Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpr 486 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ πΉ = π) β πΉ = π) |
2 | | simpl2r 1228 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ πΉ = π) β πΊ β π) |
3 | | cdlemk5.x |
. . . . . 6
β’ π = (β©π§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπ)) β (π§βπ) = π)) |
4 | | cdlemk5.u |
. . . . . 6
β’ π = (π β π β¦ if(πΉ = π, π, π)) |
5 | 3, 4 | cdlemk40t 39431 |
. . . . 5
β’ ((πΉ = π β§ πΊ β π) β (πβπΊ) = πΊ) |
6 | 1, 2, 5 | syl2anc 585 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ πΉ = π) β (πβπΊ) = πΊ) |
7 | 6 | fveq2d 6850 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ πΉ = π) β (π
β(πβπΊ)) = (π
βπΊ)) |
8 | | simp11l 1285 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β πΎ β HL) |
9 | 8 | hllatd 37876 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β πΎ β Lat) |
10 | | simp11 1204 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
11 | | simp2r 1201 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β πΊ β π) |
12 | | cdlemk5.b |
. . . . . . 7
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
13 | | cdlemk5.h |
. . . . . . 7
β’ π» = (LHypβπΎ) |
14 | | cdlemk5.t |
. . . . . . 7
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
15 | | cdlemk5.r |
. . . . . . 7
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
16 | 12, 13, 14, 15 | trlcl 38677 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΊ β π) β (π
βπΊ) β π΅) |
17 | 10, 11, 16 | syl2anc 585 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π
βπΊ) β π΅) |
18 | | cdlemk5.l |
. . . . . 6
β’ β€ =
(leβπΎ) |
19 | 12, 18 | latref 18338 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ (π
βπΊ) β π΅) β (π
βπΊ) β€ (π
βπΊ)) |
20 | 9, 17, 19 | syl2anc 585 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π
βπΊ) β€ (π
βπΊ)) |
21 | 20 | adantr 482 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ πΉ = π) β (π
βπΊ) β€ (π
βπΊ)) |
22 | 7, 21 | eqbrtrd 5131 |
. 2
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ πΉ = π) β (π
β(πβπΊ)) β€ (π
βπΊ)) |
23 | | simpl1 1192 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ πΉ β π) β ((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π)) |
24 | | simpl2l 1227 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ πΉ β π) β (π
βπΉ) = (π
βπ)) |
25 | | simpr 486 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ πΉ β π) β πΉ β π) |
26 | | simpl2r 1228 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ πΉ β π) β πΊ β π) |
27 | | simpl3 1194 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ πΉ β π) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
28 | | cdlemk5.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
29 | | cdlemk5.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
30 | | cdlemk5.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
31 | | cdlemk5.z |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))) |
32 | | cdlemk5.y |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ (π
βπ)) β§ (π β¨ (π
β(π β β‘π)))) |
33 | 12, 18, 28, 29, 30, 13, 14, 15, 31, 32, 3, 4 | cdlemk39u1 39480 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π
β(πβπΊ)) β€ (π
βπΊ)) |
34 | 23, 24, 25, 26, 27, 33 | syl131anc 1384 |
. 2
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ πΉ β π) β (π
β(πβπΊ)) β€ (π
βπΊ)) |
35 | 22, 34 | pm2.61dane 3029 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π
β(πβπΊ)) β€ (π
βπΊ)) |