	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
117	1, 7, 8	hlatjcl 39743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → (𝑅 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
118	3, 22, 25, 117	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑅 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
119	2, 7, 8	hlatlej1 39751	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇))
120	3, 5, 6, 119	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝑄 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇))
121	1, 2, 19	latmlem2 18405	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑄 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))))
122	4, 45, 10, 49, 121	syl13anc 1375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑄 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))))
123	120, 122	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)))
124		simp13 1207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈))
125	1, 2, 4, 51, 116, 118, 123, 124	lattrd 18381	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈))
126	1, 2, 7	latjle12 18385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑈 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ↔ (𝑈 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)))
127	4, 27, 51, 118, 126	syl13anc 1375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑈 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ↔ (𝑈 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)))
128	114, 125, 127	mpbi2and 713	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑈 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈))
129	1, 7	latjcl 18374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑈 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄)) ∈ (Base‘𝐾))
130	4, 27, 51, 129	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑈 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄)) ∈ (Base‘𝐾))
131	1, 2, 19	latmlem12 18406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ((𝑈 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑄 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑈 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) → (𝑄 ∧ (𝑈 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄))) ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑅 ∨ 𝑈))))
132	4, 45, 24, 130, 118, 131	syl122anc 1382	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑄 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑈 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) → (𝑄 ∧ (𝑈 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄))) ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑅 ∨ 𝑈))))
133	112, 128, 132	mp2and 700	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑄 ∧ (𝑈 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄))) ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑅 ∨ 𝑈)))
134	1, 2, 19	latmle2 18400	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ≤ 𝑄)
135	4, 49, 45, 134	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ≤ 𝑄)
136	1, 2, 7, 19, 8	atmod2i2 40238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄) ≤ 𝑄) → ((𝑄 ∧ 𝑈) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄)) = (𝑄 ∧ (𝑈 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄))))
137	3, 25, 45, 51, 135, 136	syl131anc 1386	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑄 ∧ 𝑈) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄)) = (𝑄 ∧ (𝑈 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄))))
138	2, 7, 8	hlatlej2 39752	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → 𝑅 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))
139	3, 5, 22, 138	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝑅 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))
140	1, 2, 7, 19, 8	atmod3i2 40241	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑅 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) → (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈)) = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑅 ∨ 𝑈)))
141	3, 25, 57, 24, 139, 140	syl131anc 1386	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈)) = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑅 ∨ 𝑈)))
142	133, 137, 141	3brtr4d 5132	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑄 ∧ 𝑈) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄)) ≤ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈)))
143	1, 2, 7	latjlej2 18389	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑄 ∧ 𝑈) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑄 ∧ 𝑈) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄)) ≤ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈)) → (𝑃 ∨ ((𝑄 ∧ 𝑈) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄))) ≤ (𝑃 ∨ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈)))))
144	4, 53, 59, 13, 143	syl13anc 1375	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∧ 𝑈) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄)) ≤ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈)) → (𝑃 ∨ ((𝑄 ∧ 𝑈) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄))) ≤ (𝑃 ∨ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈)))))
145	142, 144	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∨ ((𝑄 ∧ 𝑈) ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑄))) ≤ (𝑃 ∨ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈))))
146	1, 2, 4, 21, 55, 61, 110, 145	lattrd 18381	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≤ (𝑃 ∨ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈))))
147	1, 7	latj13 18421	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑃 ∨ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈))) = (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ (𝑅 ∨ 𝑃)))
148	4, 13, 57, 29, 147	syl13anc 1375	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∨ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈))) = (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ (𝑅 ∨ 𝑃)))
149	146, 148	breqtrd 5126	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ (𝑅 ∨ 𝑃)))
150	1, 2, 7, 19	latmlej22 18416	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≤ (𝑈 ∨ 𝑆))
151	4, 18, 15, 27, 150	syl13anc 1375	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≤ (𝑈 ∨ 𝑆))
152	1, 7	latjcl 18374	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 ∨ 𝑃) ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
153	4, 29, 31, 152	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
154	1, 2, 19	latlem12 18401	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))) → (((((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ↔ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≤ ((((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))))
155	4, 21, 153, 33, 154	syl13anc 1375	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ↔ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≤ ((((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))))
156	149, 151, 155	mpbi2and 713	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≤ ((((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆)))
157	1, 2, 7, 19	latmlej21 18415	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ≤ (𝑈 ∨ 𝑆))
158	4, 27, 24, 18, 157	syl13anc 1375	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ≤ (𝑈 ∨ 𝑆))
159	1, 2, 7, 19, 8	atmod1i1m 40234	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 ∨ 𝑃) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))) = ((((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆)))
160	3, 25, 24, 31, 33, 158, 159	syl231anc 1393	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))) = ((((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆)))
161	156, 160	breqtrrd 5128	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))))
162	2, 7, 8	hlatlej2 39752	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → 𝑈 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈))
163	3, 6, 25, 162	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝑈 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈))
164	1, 2, 19	latmlem2 18405	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑈 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈))))
165	4, 27, 39, 24, 164	syl13anc 1375	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑈 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈))))
166	163, 165	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)))
167	1, 2, 7	latjlej1 18388	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆)))))
168	4, 29, 41, 35, 167	syl13anc 1375	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆)))))
169	166, 168	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))))
170	1, 2, 4, 21, 37, 43, 161, 169	lattrd 18381	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ∧ 𝑆) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  lecple 17196  joincjn 18246  meetcmee 18247  Latclat 18366  Atomscatm 39639  HLchlt 39726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-proset 18229  df-poset 18248  df-plt 18263  df-lub 18279  df-glb 18280  df-join 18281  df-meet 18282  df-p0 18358  df-lat 18367  df-clat 18434  df-oposet 39552  df-ol 39554  df-oml 39555  df-covers 39642  df-ats 39643  df-atl 39674  df-cvlat 39698  df-hlat 39727  df-psubsp 39879  df-pmap 39880  df-padd 40172

This theorem is referenced by:  dalawlem4  40250  dalawlem5  40251