Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemk39u Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemk39u 38976
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Line 31, p. 119. Trace-preserving property of the value of tau, represented by (𝑈𝐺). (Contributed by NM, 31-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk5.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk5.l = (le‘𝐾)
cdlemk5.j = (join‘𝐾)
cdlemk5.m = (meet‘𝐾)
cdlemk5.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk5.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk5.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.z 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
cdlemk5.y 𝑌 = ((𝑃 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
cdlemk5.x 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌))
cdlemk5.u 𝑈 = (𝑔𝑇 ↦ if(𝐹 = 𝑁, 𝑔, 𝑋))
Assertion
Ref Expression
cdlemk39u ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅‘(𝑈𝐺)) (𝑅𝐺))
Distinct variable groups:   ,𝑔   ,𝑔   𝐵,𝑔   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑇,𝑔   𝑔,𝑍   𝑔,𝑏,𝐺,𝑧   ,𝑏,𝑧   ,𝑏   𝑧,𝑔,   ,𝑏,𝑧   𝐴,𝑏,𝑔,𝑧   𝐵,𝑏,𝑧   𝐹,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝐺   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝐾,𝑏,𝑔,𝑧   𝑁,𝑏,𝑔,𝑧   𝑃,𝑏,𝑧   𝑅,𝑏,𝑧   𝑇,𝑏,𝑧   𝑊,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝑌   𝐺,𝑏
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑧,𝑔,𝑏)   𝑋(𝑧,𝑔,𝑏)   𝑌(𝑔,𝑏)   𝑍(𝑧,𝑏)

Proof of Theorem cdlemk39u
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝐹 = 𝑁) → 𝐹 = 𝑁)
2 simpl2r 1226 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝐹 = 𝑁) → 𝐺𝑇)
3 cdlemk5.x . . . . . 6 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌))
4 cdlemk5.u . . . . . 6 𝑈 = (𝑔𝑇 ↦ if(𝐹 = 𝑁, 𝑔, 𝑋))
53, 4cdlemk40t 38926 . . . . 5 ((𝐹 = 𝑁𝐺𝑇) → (𝑈𝐺) = 𝐺)
61, 2, 5syl2anc 584 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝐹 = 𝑁) → (𝑈𝐺) = 𝐺)
76fveq2d 6773 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝐹 = 𝑁) → (𝑅‘(𝑈𝐺)) = (𝑅𝐺))
8 simp11l 1283 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
98hllatd 37372 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
10 simp11 1202 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
11 simp2r 1199 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐺𝑇)
12 cdlemk5.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
13 cdlemk5.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
14 cdlemk5.t . . . . . . 7 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
15 cdlemk5.r . . . . . . 7 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
1612, 13, 14, 15trlcl 38172 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → (𝑅𝐺) ∈ 𝐵)
1710, 11, 16syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅𝐺) ∈ 𝐵)
18 cdlemk5.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
1912, 18latref 18155 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅𝐺) ∈ 𝐵) → (𝑅𝐺) (𝑅𝐺))
209, 17, 19syl2anc 584 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅𝐺) (𝑅𝐺))
2120adantr 481 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝐹 = 𝑁) → (𝑅𝐺) (𝑅𝐺))
227, 21eqbrtrd 5101 . 2 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝐹 = 𝑁) → (𝑅‘(𝑈𝐺)) (𝑅𝐺))
23 simpl1 1190 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝐹𝑁) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇))
24 simpl2l 1225 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝐹𝑁) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))
25 simpr 485 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝐹𝑁) → 𝐹𝑁)
26 simpl2r 1226 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝐹𝑁) → 𝐺𝑇)
27 simpl3 1192 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝐹𝑁) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
28 cdlemk5.j . . . 4 = (join‘𝐾)
29 cdlemk5.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
30 cdlemk5.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
31 cdlemk5.z . . . 4 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
32 cdlemk5.y . . . 4 𝑌 = ((𝑃 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
3312, 18, 28, 29, 30, 13, 14, 15, 31, 32, 3, 4cdlemk39u1 38975 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹𝑁𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅‘(𝑈𝐺)) (𝑅𝐺))
3423, 24, 25, 26, 27, 33syl131anc 1382 . 2 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝐹𝑁) → (𝑅‘(𝑈𝐺)) (𝑅𝐺))
3522, 34pm2.61dane 3034 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅‘(𝑈𝐺)) (𝑅𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1542  wcel 2110  wne 2945  wral 3066  ifcif 4465   class class class wbr 5079  cmpt 5162   I cid 5488  ccnv 5588  cres 5591  ccom 5593  cfv 6431  crio 7225  (class class class)co 7269  Basecbs 16908  lecple 16965  joincjn 18025  meetcmee 18026  Latclat 18145  Atomscatm 37271  HLchlt 37358  LHypclh 37992  LTrncltrn 38109  trLctrl 38166
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-riotaBAD 36961
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-undef 8078  df-map 8598  df-proset 18009  df-poset 18027  df-plt 18044  df-lub 18060  df-glb 18061  df-join 18062  df-meet 18063  df-p0 18139  df-p1 18140  df-lat 18146  df-clat 18213  df-oposet 37184  df-ol 37186  df-oml 37187  df-covers 37274  df-ats 37275  df-atl 37306  df-cvlat 37330  df-hlat 37359  df-llines 37506  df-lplanes 37507  df-lvols 37508  df-lines 37509  df-psubsp 37511  df-pmap 37512  df-padd 37804  df-lhyp 37996  df-laut 37997  df-ldil 38112  df-ltrn 38113  df-trl 38167
This theorem is referenced by:  cdlemk56  38979
  Copyright terms: Public domain W3C validator