| Step | Hyp | Ref
| Expression |
|---|
| 1 | | simp3 1135 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β§ π) β€ π) β (π β§ π) β€ π) |
| 2 | | simp1l 1194 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β§ π) β€ π) β πΎ β HL) |
| 3 | 2 | hllatd 38724 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β§ π) β€ π) β πΎ β Lat) |
| 4 | | simp2l 1196 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β§ π) β€ π) β π β π΅) |
| 5 | | simp2r 1197 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β§ π) β€ π) β π β π΅) |
| 6 | | dihmeetc.b |
. . . . . . . . 9
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
| 7 | | dihmeetc.m |
. . . . . . . . 9
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
| 8 | 6, 7 | latmcl 18395 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β§ π) β π΅) |
| 9 | 3, 4, 5, 8 | syl3anc 1368 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β§ π) β€ π) β (π β§ π) β π΅) |
| 10 | | simp1r 1195 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β§ π) β€ π) β π β π») |
| 11 | | dihmeetc.h |
. . . . . . . . 9
β’ π» = (LHypβπΎ) |
| 12 | 6, 11 | lhpbase 39359 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π» β π β π΅) |
| 13 | 10, 12 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β§ π) β€ π) β π β π΅) |
| 14 | | dihmeetc.l |
. . . . . . . 8
β’ β€ =
(leβπΎ) |
| 15 | 6, 14, 7 | latleeqm1 18422 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β§ π) β π΅ β§ π β π΅) β ((π β§ π) β€ π β ((π β§ π) β§ π) = (π β§ π))) |
| 16 | 3, 9, 13, 15 | syl3anc 1368 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β§ π) β€ π) β ((π β§ π) β€ π β ((π β§ π) β§ π) = (π β§ π))) |
| 17 | 1, 16 | mpbid 231 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β§ π) β€ π) β ((π β§ π) β§ π) = (π β§ π)) |
| 18 | | hlol 38721 |
. . . . . . 7
β’ (πΎ β HL β πΎ β OL) |
| 19 | 2, 18 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β§ π) β€ π) β πΎ β OL) |
| 20 | 6, 7 | latmassOLD 38589 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β OL β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅)) β ((π β§ π) β§ π) = (π β§ (π β§ π))) |
| 21 | 19, 4, 5, 13, 20 | syl13anc 1369 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β§ π) β€ π) β ((π β§ π) β§ π) = (π β§ (π β§ π))) |
| 22 | 17, 21 | eqtr3d 2766 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β§ π) β€ π) β (π β§ π) = (π β§ (π β§ π))) |
| 23 | 22 | fveq2d 6885 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β§ π) β€ π) β (πΌβ(π β§ π)) = (πΌβ(π β§ (π β§ π)))) |
| 24 | | simp1 1133 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β§ π) β€ π) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
| 25 | 6, 7 | latmcl 18395 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β§ π) β π΅) |
| 26 | 3, 5, 13, 25 | syl3anc 1368 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β§ π) β€ π) β (π β§ π) β π΅) |
| 27 | 6, 14, 7 | latmle2 18420 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β§ π) β€ π) |
| 28 | 3, 5, 13, 27 | syl3anc 1368 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β§ π) β€ π) β (π β§ π) β€ π) |
| 29 | | dihmeetc.i |
. . . . 5
β’ πΌ = ((DIsoHβπΎ)βπ) |
| 30 | 6, 14, 7, 11, 29 | dihmeetbN 40664 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ ((π β§ π) β π΅ β§ (π β§ π) β€ π)) β (πΌβ(π β§ (π β§ π))) = ((πΌβπ) β© (πΌβ(π β§ π)))) |
| 31 | 24, 4, 26, 28, 30 | syl112anc 1371 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β§ π) β€ π) β (πΌβ(π β§ (π β§ π))) = ((πΌβπ) β© (πΌβ(π β§ π)))) |
| 32 | 6, 14 | latref 18396 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅) β π β€ π) |
| 33 | 3, 13, 32 | syl2anc 583 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β§ π) β€ π) β π β€ π) |
| 34 | 6, 14, 7, 11, 29 | dihmeetbN 40664 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ (π β π΅ β§ π β€ π)) β (πΌβ(π β§ π)) = ((πΌβπ) β© (πΌβπ))) |
| 35 | 24, 5, 13, 33, 34 | syl112anc 1371 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β§ π) β€ π) β (πΌβ(π β§ π)) = ((πΌβπ) β© (πΌβπ))) |
| 36 | 35 | ineq2d 4204 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β§ π) β€ π) β ((πΌβπ) β© (πΌβ(π β§ π))) = ((πΌβπ) β© ((πΌβπ) β© (πΌβπ)))) |
| 37 | 23, 31, 36 | 3eqtrd 2768 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β§ π) β€ π) β (πΌβ(π β§ π)) = ((πΌβπ) β© ((πΌβπ) β© (πΌβπ)))) |
| 38 | | inass 4211 |
. 2
β’ (((πΌβπ) β© (πΌβπ)) β© (πΌβπ)) = ((πΌβπ) β© ((πΌβπ) β© (πΌβπ))) |
| 39 | 37, 38 | eqtr4di 2782 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β§ π) β€ π) β (πΌβ(π β§ π)) = (((πΌβπ) β© (πΌβπ)) β© (πΌβπ))) |
