Theorem cdlemk39u 40680

Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Line 31, p. 119. Trace-preserving property of the value of tau, represented by (𝑈‘𝐺). (Contributed by NM, 31-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemk5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk5.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemk5.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemk5.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemk5.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk5.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk5.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.z	⊢ 𝑍 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡𝐹))))
cdlemk5.y	⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑔)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))
cdlemk5.x	⊢ 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔)) → (𝑧‘𝑃) = 𝑌))
cdlemk5.u	⊢ 𝑈 = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ if(𝐹 = 𝑁, 𝑔, 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
cdlemk39u	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘(𝑈‘𝐺)) ≤ (𝑅‘𝐺))

Distinct variable groups:   ∧ ,𝑔   ∨ ,𝑔   𝐵,𝑔   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑇,𝑔   𝑔,𝑍   𝑔,𝑏,𝐺,𝑧   ∧ ,𝑏,𝑧   ≤ ,𝑏   𝑧,𝑔, ≤   ∨ ,𝑏,𝑧   𝐴,𝑏,𝑔,𝑧   𝐵,𝑏,𝑧   𝐹,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝐺   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝐾,𝑏,𝑔,𝑧   𝑁,𝑏,𝑔,𝑧   𝑃,𝑏,𝑧   𝑅,𝑏,𝑧   𝑇,𝑏,𝑧   𝑊,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝑌   𝐺,𝑏

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑧,𝑔,𝑏)   𝑋(𝑧,𝑔,𝑏)   𝑌(𝑔,𝑏)   𝑍(𝑧,𝑏)

Proof of Theorem cdlemk39u

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 483	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝐹 = 𝑁) → 𝐹 = 𝑁)
2		simpl2r 1224	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝐹 = 𝑁) → 𝐺 ∈ 𝑇)
3		cdlemk5.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔)) → (𝑧‘𝑃) = 𝑌))
4		cdlemk5.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ if(𝐹 = 𝑁, 𝑔, 𝑋))
5	3, 4	cdlemk40t 40630	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 = 𝑁 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑈‘𝐺) = 𝐺)
6	1, 2, 5	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝐹 = 𝑁) → (𝑈‘𝐺) = 𝐺)
7	6	fveq2d 6897	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝐹 = 𝑁) → (𝑅‘(𝑈‘𝐺)) = (𝑅‘𝐺))
8		simp11l 1281	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
9	8	hllatd 39075	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
10		simp11 1200	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11		simp2r 1197	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐺 ∈ 𝑇)
12		cdlemk5.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
13		cdlemk5.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
14		cdlemk5.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
15		cdlemk5.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
16	12, 13, 14, 15	trlcl 39876	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐺) ∈ 𝐵)
17	10, 11, 16	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘𝐺) ∈ 𝐵)
18		cdlemk5.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
19	12, 18	latref 18461	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅‘𝐺) ∈ 𝐵) → (𝑅‘𝐺) ≤ (𝑅‘𝐺))
20	9, 17, 19	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘𝐺) ≤ (𝑅‘𝐺))
21	20	adantr 479	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝐹 = 𝑁) → (𝑅‘𝐺) ≤ (𝑅‘𝐺))
22	7, 21	eqbrtrd 5167	. 2 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝐹 = 𝑁) → (𝑅‘(𝑈‘𝐺)) ≤ (𝑅‘𝐺))
23		simpl1 1188	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝐹 ≠ 𝑁) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇))
24		simpl2l 1223	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝐹 ≠ 𝑁) → (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))
25		simpr 483	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝐹 ≠ 𝑁) → 𝐹 ≠ 𝑁)
26		simpl2r 1224	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝐹 ≠ 𝑁) → 𝐺 ∈ 𝑇)
27		simpl3 1190	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝐹 ≠ 𝑁) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
28		cdlemk5.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
29		cdlemk5.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
30		cdlemk5.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
31		cdlemk5.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡𝐹))))
32		cdlemk5.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑔)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))
33	12, 18, 28, 29, 30, 13, 14, 15, 31, 32, 3, 4	cdlemk39u1 40679	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐹 ≠ 𝑁 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘(𝑈‘𝐺)) ≤ (𝑅‘𝐺))
34	23, 24, 25, 26, 27, 33	syl131anc 1380	. 2 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ 𝐹 ≠ 𝑁) → (𝑅‘(𝑈‘𝐺)) ≤ (𝑅‘𝐺))
35	22, 34	pm2.61dane 3019	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘(𝑈‘𝐺)) ≤ (𝑅‘𝐺))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930  ∀wral 3051  ifcif 4523   class class class wbr 5145   ↦ cmpt 5228   I cid 5571  ^◡ccnv 5673   ↾ cres 5676   ∘ ccom 5678  ‘cfv 6546  ℩crio 7371  (class class class)co 7416  Basecbs 17208  lecple 17268  joincjn 18331  meetcmee 18332  Latclat 18451  Atomscatm 38974  HLchlt 39061  LHypclh 39696  LTrncltrn 39813  trLctrl 39870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-riotaBAD 38664

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-iin 4996  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-id 5572  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-undef 8280  df-map 8849  df-proset 18315  df-poset 18333  df-plt 18350  df-lub 18366  df-glb 18367  df-join 18368  df-meet 18369  df-p0 18445  df-p1 18446  df-lat 18452  df-clat 18519  df-oposet 38887  df-ol 38889  df-oml 38890  df-covers 38977  df-ats 38978  df-atl 39009  df-cvlat 39033  df-hlat 39062  df-llines 39210  df-lplanes 39211  df-lvols 39212  df-lines 39213  df-psubsp 39215  df-pmap 39216  df-padd 39508  df-lhyp 39700  df-laut 39701  df-ldil 39816  df-ltrn 39817  df-trl 39871

This theorem is referenced by:  cdlemk56  40683