Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalawlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dalawlem6 39879
Description: Lemma for dalaw 39889. First piece of dalawlem8 39881. (Contributed by NM, 6-Oct-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalawlem.l = (le‘𝐾)
dalawlem.j = (join‘𝐾)
dalawlem.m = (meet‘𝐾)
dalawlem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
dalawlem6 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) (((𝑄 𝑅) (𝑇 𝑈)) ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆))))

Proof of Theorem dalawlem6
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . 2 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2 dalawlem.l . 2 = (le‘𝐾)
3 simp11 1203 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
43hllatd 39366 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
5 simp21 1206 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝑃𝐴)
6 simp22 1207 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝑄𝐴)
7 dalawlem.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
8 dalawlem.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
91, 7, 8hlatjcl 39369 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
103, 5, 6, 9syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
11 simp32 1210 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝑇𝐴)
121, 8atbase 39291 . . . . 5 (𝑇𝐴𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
1311, 12syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
141, 7latjcl 18485 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
154, 10, 13, 14syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑃 𝑄) 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
16 simp31 1209 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝑆𝐴)
171, 8atbase 39291 . . . 4 (𝑆𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
1816, 17syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
19 dalawlem.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
201, 19latmcl 18486 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
214, 15, 18, 20syl3anc 1372 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
22 simp23 1208 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝑅𝐴)
231, 7, 8hlatjcl 39369 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
243, 6, 22, 23syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
25 simp33 1211 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝑈𝐴)
261, 8atbase 39291 . . . . 5 (𝑈𝐴𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
2725, 26syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
281, 19latmcl 18486 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑄 𝑅) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
294, 24, 27, 28syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑄 𝑅) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
301, 7, 8hlatjcl 39369 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑃𝐴) → (𝑅 𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
313, 22, 5, 30syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑅 𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
321, 7, 8hlatjcl 39369 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑈𝐴𝑆𝐴) → (𝑈 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
333, 25, 16, 32syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑈 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
341, 19latmcl 18486 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 𝑃) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑈 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
354, 31, 33, 34syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
361, 7latjcl 18485 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝑄 𝑅) 𝑈) ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆))) ∈ (Base‘𝐾))
374, 29, 35, 36syl3anc 1372 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑄 𝑅) 𝑈) ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆))) ∈ (Base‘𝐾))
381, 7, 8hlatjcl 39369 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇𝐴𝑈𝐴) → (𝑇 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
393, 11, 25, 38syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑇 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
401, 19latmcl 18486 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑇 𝑈) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑄 𝑅) (𝑇 𝑈)) ∈ (Base‘𝐾))
414, 24, 39, 40syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑄 𝑅) (𝑇 𝑈)) ∈ (Base‘𝐾))
421, 7latjcl 18485 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑄 𝑅) (𝑇 𝑈)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝑄 𝑅) (𝑇 𝑈)) ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆))) ∈ (Base‘𝐾))
434, 41, 35, 42syl3anc 1372 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑄 𝑅) (𝑇 𝑈)) ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆))) ∈ (Base‘𝐾))
441, 8atbase 39291 . . . . . . . 8 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
455, 44syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
461, 7, 8hlatjcl 39369 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑆𝐴) → (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
473, 5, 16, 46syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
481, 7, 8hlatjcl 39369 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑇𝐴) → (𝑄 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
