MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latjlej12 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem latjlej12 18420
Description: Add join to both sides of a lattice ordering. (chlej12i 31237 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latlej.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
latlej.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
latlej.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
latjlej12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ 𝑍 ≀ π‘Š) β†’ (𝑋 ∨ 𝑍) ≀ (π‘Œ ∨ π‘Š)))
Proof of Theorem latjlej12
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
2 simp2l 1196 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3 simp2r 1197 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
4 simp3l 1198 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
5 latlej.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
6 latlej.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
7 latlej.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
85, 6, 7latjlej1 18418 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ β†’ (𝑋 ∨ 𝑍) ≀ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
91, 2, 3, 4, 8syl13anc 1369 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ β†’ (𝑋 ∨ 𝑍) ≀ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
10 simp3r 1199 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
115, 6, 7latjlej2 18419 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑍 ≀ π‘Š β†’ (π‘Œ ∨ 𝑍) ≀ (π‘Œ ∨ π‘Š)))
121, 4, 10, 3, 11syl13anc 1369 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ (𝑍 ≀ π‘Š β†’ (π‘Œ ∨ 𝑍) ≀ (π‘Œ ∨ π‘Š)))
135, 7latjcl 18404 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ 𝑍) ∈ 𝐡)
141, 2, 4, 13syl3anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∨ 𝑍) ∈ 𝐡)
155, 7latjcl 18404 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∨ 𝑍) ∈ 𝐡)
161, 3, 4, 15syl3anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Œ ∨ 𝑍) ∈ 𝐡)
175, 7latjcl 18404 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∨ π‘Š) ∈ 𝐡)
181, 3, 10, 17syl3anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Œ ∨ π‘Š) ∈ 𝐡)
195, 6lattr 18409 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 ∨ 𝑍) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ ∨ 𝑍) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ ∨ π‘Š) ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 ∨ 𝑍) ≀ (π‘Œ ∨ 𝑍) ∧ (π‘Œ ∨ 𝑍) ≀ (π‘Œ ∨ π‘Š)) β†’ (𝑋 ∨ 𝑍) ≀ (π‘Œ ∨ π‘Š)))
201, 14, 16, 18, 19syl13anc 1369 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 ∨ 𝑍) ≀ (π‘Œ ∨ 𝑍) ∧ (π‘Œ ∨ 𝑍) ≀ (π‘Œ ∨ π‘Š)) β†’ (𝑋 ∨ 𝑍) ≀ (π‘Œ ∨ π‘Š)))
219, 12, 20syl2and 607 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ 𝑍 ≀ π‘Š) β†’ (𝑋 ∨ 𝑍) ≀ (π‘Œ ∨ π‘Š)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  lecple 17213  joincjn 18276  Latclat 18396
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-poset 18278  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-lat 18397
This theorem is referenced by:  latledi  18442  dalem-cly  39055  dalem38  39094  dalem44  39100  cdlema1N  39175  pmapjoin  39236  4atexlemc  39453  cdlemg33a  40090
  Copyright terms: Public domain W3C validator