Theorem dalawlem6 37172

Description: Lemma for dalaw 37182. First piece of dalawlem8 37174. (Contributed by NM, 6-Oct-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
dalawlem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dalawlem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dalawlem.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dalawlem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
dalawlem6	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))))

Proof of Theorem dalawlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2798	. 2 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		dalawlem.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		simp11 1200	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
4	3	hllatd 36660	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp21 1203	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
6		simp22 1204	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
7		dalawlem.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
8		dalawlem.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9	1, 7, 8	hlatjcl 36663	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
10	3, 5, 6, 9	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
11		simp32 1207	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝑇 ∈ 𝐴)
12	1, 8	atbase 36585	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐴 → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
14	1, 7	latjcl 17653	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
15	4, 10, 13, 14	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
16		simp31 1206	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝑆 ∈ 𝐴)
17	1, 8	atbase 36585	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
18	16, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
19		dalawlem.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
20	1, 19	latmcl 17654	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
21	4, 15, 18, 20	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
22		simp23 1205	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝑅 ∈ 𝐴)
23	1, 7, 8	hlatjcl 36663	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
24	3, 6, 22, 23	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
25		simp33 1208	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝑈 ∈ 𝐴)
26	1, 8	atbase 36585	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐴 → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
27	25, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
28	1, 19	latmcl 17654	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
29	4, 24, 27, 28	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
30	1, 7, 8	hlatjcl 36663	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑅 ∨ 𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
31	3, 22, 5, 30	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑅 ∨ 𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
32	1, 7, 8	hlatjcl 36663	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (𝑈 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
33	3, 25, 16, 32	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑈 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
34	1, 19	latmcl 17654	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∨ 𝑃) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
35	4, 31, 33, 34	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
36	1, 7	latjcl 17653	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))) ∈ (Base‘𝐾))
37	4, 29, 35, 36	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))) ∈ (Base‘𝐾))
38	1, 7, 8	hlatjcl 36663	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → (𝑇 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
39	3, 11, 25, 38	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑇 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
40	1, 19	latmcl 17654	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∈ (Base‘𝐾))
41	4, 24, 39, 40	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∈ (Base‘𝐾))
42	1, 7	latjcl 17653	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))) ∈ (Base‘𝐾))
43	4, 41, 35, 42	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))) ∈ (Base‘𝐾))
44	1, 8	atbase 36585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
45	5, 44	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
46	1, 7, 8	hlatjcl 36663	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
47	3, 5, 16, 46	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
48	1, 7, 8	hlatjcl 36663	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) → (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
49	3, 6, 11, 48	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
50	1, 19	latmcl 17654	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
51	4, 24, 49, 50	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
52	1, 19	latmcl 17654	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))) ∈ (Base‘𝐾))
53	4, 47, 51, 52	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))) ∈ (Base‘𝐾))
54	1, 7	latjcl 17653	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)))) ∈ (Base‘𝐾))
55	4, 45, 53, 54	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)))) ∈ (Base‘𝐾))
56	1, 8	atbase 36585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
57	22, 56	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
58	1, 7	latjcl 17653	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈)) ∈ (Base‘𝐾))
59	4, 57, 29, 58	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈)) ∈ (Base‘𝐾))
60	1, 7	latjcl 17653	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈)) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ∨ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈))) ∈ (Base‘𝐾))
61	4, 45, 59, 60	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∨ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈))) ∈ (Base‘𝐾))
62	1, 2, 7, 19	latmlej22 17695	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≤ (𝑃 ∨ 𝑆))
63	4, 18, 15, 45, 62	syl13anc 1369	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≤ (𝑃 ∨ 𝑆))
64	1, 19	latmcl 17654	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
65	4, 49, 47, 64	syl3anc 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
66	1, 7	latjcl 17653	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆))) ∈ (Base‘𝐾))
67	4, 45, 65, 66	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆))) ∈ (Base‘𝐾))
68	1, 7	latjcl 17653	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))) ∈ (Base‘𝐾))
69	4, 45, 51, 68	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))) ∈ (Base‘𝐾))
70	2, 7, 8	hlatlej2 36672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆))
71	3, 5, 16, 70	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆))
72	1, 7	latjcl 17653	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
73	4, 45, 49, 72	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
74	1, 2, 19	latmlem2 17684	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) → ((𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆) ≤ ((𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆))))
75	4, 18, 47, 73, 74	syl13anc 1369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) → ((𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆) ≤ ((𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆))))
76	71, 75	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆) ≤ ((𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)))
77	7, 8	hlatjass 36666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) = (𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑇)))
78	3, 5, 6, 11, 77	syl13anc 1369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) = (𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑇)))
79	78	oveq1d 7150	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) = ((𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆))
80	2, 7, 8	hlatlej1 36671	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆))
81	3, 5, 16, 80	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆))
82	1, 2, 7, 19, 8	atmod1i1 37153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆)) → (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆))) = ((𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)))
83	3, 5, 49, 47, 81, 82	syl131anc 1380	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆))) = ((𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)))
84	76, 79, 83	3brtr4d 5062	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≤ (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆))))
85	1, 19	latmcom 17677	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)))
86	4, 49, 47, 85	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)))
87		simp12 1201	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))
88	86, 87	eqbrtrd 5052	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))
89	1, 2, 19	latmle1 17678	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑇))
90	4, 49, 47, 89	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑇))
