MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latjlej12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latjlej12 17677
Description: Add join to both sides of a lattice ordering. (chlej12i 29265 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latlej.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l = (le‘𝐾)
latlej.j = (join‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latjlej12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → ((𝑋 𝑌𝑍 𝑊) → (𝑋 𝑍) (𝑌 𝑊)))

Proof of Theorem latjlej12
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
2 simp2l 1196 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → 𝑋𝐵)
3 simp2r 1197 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → 𝑌𝐵)
4 simp3l 1198 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → 𝑍𝐵)
5 latlej.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 latlej.l . . . 4 = (le‘𝐾)
7 latlej.j . . . 4 = (join‘𝐾)
85, 6, 7latjlej1 17675 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑌 → (𝑋 𝑍) (𝑌 𝑍)))
91, 2, 3, 4, 8syl13anc 1369 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → (𝑋 𝑌 → (𝑋 𝑍) (𝑌 𝑍)))
10 simp3r 1199 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → 𝑊𝐵)
115, 6, 7latjlej2 17676 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑌𝐵)) → (𝑍 𝑊 → (𝑌 𝑍) (𝑌 𝑊)))
121, 4, 10, 3, 11syl13anc 1369 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → (𝑍 𝑊 → (𝑌 𝑍) (𝑌 𝑊)))
135, 7latjcl 17661 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑍𝐵) → (𝑋 𝑍) ∈ 𝐵)
141, 2, 4, 13syl3anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → (𝑋 𝑍) ∈ 𝐵)
155, 7latjcl 17661 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵𝑍𝐵) → (𝑌 𝑍) ∈ 𝐵)
161, 3, 4, 15syl3anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → (𝑌 𝑍) ∈ 𝐵)
175, 7latjcl 17661 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵𝑊𝐵) → (𝑌 𝑊) ∈ 𝐵)
181, 3, 10, 17syl3anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → (𝑌 𝑊) ∈ 𝐵)
195, 6lattr 17666 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 𝑊) ∈ 𝐵)) → (((𝑋 𝑍) (𝑌 𝑍) ∧ (𝑌 𝑍) (𝑌 𝑊)) → (𝑋 𝑍) (𝑌 𝑊)))
201, 14, 16, 18, 19syl13anc 1369 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → (((𝑋 𝑍) (𝑌 𝑍) ∧ (𝑌 𝑍) (𝑌 𝑊)) → (𝑋 𝑍) (𝑌 𝑊)))
219, 12, 20syl2and 610 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → ((𝑋 𝑌𝑍 𝑊) → (𝑋 𝑍) (𝑌 𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115   class class class wbr 5052  cfv 6343  (class class class)co 7149  Basecbs 16483  lecple 16572  joincjn 17554  Latclat 17655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-poset 17556  df-lub 17584  df-glb 17585  df-join 17586  df-meet 17587  df-lat 17656
This theorem is referenced by:  latledi  17699  dalem-cly  36916  dalem38  36955  dalem44  36961  cdlema1N  37036  pmapjoin  37097  4atexlemc  37314  cdlemg33a  37951
  Copyright terms: Public domain W3C validator