Theorem dalawlem6 39859

Description: Lemma for dalaw 39869. First piece of dalawlem8 39861. (Contributed by NM, 6-Oct-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
dalawlem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dalawlem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dalawlem.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dalawlem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
dalawlem6	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))))

Proof of Theorem dalawlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. 2 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		dalawlem.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		simp11 1202	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
4	3	hllatd 39346	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp21 1205	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
6		simp22 1206	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
7		dalawlem.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
8		dalawlem.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9	1, 7, 8	hlatjcl 39349	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
10	3, 5, 6, 9	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
11		simp32 1209	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝑇 ∈ 𝐴)
12	1, 8	atbase 39271	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐴 → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
14	1, 7	latjcl 18497	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
15	4, 10, 13, 14	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
16		simp31 1208	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝑆 ∈ 𝐴)
17	1, 8	atbase 39271	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
18	16, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
19		dalawlem.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
20	1, 19	latmcl 18498	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
21	4, 15, 18, 20	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
22		simp23 1207	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝑅 ∈ 𝐴)
23	1, 7, 8	hlatjcl 39349	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
24	3, 6, 22, 23	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
25		simp33 1210	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝑈 ∈ 𝐴)
26	1, 8	atbase 39271	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐴 → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
27	25, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
28	1, 19	latmcl 18498	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
29	4, 24, 27, 28	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
30	1, 7, 8	hlatjcl 39349	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑅 ∨ 𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
31	3, 22, 5, 30	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑅 ∨ 𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
32	1, 7, 8	hlatjcl 39349	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (𝑈 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
33	3, 25, 16, 32	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑈 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
34	1, 19	latmcl 18498	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∨ 𝑃) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
35	4, 31, 33, 34	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
36	1, 7	latjcl 18497	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))) ∈ (Base‘𝐾))
37	4, 29, 35, 36	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))) ∈ (Base‘𝐾))
38	1, 7, 8	hlatjcl 39349	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → (𝑇 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
39	3, 11, 25, 38	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑇 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
40	1, 19	latmcl 18498	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∈ (Base‘𝐾))
41	4, 24, 39, 40	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∈ (Base‘𝐾))
42	1, 7	latjcl 18497	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))) ∈ (Base‘𝐾))
43	4, 41, 35, 42	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))) ∈ (Base‘𝐾))
44	1, 8	atbase 39271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
45	5, 44	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
46	1, 7, 8	hlatjcl 39349	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
47	3, 5, 16, 46	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
48	1, 7, 8	hlatjcl 39349	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) → (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
49	3, 6, 11, 48	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
50	1, 19	latmcl 18498	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
51	4, 24, 49, 50	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
52	1, 19	latmcl 18498	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))) ∈ (Base‘𝐾))
53	4, 47, 51, 52	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))) ∈ (Base‘𝐾))
54	1, 7	latjcl 18497	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)))) ∈ (Base‘𝐾))
55	4, 45, 53, 54	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)))) ∈ (Base‘𝐾))
56	1, 8	atbase 39271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
57	22, 56	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
58	1, 7	latjcl 18497	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈)) ∈ (Base‘𝐾))
59	4, 57, 29, 58	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈)) ∈ (Base‘𝐾))
60	1, 7	latjcl 18497	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈)) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ∨ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈))) ∈ (Base‘𝐾))
61	4, 45, 59, 60	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∨ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈))) ∈ (Base‘𝐾))
62	1, 2, 7, 19	latmlej22 18539	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≤ (𝑃 ∨ 𝑆))
63	4, 18, 15, 45, 62	syl13anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≤ (𝑃 ∨ 𝑆))
64	1, 19	latmcl 18498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
65	4, 49, 47, 64	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
66	1, 7	latjcl 18497	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆))) ∈ (Base‘𝐾))
67	4, 45, 65, 66	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆))) ∈ (Base‘𝐾))
68	1, 7	latjcl 18497	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))) ∈ (Base‘𝐾))
69	4, 45, 51, 68	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))) ∈ (Base‘𝐾))
70	2, 7, 8	hlatlej2 39358	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆))
71	3, 5, 16, 70	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆))
72	1, 7	latjcl 18497	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
73	4, 45, 49, 72	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
74	1, 2, 19	latmlem2 18528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) → ((𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆) ≤ ((𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆))))
75	4, 18, 47, 73, 74	syl13anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) → ((𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆) ≤ ((𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆))))
76	71, 75	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆) ≤ ((𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)))
77	7, 8	hlatjass 39352	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) = (𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑇)))
78	3, 5, 6, 11, 77	syl13anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) = (𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑇)))
79	78	oveq1d 7446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) = ((𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆))
80	2, 7, 8	hlatlej1 39357	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆))
81	3, 5, 16, 80	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆))
82	1, 2, 7, 19, 8	atmod1i1 39840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆)) → (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆))) = ((𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)))
83	3, 5, 49, 47, 81, 82	syl131anc 1382	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆))) = ((𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)))
84	76, 79, 83	3brtr4d 5180	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≤ (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆))))
85	1, 19	latmcom 18521	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)))
86	4, 49, 47, 85	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)))
87		simp12 1203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))
88	86, 87	eqbrtrd 5170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))
