Theorem latnlej1l 18420

Description: An idiom to express that a lattice element differs from two others. (Contributed by NM, 19-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
latlej.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latnlej1l	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑋 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)) → 𝑋 ≠ 𝑌)

Proof of Theorem latnlej1l

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latlej.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latlej.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latlej.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4	1, 2, 3	latnlej 18419	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑋 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)) → (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍))
5	4	simpld 494	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑋 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)) → 𝑋 ≠ 𝑌)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  ‘cfv 6496  (class class class)co 7364  Basecbs 17176  lecple 17224  joincjn 18274  Latclat 18394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5306  ax-pr 5374  ax-un 7686

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5523  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-res 5640  df-ima 5641  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7321  df-ov 7367  df-oprab 7368  df-lub 18307  df-join 18309  df-lat 18395

This theorem is referenced by:  atnlej1  39847  3atlem4  39954  3atlem6  39956  dalemcnes  40118  lhpexle3lem  40479  cdlemd4  40669  cdlemd7  40672  cdleme0e  40685  cdleme3e  40700  cdleme9  40721  cdleme17c  40756