91	1, 2, 19	latlem12 17680	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))) → ((((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑇)) ↔ ((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))))
92	4, 65, 24, 49, 91	syl13anc 1369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑇)) ↔ ((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))))
93	88, 90, 92	mpbi2and 711	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)))
94	1, 2, 7	latjlej2 17668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) → (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆))) ≤ (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)))))
95	4, 65, 51, 45, 94	syl13anc 1369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆)) ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) → (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆))) ≤ (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)))))
96	93, 95	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆))) ≤ (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))))
97	1, 2, 4, 21, 67, 69, 84, 96	lattrd 17660	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≤ (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))))
98	1, 2, 19	latlem12 17680	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))) ∈ (Base‘𝐾))) → (((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≤ (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)))) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))))))
99	4, 21, 47, 69, 98	syl13anc 1369	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≤ (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)))) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))))))
100	63, 97, 99	mpbi2and 711	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)))))
101	1, 2, 7, 19, 8	atmod3i1 37160	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆)) → (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)))) = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)))))
102	3, 5, 47, 51, 81, 101	syl131anc 1380	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)))) = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)))))
103	100, 102	breqtrrd 5058	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≤ (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)))))
104		simp13 1202	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈))
105	1, 19	latmcl 17654	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
106	4, 47, 49, 105	syl3anc 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
107	1, 7, 8	hlatjcl 36663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → (𝑅 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
108	3, 22, 25, 107	syl3anc 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑅 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
109	1, 2, 19	latmlem2 17684	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))) ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑅 ∨ 𝑈))))
110	4, 106, 108, 24, 109	syl13anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))) ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑅 ∨ 𝑈))))
111	104, 110	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))) ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑅 ∨ 𝑈)))
112		hlol 36657	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
113	3, 112	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ OL)
114	1, 19	latm12 36526	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))) = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))))
115	113, 47, 24, 49, 114	syl13anc 1369	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))) = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))))
116	2, 7, 8	hlatlej2 36672	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → 𝑅 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))
117	3, 6, 22, 116	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝑅 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))
118	1, 2, 7, 19, 8	atmod3i1 37160	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑅 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) → (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈)) = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑅 ∨ 𝑈)))
119	3, 22, 24, 27, 117, 118	syl131anc 1380	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈)) = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑅 ∨ 𝑈)))
120	111, 115, 119	3brtr4d 5062	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))) ≤ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈)))
121	1, 2, 7	latjlej2 17668	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))) ≤ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈)) → (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)))) ≤ (𝑃 ∨ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈)))))
122	4, 53, 59, 45, 121	syl13anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))) ≤ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈)) → (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)))) ≤ (𝑃 ∨ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈)))))
123	120, 122	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)))) ≤ (𝑃 ∨ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈))))
124	1, 2, 4, 21, 55, 61, 103, 123	lattrd 17660	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≤ (𝑃 ∨ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈))))
125	1, 7	latj13 17700	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑃 ∨ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈))) = (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ (𝑅 ∨ 𝑃)))
126	4, 45, 57, 29, 125	syl13anc 1369	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∨ (𝑅 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈))) = (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ (𝑅 ∨ 𝑃)))
127	124, 126	breqtrd 5056	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ (𝑅 ∨ 𝑃)))
128	1, 2, 7, 19	latmlej22 17695	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≤ (𝑈 ∨ 𝑆))
129	4, 18, 15, 27, 128	syl13anc 1369	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≤ (𝑈 ∨ 𝑆))
130	1, 7	latjcl 17653	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 ∨ 𝑃) ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
131	4, 29, 31, 130	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
132	1, 2, 19	latlem12 17680	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))) → (((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≤ ((((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))))
133	4, 21, 131, 33, 132	syl13anc 1369	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≤ ((((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))))
134	127, 129, 133	mpbi2and 711	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≤ ((((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆)))
135	1, 2, 7, 19	latmlej21 17694	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ≤ (𝑈 ∨ 𝑆))
136	4, 27, 24, 18, 135	syl13anc 1369	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ≤ (𝑈 ∨ 𝑆))
137	1, 2, 7, 19, 8	atmod1i1m 37154	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 ∨ 𝑃) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))) = ((((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆)))
138	3, 25, 24, 31, 33, 136, 137	syl231anc 1387	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))) = ((((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆)))
139	134, 138	breqtrrd 5058	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))))
140	2, 7, 8	hlatlej2 36672	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → 𝑈 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈))
141	3, 11, 25, 140	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝑈 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈))
142	1, 2, 19	latmlem2 17684	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑈 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈))))
143	4, 27, 39, 24, 142	syl13anc 1369	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑈 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈))))
144	141, 143	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)))
145	1, 2, 7	latjlej1 17667	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆)))))
146	4, 29, 41, 35, 145	syl13anc 1369	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆)))))
147	144, 146	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑈) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))))
148	1, 2, 4, 21, 37, 43, 139, 147	lattrd 17660	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑇) ∧ 𝑆) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  lecple 16564  joincjn 17546  meetcmee 17547  Latclat 17647  OLcol 36470  Atomscatm 36559  HLchlt 36646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-lat 17648  df-clat 17710  df-oposet 36472  df-ol 36474  df-oml 36475  df-covers 36562  df-ats 36563  df-atl 36594  df-cvlat 36618  df-hlat 36647  df-psubsp 36799  df-pmap 36800  df-padd 37092

This theorem is referenced by:  dalawlem8  37174