Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplnneat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lplnneat 36834
Description: No lattice plane is an atom. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnneat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lplnneat.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lplnneat ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃) → ¬ 𝑋𝐴)

Proof of Theorem lplnneat
StepHypRef Expression
1 hllat 36652 . . 3 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2 eqid 2801 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3 lplnneat.p . . . 4 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
42, 3lplnbase 36823 . . 3 (𝑋𝑃𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5 eqid 2801 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
62, 5latref 17658 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
71, 4, 6syl2an 598 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
8 lplnneat.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
95, 8, 3lplnnleat 36831 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑋𝐴) → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
1093expia 1118 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃) → (𝑋𝐴 → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑋))
117, 10mt2d 138 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃) → ¬ 𝑋𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112   class class class wbr 5033  cfv 6328  Basecbs 16478  lecple 16567  Latclat 17650  Atomscatm 36552  HLchlt 36639  LPlanesclpl 36781
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-proset 17533  df-poset 17551  df-plt 17563  df-lub 17579  df-glb 17580  df-join 17581  df-meet 17582  df-p0 17644  df-lat 17651  df-clat 17713  df-oposet 36465  df-ol 36467  df-oml 36468  df-covers 36555  df-ats 36556  df-atl 36587  df-cvlat 36611  df-hlat 36640  df-llines 36787  df-lplanes 36788
This theorem is referenced by:  llncvrlpln  36847
  Copyright terms: Public domain W3C validator