Theorem dihmeetbclemN 42005

Description: Lemma for isomorphism H of a lattice meet. (Contributed by NM, 30-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihmeetc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihmeetc.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dihmeetc.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dihmeetc.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihmeetc.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dihmeetbclemN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑊) → (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = (((𝐼‘𝑋) ∩ (𝐼‘𝑌)) ∩ (𝐼‘𝑊)))

Proof of Theorem dihmeetbclemN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1154	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑊) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑊)
2		simp1l 1214	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑊) → 𝐾 ∈ HL)
3	2	hllatd 40065	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑊) → 𝐾 ∈ Lat)
4		simp2l 1216	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑊) → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		simp2r 1217	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑊) → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		dihmeetc.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
7		dihmeetc.m	. . . . . . . . 9 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
8	6, 7	latmcl 18498	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
9	3, 4, 5, 8	syl3anc 1396	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑊) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
10		simp1r 1215	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑊) → 𝑊 ∈ 𝐻)
11		dihmeetc.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
12	6, 11	lhpbase 40699	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
13	10, 12	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑊) → 𝑊 ∈ 𝐵)
14		dihmeetc.l	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
15	6, 14, 7	latleeqm1 18525	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑊 ↔ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑊) = (𝑋 ∧ 𝑌)))
16	3, 9, 13, 15	syl3anc 1396	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑊) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑊 ↔ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑊) = (𝑋 ∧ 𝑌)))
17	1, 16	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑊) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑊) = (𝑋 ∧ 𝑌))
18		hlol 40062	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
19	2, 18	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑊) → 𝐾 ∈ OL)
20	6, 7	latmassOLD 39930	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑊) = (𝑋 ∧ (𝑌 ∧ 𝑊)))
21	19, 4, 5, 13, 20	syl13anc 1397	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑊) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑊) = (𝑋 ∧ (𝑌 ∧ 𝑊)))
22	17, 21	eqtr3d 2806	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑊) → (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑋 ∧ (𝑌 ∧ 𝑊)))
23	22	fveq2d 6888	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑊) → (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = (𝐼‘(𝑋 ∧ (𝑌 ∧ 𝑊))))
24		simp1 1152	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
25	6, 7	latmcl 18498	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
26	3, 5, 13, 25	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑊) → (𝑌 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
27	6, 14, 7	latmle2 18523	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∧ 𝑊) ≤ 𝑊)
28	3, 5, 13, 27	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑊) → (𝑌 ∧ 𝑊) ≤ 𝑊)
29		dihmeetc.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
30	6, 14, 7, 11, 29	dihmeetbN 42004	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑌 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∧ 𝑊) ≤ 𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 ∧ (𝑌 ∧ 𝑊))) = ((𝐼‘𝑋) ∩ (𝐼‘(𝑌 ∧ 𝑊))))
31	24, 4, 26, 28, 30	syl112anc 1399	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑊) → (𝐼‘(𝑋 ∧ (𝑌 ∧ 𝑊))) = ((𝐼‘𝑋) ∩ (𝐼‘(𝑌 ∧ 𝑊))))
32	6, 14	latref 18499	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → 𝑊 ≤ 𝑊)
33	3, 13, 32	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑊) → 𝑊 ≤ 𝑊)
34	6, 14, 7, 11, 29	dihmeetbN 42004	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘(𝑌 ∧ 𝑊)) = ((𝐼‘𝑌) ∩ (𝐼‘𝑊)))
35	24, 5, 13, 33, 34	syl112anc 1399	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑊) → (𝐼‘(𝑌 ∧ 𝑊)) = ((𝐼‘𝑌) ∩ (𝐼‘𝑊)))
36	35	ineq2d 4181	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑊) → ((𝐼‘𝑋) ∩ (𝐼‘(𝑌 ∧ 𝑊))) = ((𝐼‘𝑋) ∩ ((𝐼‘𝑌) ∩ (𝐼‘𝑊))))
37	23, 31, 36	3eqtrd 2808	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑊) → (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = ((𝐼‘𝑋) ∩ ((𝐼‘𝑌) ∩ (𝐼‘𝑊))))
38		inass 4188	. 2 ⊢ (((𝐼‘𝑋) ∩ (𝐼‘𝑌)) ∩ (𝐼‘𝑊)) = ((𝐼‘𝑋) ∩ ((𝐼‘𝑌) ∩ (𝐼‘𝑊)))
39	37, 38	eqtr4di 2822	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑊) → (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = (((𝐼‘𝑋) ∩ (𝐼‘𝑌)) ∩ (𝐼‘𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∩ cin 3912   class class class wbr 5113  ‘cfv 6539  (class class class)co 7413  Basecbs 17271  lecple 17319  meetcmee 18370  Latclat 18489  OLcol 39875  HLchlt 40051  LHypclh 40685  DIsoHcdih 41929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179  ax-riotaBAD 39654

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8224  df-undef 8271  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12236  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12865  df-fz 13538  df-struct 17209  df-sets 17226  df-slot 17244  df-ndx 17256  df-base 17272  df-ress 17293  df-plusg 17325  df-mulr 17326  df-sca 17328  df-vsca 17329  df-0g 17496  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18386  df-lub 18402  df-glb 18403  df-join 18404  df-meet 18405  df-p0 18481  df-p1 18482  df-lat 18490  df-clat 18557  df-mgm 18700  df-sgrp 18779  df-mnd 18795  df-submnd 18844  df-grp 19005  df-minusg 19006  df-sbg 19007  df-subg 19191  df-cntz 19389  df-lsm 19708  df-cmn 19854  df-abl 19855  df-mgp 20219  df-rng 20233  df-ur 20266  df-ring 20319  df-oppr 20421  df-dvdsr 20441  df-unit 20442  df-invr 20472  df-dvr 20485  df-drng 20817  df-lmod 20963  df-lss 21033  df-lsp 21073  df-lvec 21204  df-oposet 39877  df-ol 39879  df-oml 39880  df-covers 39967  df-ats 39968  df-atl 39999  df-cvlat 40023  df-hlat 40052  df-llines 40199  df-lplanes 40200  df-lvols 40201  df-lines 40202  df-psubsp 40204  df-pmap 40205  df-padd 40497  df-lhyp 40689  df-laut 40690  df-ldil 40805  df-ltrn 40806  df-trl 40860  df-tendo 41456  df-edring 41458  df-disoa 41730  df-dvech 41780  df-dib 41840  df-dic 41874  df-dih 41930

This theorem is referenced by: (None)