493, 6, 11, 48syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑄 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
501, 19latmcl 18486 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑇) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
514, 24, 49, 50syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
521, 19latmcl 18486 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑆) ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇))) ∈ (Base‘𝐾))
534, 47, 51, 52syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑃 𝑆) ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇))) ∈ (Base‘𝐾))
541, 7latjcl 18485 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 𝑆) ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇))) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ((𝑃 𝑆) ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇)))) ∈ (Base‘𝐾))
554, 45, 53, 54syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑃 ((𝑃 𝑆) ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇)))) ∈ (Base‘𝐾))
561, 8atbase 39291 . . . . . . . . 9 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
5722, 56syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
581, 7latjcl 18485 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑅 ((𝑄 𝑅) 𝑈)) ∈ (Base‘𝐾))
594, 57, 29, 58syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑅 ((𝑄 𝑅) 𝑈)) ∈ (Base‘𝐾))
601, 7latjcl 18485 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 ((𝑄 𝑅) 𝑈)) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 (𝑅 ((𝑄 𝑅) 𝑈))) ∈ (Base‘𝐾))
614, 45, 59, 60syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑃 (𝑅 ((𝑄 𝑅) 𝑈))) ∈ (Base‘𝐾))
621, 2, 7, 19latmlej22 18527 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) (𝑃 𝑆))
634, 18, 15, 45, 62syl13anc 1373 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) (𝑃 𝑆))
641, 19latmcl 18486 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
654, 49, 47, 64syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
661, 7latjcl 18485 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆))) ∈ (Base‘𝐾))
674, 45, 65, 66syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑃 ((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆))) ∈ (Base‘𝐾))
681, 7latjcl 18485 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇))) ∈ (Base‘𝐾))
694, 45, 51, 68syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑃 ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇))) ∈ (Base‘𝐾))
702, 7, 8hlatlej2 39378 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑆𝐴) → 𝑆 (𝑃 𝑆))
713, 5, 16, 70syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝑆 (𝑃 𝑆))
721, 7latjcl 18485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑇) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 (𝑄 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
734, 45, 49, 72syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑃 (𝑄 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
741, 2, 19latmlem2 18516 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 (𝑄 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑆 (𝑃 𝑆) → ((𝑃 (𝑄 𝑇)) 𝑆) ((𝑃 (𝑄 𝑇)) (𝑃 𝑆))))
754, 18, 47, 73, 74syl13anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑆 (𝑃 𝑆) → ((𝑃 (𝑄 𝑇)) 𝑆) ((𝑃 (𝑄 𝑇)) (𝑃 𝑆))))
7671, 75mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑃 (𝑄 𝑇)) 𝑆) ((𝑃 (𝑄 𝑇)) (𝑃 𝑆)))
777, 8hlatjass 39372 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑇𝐴)) → ((𝑃 𝑄) 𝑇) = (𝑃 (𝑄 𝑇)))
783, 5, 6, 11, 77syl13anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑃 𝑄) 𝑇) = (𝑃 (𝑄 𝑇)))
7978oveq1d 7447 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) = ((𝑃 (𝑄 𝑇)) 𝑆))
802, 7, 8hlatlej1 39377 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑆𝐴) → 𝑃 (𝑃 𝑆))
813, 5, 16, 80syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝑃 (𝑃 𝑆))
821, 2, 7, 19, 8atmod1i1 39860 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴 ∧ (𝑄 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑃 (𝑃 𝑆)) → (𝑃 ((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆))) = ((𝑃 (𝑄 𝑇)) (𝑃 𝑆)))
833, 5, 49, 47, 81, 82syl131anc 1384 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑃 ((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆))) = ((𝑃 (𝑄 𝑇)) (𝑃 𝑆)))
8476, 79, 833brtr4d 5174 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) (𝑃 ((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆))))
851, 19latmcom 18509 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆)) = ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)))
864, 49, 47, 85syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆)) = ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)))
87 simp12 1204 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅))
8886, 87eqbrtrd 5164 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆)) (𝑄 𝑅))
891, 2, 19latmle1 18510 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆)) (𝑄 𝑇))
904, 49, 47, 89syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆)) (𝑄 𝑇))
911, 2, 19latlem12 18512 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))) → ((((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆)) (𝑄 𝑇)) ↔ ((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆)) ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇))))
924, 65, 24, 49, 91syl13anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆)) (𝑄 𝑇)) ↔ ((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆)) ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇))))
