MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latnlej1r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latnlej1r 17384
Description: An idiom to express that a lattice element differs from two others. (Contributed by NM, 19-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
latlej.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l = (le‘𝐾)
latlej.j = (join‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latnlej1r ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ ¬ 𝑋 (𝑌 𝑍)) → 𝑋𝑍)

Proof of Theorem latnlej1r
StepHypRef Expression
1 latlej.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 latlej.l . . 3 = (le‘𝐾)
3 latlej.j . . 3 = (join‘𝐾)
41, 2, 3latnlej 17382 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ ¬ 𝑋 (𝑌 𝑍)) → (𝑋𝑌𝑋𝑍))
54simprd 490 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ ¬ 𝑋 (𝑌 𝑍)) → 𝑋𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2972   class class class wbr 4844  cfv 6102  (class class class)co 6879  Basecbs 16183  lecple 16273  joincjn 17258  Latclat 17359
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-rep 4965  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-op 4376  df-uni 4630  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-id 5221  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-lub 17288  df-join 17290  df-lat 17360
This theorem is referenced by:  atnlej2  35400  3noncolr2  35469  4noncolr3  35473  3atlem5  35507  ps-2c  35548  lhpexle3lem  36031  cdleme0e  36237  cdleme11c  36281  cdleme11e  36283
  Copyright terms: Public domain W3C validator