89	1, 2, 19	latmle1 18522	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑇))
90	4, 49, 47, 89	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑇))
91	1, 2, 19	latlem12 18524	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))) → ((((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑇)) ↔ ((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))))
92	4, 65, 24, 49, 91	syl13anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑇)) ↔ ((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))))
93	88, 90, 92	mpbi2and 712	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)))
94	1, 2, 7	latjlej2 18512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) → (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆))) ≤ (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)))))
95	4, 65, 51, 45, 94	syl13anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) → (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆))) ≤ (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)))))
96	93, 95	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆))) ≤ (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))))
97	1, 2, 4, 21, 67, 69, 84, 96	lattrd 18504	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≤ (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))))
98	1, 2, 19	latlem12 18524	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))) ∈ (Base‘𝐾))) → (((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≤ (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)))) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))))))
99	4, 21, 47, 69, 98	syl13anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≤ (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)))) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))))))
100	63, 97, 99	mpbi2and 712	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)))))
101	1, 2, 7, 19, 8	atmod3i1 39847	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆)) → (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)))) = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)))))
102	3, 5, 47, 51, 81, 101	syl131anc 1382	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)))) = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)))))
103	100, 102	breqtrrd 5176	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≤ (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)))))
104		simp13 1204	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈))
105	1, 19	latmcl 18498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
106	4, 47, 49, 105	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
107	1, 7, 8	hlatjcl 39349	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → (𝑅 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
108	3, 22, 25, 107	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑅 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
109	1, 2, 19	latmlem2 18528	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))) ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑅 ∨ 𝑈))))
110	4, 106, 108, 24, 109	syl13anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))) ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑅 ∨ 𝑈))))
111	104, 110	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))) ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑅 ∨ 𝑈)))
112		hlol 39343	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
113	3, 112	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ OL)
114	1, 19	latm12 39212	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))) = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))))
115	113, 47, 24, 49, 114	syl13anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))) = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))))
116	2, 7, 8	hlatlej2 39358	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → 𝑅 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))
117	3, 6, 22, 116	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝑅 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))
118	1, 2, 7, 19, 8	atmod3i1 39847	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑅 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) → (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈)) = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑅 ∨ 𝑈)))
119	3, 22, 24, 27, 117, 118	syl131anc 1382	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈)) = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑅 ∨ 𝑈)))
120	111, 115, 119	3brtr4d 5180	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))) ≤ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈)))
121	1, 2, 7	latjlej2 18512	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))) ≤ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈)) → (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)))) ≤ (𝑃 ∨ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈)))))
122	4, 53, 59, 45, 121	syl13anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))) ≤ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈)) → (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)))) ≤ (𝑃 ∨ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈)))))
123	120, 122	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)))) ≤ (𝑃 ∨ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈))))
124	1, 2, 4, 21, 55, 61, 103, 123	lattrd 18504	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≤ (𝑃 ∨ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈))))
125	1, 7	latj13 18544	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑃 ∨ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈))) = (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ (𝑅 ∨ 𝑃)))
126	4, 45, 57, 29, 125	syl13anc 1371	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∨ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈))) = (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ (𝑅 ∨ 𝑃)))
127	124, 126	breqtrd 5174	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ (𝑅 ∨ 𝑃)))
128	1, 2, 7, 19	latmlej22 18539	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≤ (𝑈 ∨ 𝑆))
129	4, 18, 15, 27, 128	syl13anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≤ (𝑈 ∨ 𝑆))
130	1, 7	latjcl 18497	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 ∨ 𝑃) ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
131	4, 29, 31, 130	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
132	1, 2, 19	latlem12 18524	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))) → (((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≤ ((((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))))
133	4, 21, 131, 33, 132	syl13anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≤ ((((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))))
134	127, 129, 133	mpbi2and 712	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≤ ((((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆)))
135	1, 2, 7, 19	latmlej21 18538	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ≤ (𝑈 ∨ 𝑆))
136	4, 27, 24, 18, 135	syl13anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ≤ (𝑈 ∨ 𝑆))
137	1, 2, 7, 19, 8	atmod1i1m 39841	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 ∨ 𝑃) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))) = ((((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆)))
138	3, 25, 24, 31, 33, 136, 137	syl231anc 1389	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))) = ((((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆)))
139	134, 138	breqtrrd 5176	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))))
140	2, 7, 8	hlatlej2 39358	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → 𝑈 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈))
141	3, 11, 25, 140	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝑈 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈))
142	1, 2, 19	latmlem2 18528	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑈 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈))))
143	4, 27, 39, 24, 142	syl13anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑈 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈))))
144	141, 143	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)))
145	1, 2, 7	latjlej1 18511	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆)))))
146	4, 29, 41, 35, 145	syl13anc 1371	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆)))))
147	144, 146	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))))
148	1, 2, 4, 21, 37, 43, 139, 147	lattrd 18504	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  lecple 17305  joincjn 18369  meetcmee 18370  Latclat 18489  OLcol 39156  Atomscatm 39245  HLchlt 39332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-psubsp 39486  df-pmap 39487  df-padd 39779

This theorem is referenced by:  dalawlem8  39861