9388, 90, 92mpbi2and 712 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆)) ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇)))
941, 2, 7latjlej2 18500 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆)) ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇)) → (𝑃 ((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆))) (𝑃 ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇)))))
954, 65, 51, 45, 94syl13anc 1373 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆)) ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇)) → (𝑃 ((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆))) (𝑃 ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇)))))
9693, 95mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑃 ((𝑄 𝑇) (𝑃 𝑆))) (𝑃 ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇))))
971, 2, 4, 21, 67, 69, 84, 96lattrd 18492 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) (𝑃 ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇))))
981, 2, 19latlem12 18512 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇))) ∈ (Base‘𝐾))) → (((((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) (𝑃 𝑆) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) (𝑃 ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇)))) ↔ (((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) ((𝑃 𝑆) (𝑃 ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇))))))
994, 21, 47, 69, 98syl13anc 1373 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) (𝑃 𝑆) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) (𝑃 ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇)))) ↔ (((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) ((𝑃 𝑆) (𝑃 ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇))))))
10063, 97, 99mpbi2and 712 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) ((𝑃 𝑆) (𝑃 ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇)))))
1011, 2, 7, 19, 8atmod3i1 39867 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴 ∧ (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑃 (𝑃 𝑆)) → (𝑃 ((𝑃 𝑆) ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇)))) = ((𝑃 𝑆) (𝑃 ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇)))))
1023, 5, 47, 51, 81, 101syl131anc 1384 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑃 ((𝑃 𝑆) ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇)))) = ((𝑃 𝑆) (𝑃 ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇)))))
103100, 102breqtrrd 5170 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) (𝑃 ((𝑃 𝑆) ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇)))))
104 simp13 1205 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈))
1051, 19latmcl 18486 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑇) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
1064, 47, 49, 105syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
1071, 7, 8hlatjcl 39369 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑈𝐴) → (𝑅 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
1083, 22, 25, 107syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑅 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
1091, 2, 19latmlem2 18516 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈) → ((𝑄 𝑅) ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇))) ((𝑄 𝑅) (𝑅 𝑈))))
1104, 106, 108, 24, 109syl13anc 1373 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈) → ((𝑄 𝑅) ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇))) ((𝑄 𝑅) (𝑅 𝑈))))
111104, 110mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑄 𝑅) ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇))) ((𝑄 𝑅) (𝑅 𝑈)))
112 hlol 39363 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
1133, 112syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝐾 ∈ OL)
1141, 19latm12 39232 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OL ∧ ((𝑃 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 𝑆) ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇))) = ((𝑄 𝑅) ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇))))
115113, 47, 24, 49, 114syl13anc 1373 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑃 𝑆) ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇))) = ((𝑄 𝑅) ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇))))
1162, 7, 8hlatlej2 39378 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → 𝑅 (𝑄 𝑅))
1173, 6, 22, 116syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝑅 (𝑄 𝑅))
1181, 2, 7, 19, 8atmod3i1 39867 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑅 (𝑄 𝑅)) → (𝑅 ((𝑄 𝑅) 𝑈)) = ((𝑄 𝑅) (𝑅 𝑈)))
1193, 22, 24, 27, 117, 118syl131anc 1384 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑅 ((𝑄 𝑅) 𝑈)) = ((𝑄 𝑅) (𝑅 𝑈)))
120111, 115, 1193brtr4d 5174 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑃 𝑆) ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇))) (𝑅 ((𝑄 𝑅) 𝑈)))
1211, 2, 7latjlej2 18500 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑃 𝑆) ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇))) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 ((𝑄 𝑅) 𝑈)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑃 𝑆) ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇))) (𝑅 ((𝑄 𝑅) 𝑈)) → (𝑃 ((𝑃 𝑆) ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇)))) (𝑃 (𝑅 ((𝑄 𝑅) 𝑈)))))
