MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latjlej12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latjlej12 18475
Description: Add join to both sides of a lattice ordering. (chlej12i 31405 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latlej.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l = (le‘𝐾)
latlej.j = (join‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latjlej12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → ((𝑋 𝑌𝑍 𝑊) → (𝑋 𝑍) (𝑌 𝑊)))

Proof of Theorem latjlej12
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
2 simp2l 1196 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → 𝑋𝐵)
3 simp2r 1197 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → 𝑌𝐵)
4 simp3l 1198 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → 𝑍𝐵)
5 latlej.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 latlej.l . . . 4 = (le‘𝐾)
7 latlej.j . . . 4 = (join‘𝐾)
85, 6, 7latjlej1 18473 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑌 → (𝑋 𝑍) (𝑌 𝑍)))
91, 2, 3, 4, 8syl13anc 1369 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → (𝑋 𝑌 → (𝑋 𝑍) (𝑌 𝑍)))
10 simp3r 1199 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → 𝑊𝐵)
115, 6, 7latjlej2 18474 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑌𝐵)) → (𝑍 𝑊 → (𝑌 𝑍) (𝑌 𝑊)))
121, 4, 10, 3, 11syl13anc 1369 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → (𝑍 𝑊 → (𝑌 𝑍) (𝑌 𝑊)))
135, 7latjcl 18459 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑍𝐵) → (𝑋 𝑍) ∈ 𝐵)
141, 2, 4, 13syl3anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → (𝑋 𝑍) ∈ 𝐵)
155, 7latjcl 18459 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵𝑍𝐵) → (𝑌 𝑍) ∈ 𝐵)
161, 3, 4, 15syl3anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → (𝑌 𝑍) ∈ 𝐵)
175, 7latjcl 18459 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵𝑊𝐵) → (𝑌 𝑊) ∈ 𝐵)
181, 3, 10, 17syl3anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → (𝑌 𝑊) ∈ 𝐵)
195, 6lattr 18464 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 𝑊) ∈ 𝐵)) → (((𝑋 𝑍) (𝑌 𝑍) ∧ (𝑌 𝑍) (𝑌 𝑊)) → (𝑋 𝑍) (𝑌 𝑊)))
201, 14, 16, 18, 19syl13anc 1369 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → (((𝑋 𝑍) (𝑌 𝑍) ∧ (𝑌 𝑍) (𝑌 𝑊)) → (𝑋 𝑍) (𝑌 𝑊)))
219, 12, 20syl2and 606 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → ((𝑋 𝑌𝑍 𝑊) → (𝑋 𝑍) (𝑌 𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099   class class class wbr 5145  cfv 6546  (class class class)co 7416  Basecbs 17208  lecple 17268  joincjn 18331  Latclat 18451
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-id 5572  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-poset 18333  df-lub 18366  df-glb 18367  df-join 18368  df-meet 18369  df-lat 18452
This theorem is referenced by:  latledi  18497  dalem-cly  39383  dalem38  39422  dalem44  39428  cdlema1N  39503  pmapjoin  39564  4atexlemc  39781  cdlemg33a  40418
  Copyright terms: Public domain W3C validator