Theorem lplnneat 39050

Description: No lattice plane is an atom. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lplnneat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lplnneat.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lplnneat	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lplnneat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 38867	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		lplnneat.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
4	2, 3	lplnbase 39039	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
6	2, 5	latref 18440	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
7	1, 4, 6	syl2an 594	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
8		lplnneat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9	5, 8, 3	lplnnleat 39047	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
10	9	3expia 1118	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → (𝑋 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑋))
11	7, 10	mt2d 136	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152  ‘cfv 6553  Basecbs 17187  lecple 17247  Latclat 18430  Atomscatm 38767  HLchlt 38854  LPlanesclpl 38997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-p0 18424  df-lat 18431  df-clat 18498  df-oposet 38680  df-ol 38682  df-oml 38683  df-covers 38770  df-ats 38771  df-atl 38802  df-cvlat 38826  df-hlat 38855  df-llines 39003  df-lplanes 39004

This theorem is referenced by:  llncvrlpln  39063