Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | 3at.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
2 | | 3at.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
3 | | 3at.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
4 | 1, 2, 3 | 3atlem7 37981 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π)) β ((π β¨ π) β¨ π
) = ((π β¨ π) β¨ π)) |
5 | 4 | 3expia 1122 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π)) β (((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π) β ((π β¨ π) β¨ π
) = ((π β¨ π) β¨ π))) |
6 | | hllat 37854 |
. . . . 5
β’ (πΎ β HL β πΎ β Lat) |
7 | | simpl 484 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β πΎ β Lat) |
8 | | simpr1 1195 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β π β π΄) |
9 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
10 | 9, 3 | atbase 37780 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
11 | 8, 10 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β π β (BaseβπΎ)) |
12 | | simpr2 1196 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β π β π΄) |
13 | 9, 3 | atbase 37780 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
14 | 12, 13 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β π β (BaseβπΎ)) |
15 | 9, 2 | latjcl 18335 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
16 | 7, 11, 14, 15 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
17 | | simpr3 1197 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β π
β π΄) |
18 | 9, 3 | atbase 37780 |
. . . . . . . . 9
β’ (π
β π΄ β π
β (BaseβπΎ)) |
19 | 17, 18 | syl 17 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β π
β (BaseβπΎ)) |
20 | 9, 2 | latjcl 18335 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π
β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β¨ π
) β (BaseβπΎ)) |
21 | 7, 16, 19, 20 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β ((π β¨ π) β¨ π
) β (BaseβπΎ)) |
22 | 9, 1 | latref 18337 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β Lat β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) |
23 | 21, 22 | syldan 592 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) |
24 | | breq2 5114 |
. . . . . 6
β’ (((π β¨ π) β¨ π
) = ((π β¨ π) β¨ π) β (((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π
) β ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π))) |
25 | 23, 24 | syl5ibcom 244 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β (((π β¨ π) β¨ π
) = ((π β¨ π) β¨ π) β ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π))) |
26 | 6, 25 | sylan 581 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β (((π β¨ π) β¨ π
) = ((π β¨ π) β¨ π) β ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π))) |
27 | 26 | 3adant3 1133 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (((π β¨ π) β¨ π
) = ((π β¨ π) β¨ π) β ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π))) |
28 | 27 | adantr 482 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π)) β (((π β¨ π) β¨ π
) = ((π β¨ π) β¨ π) β ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π))) |
29 | 5, 28 | impbid 211 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π)) β (((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π) β ((π β¨ π) β¨ π
) = ((π β¨ π) β¨ π))) |