1224, 53, 59, 45, 121syl13anc 1373 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑃 𝑆) ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇))) (𝑅 ((𝑄 𝑅) 𝑈)) → (𝑃 ((𝑃 𝑆) ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇)))) (𝑃 (𝑅 ((𝑄 𝑅) 𝑈)))))
123120, 122mpd 15 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑃 ((𝑃 𝑆) ((𝑄 𝑅) (𝑄 𝑇)))) (𝑃 (𝑅 ((𝑄 𝑅) 𝑈))))
1241, 2, 4, 21, 55, 61, 103, 123lattrd 18492 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) (𝑃 (𝑅 ((𝑄 𝑅) 𝑈))))
1251, 7latj13 18532 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑃 (𝑅 ((𝑄 𝑅) 𝑈))) = (((𝑄 𝑅) 𝑈) (𝑅 𝑃)))
1264, 45, 57, 29, 125syl13anc 1373 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑃 (𝑅 ((𝑄 𝑅) 𝑈))) = (((𝑄 𝑅) 𝑈) (𝑅 𝑃)))
127124, 126breqtrd 5168 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) (((𝑄 𝑅) 𝑈) (𝑅 𝑃)))
1281, 2, 7, 19latmlej22 18527 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) (𝑈 𝑆))
1294, 18, 15, 27, 128syl13anc 1373 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) (𝑈 𝑆))
1301, 7latjcl 18485 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 𝑃) ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝑄 𝑅) 𝑈) (𝑅 𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
1314, 29, 31, 130syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑄 𝑅) 𝑈) (𝑅 𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
1321, 2, 19latlem12 18512 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (((𝑄 𝑅) 𝑈) (𝑅 𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑈 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))) → (((((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) (((𝑄 𝑅) 𝑈) (𝑅 𝑃)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) (𝑈 𝑆)) ↔ (((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) ((((𝑄 𝑅) 𝑈) (𝑅 𝑃)) (𝑈 𝑆))))
1334, 21, 131, 33, 132syl13anc 1373 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) (((𝑄 𝑅) 𝑈) (𝑅 𝑃)) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) (𝑈 𝑆)) ↔ (((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) ((((𝑄 𝑅) 𝑈) (𝑅 𝑃)) (𝑈 𝑆))))
134127, 129, 133mpbi2and 712 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) ((((𝑄 𝑅) 𝑈) (𝑅 𝑃)) (𝑈 𝑆)))
1351, 2, 7, 19latmlej21 18526 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑄 𝑅) 𝑈) (𝑈 𝑆))
1364, 27, 24, 18, 135syl13anc 1373 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑄 𝑅) 𝑈) (𝑈 𝑆))
1371, 2, 7, 19, 8atmod1i1m 39861 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑈𝐴) ∧ ((𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 𝑃) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑈 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑈) (𝑈 𝑆)) → (((𝑄 𝑅) 𝑈) ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆))) = ((((𝑄 𝑅) 𝑈) (𝑅 𝑃)) (𝑈 𝑆)))
1383, 25, 24, 31, 33, 136, 137syl231anc 1391 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑄 𝑅) 𝑈) ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆))) = ((((𝑄 𝑅) 𝑈) (𝑅 𝑃)) (𝑈 𝑆)))
139134, 138breqtrrd 5170 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) (((𝑄 𝑅) 𝑈) ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆))))
1402, 7, 8hlatlej2 39378 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇𝐴𝑈𝐴) → 𝑈 (𝑇 𝑈))
1413, 11, 25, 140syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → 𝑈 (𝑇 𝑈))
1421, 2, 19latmlem2 18516 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑇 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑈 (𝑇 𝑈) → ((𝑄 𝑅) 𝑈) ((𝑄 𝑅) (𝑇 𝑈))))
1434, 27, 39, 24, 142syl13anc 1373 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (𝑈 (𝑇 𝑈) → ((𝑄 𝑅) 𝑈) ((𝑄 𝑅) (𝑇 𝑈))))
144141, 143mpd 15 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑄 𝑅) 𝑈) ((𝑄 𝑅) (𝑇 𝑈)))
1451, 2, 7latjlej1 18499 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑄 𝑅) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑄 𝑅) (𝑇 𝑈)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑄 𝑅) 𝑈) ((𝑄 𝑅) (𝑇 𝑈)) → (((𝑄 𝑅) 𝑈) ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆))) (((𝑄 𝑅) (𝑇 𝑈)) ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆)))))
1464, 29, 41, 35, 145syl13anc 1373 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑄 𝑅) 𝑈) ((𝑄 𝑅) (𝑇 𝑈)) → (((𝑄 𝑅) 𝑈) ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆))) (((𝑄 𝑅) (𝑇 𝑈)) ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆)))))
147144, 146mpd 15 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑄 𝑅) 𝑈) ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆))) (((𝑄 𝑅) (𝑇 𝑈)) ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆))))
1481, 2, 4, 21, 37, 43, 139, 147lattrd 18492 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑃 𝑆) (𝑄 𝑇)) (𝑅 𝑈)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → (((𝑃 𝑄) 𝑇) 𝑆) (((𝑄 𝑅) (𝑇 𝑈)) ((𝑅 𝑃) (𝑈 𝑆))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107   class class class wbr 5142  cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  lecple 17305  joincjn 18358  meetcmee 18359  Latclat 18477  OLcol 39176  Atomscatm 39265  HLchlt 39352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-proset 18341  df-poset 18360  df-plt 18376  df-lub 18392  df-glb 18393  df-join 18394  df-meet 18395  df-p0 18471  df-lat 18478  df-clat 18545  df-oposet 39178  df-ol 39180  df-oml 39181  df-covers 39268  df-ats 39269  df-atl 39300  df-cvlat 39324  df-hlat 39353  df-psubsp 39506  df-pmap 39507  df-padd 39799
This theorem is referenced by:  dalawlem8  39881
  Copyright terms: Public domain W3C validator