Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latnlej Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latnlej 17737
 Description: An idiom to express that a lattice element differs from two others. (Contributed by NM, 28-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
latlej.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l = (le‘𝐾)
latlej.j = (join‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latnlej ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ ¬ 𝑋 (𝑌 𝑍)) → (𝑋𝑌𝑋𝑍))

Proof of Theorem latnlej
StepHypRef Expression
1 latlej.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 latlej.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
3 latlej.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
41, 2, 3latlej1 17729 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵𝑍𝐵) → 𝑌 (𝑌 𝑍))
543adant3r1 1180 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑌 (𝑌 𝑍))
6 breq1 5036 . . . . 5 (𝑋 = 𝑌 → (𝑋 (𝑌 𝑍) ↔ 𝑌 (𝑌 𝑍)))
75, 6syl5ibrcom 250 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 = 𝑌𝑋 (𝑌 𝑍)))
87necon3bd 2966 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (¬ 𝑋 (𝑌 𝑍) → 𝑋𝑌))
91, 2, 3latlej2 17730 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵𝑍𝐵) → 𝑍 (𝑌 𝑍))
1093adant3r1 1180 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑍 (𝑌 𝑍))
11 breq1 5036 . . . . 5 (𝑋 = 𝑍 → (𝑋 (𝑌 𝑍) ↔ 𝑍 (𝑌 𝑍)))
1210, 11syl5ibrcom 250 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 = 𝑍𝑋 (𝑌 𝑍)))
1312necon3bd 2966 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (¬ 𝑋 (𝑌 𝑍) → 𝑋𝑍))
148, 13jcad 517 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (¬ 𝑋 (𝑌 𝑍) → (𝑋𝑌𝑋𝑍)))
15143impia 1115 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ ¬ 𝑋 (𝑌 𝑍)) → (𝑋𝑌𝑋𝑍))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2952   class class class wbr 5033  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  Basecbs 16534  lecple 16623  joincjn 17613  Latclat 17714 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-op 4530  df-uni 4800  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5431  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-lub 17643  df-join 17645  df-lat 17715 This theorem is referenced by:  latnlej1l  17738  latnlej1r  17739
 Copyright terms: Public domain W3C validator