Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemk39u Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemk39u 38213
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Line 31, p. 119. Trace-preserving property of the value of tau, represented by (𝑈𝐺). (Contributed by NM, 31-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk5.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk5.l = (le‘𝐾)
cdlemk5.j = (join‘𝐾)
cdlemk5.m = (meet‘𝐾)
cdlemk5.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk5.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk5.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.z 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
cdlemk5.y 𝑌 = ((𝑃 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
cdlemk5.x 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌))
cdlemk5.u 𝑈 = (𝑔𝑇 ↦ if(𝐹 = 𝑁, 𝑔, 𝑋))
Assertion
Ref Expression
cdlemk39u ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅‘(𝑈𝐺)) (𝑅𝐺))
Distinct variable groups:   ,𝑔   ,𝑔   𝐵,𝑔   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑇,𝑔   𝑔,𝑍   𝑔,𝑏,𝐺,𝑧   ,𝑏,𝑧   ,𝑏   𝑧,𝑔,   ,𝑏,𝑧   𝐴,𝑏,𝑔,𝑧   𝐵,𝑏,𝑧   𝐹,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝐺   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝐾,𝑏,𝑔,𝑧   𝑁,𝑏,𝑔,𝑧   𝑃,𝑏,𝑧   𝑅,𝑏,𝑧   𝑇,𝑏,𝑧   𝑊,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝑌   𝐺,𝑏
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑧,𝑔,𝑏)   𝑋(𝑧,𝑔,𝑏)   𝑌(𝑔,𝑏)   𝑍(𝑧,𝑏)

Proof of Theorem cdlemk39u
StepHypRef Expression
1 simpr 488 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝐹 = 𝑁) → 𝐹 = 𝑁)
2 simpl2r 1224 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝐹 = 𝑁) → 𝐺𝑇)
3 cdlemk5.x . . . . . 6 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌))
4 cdlemk5.u . . . . . 6 𝑈 = (𝑔𝑇 ↦ if(𝐹 = 𝑁, 𝑔, 𝑋))
53, 4cdlemk40t 38163 . . . . 5 ((𝐹 = 𝑁𝐺𝑇) → (𝑈𝐺) = 𝐺)
61, 2, 5syl2anc 587 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝐹 = 𝑁) → (𝑈𝐺) = 𝐺)
76fveq2d 6665 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝐹 = 𝑁) → (𝑅‘(𝑈𝐺)) = (𝑅𝐺))
8 simp11l 1281 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
98hllatd 36609 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
10 simp11 1200 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
11 simp2r 1197 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐺𝑇)
12 cdlemk5.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
13 cdlemk5.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
14 cdlemk5.t . . . . . . 7 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
15 cdlemk5.r . . . . . . 7 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
1612, 13, 14, 15trlcl 37409 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → (𝑅𝐺) ∈ 𝐵)
1710, 11, 16syl2anc 587 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅𝐺) ∈ 𝐵)
18 cdlemk5.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
1912, 18latref 17663 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅𝐺) ∈ 𝐵) → (𝑅𝐺) (𝑅𝐺))
209, 17, 19syl2anc 587 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅𝐺) (𝑅𝐺))
2120adantr 484 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝐹 = 𝑁) → (𝑅𝐺) (𝑅𝐺))
227, 21eqbrtrd 5074 . 2 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝐹 = 𝑁) → (𝑅‘(𝑈𝐺)) (𝑅𝐺))
23 simpl1 1188 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝐹𝑁) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇))
24 simpl2l 1223 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝐹𝑁) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))
25 simpr 488 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝐹𝑁) → 𝐹𝑁)
26 simpl2r 1224 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝐹𝑁) → 𝐺𝑇)
27 simpl3 1190 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝐹𝑁) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
28 cdlemk5.j . . . 4 = (join‘𝐾)
29 cdlemk5.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
30 cdlemk5.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
31 cdlemk5.z . . . 4 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
32 cdlemk5.y . . . 4 𝑌 = ((𝑃 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
3312, 18, 28, 29, 30, 13, 14, 15, 31, 32, 3, 4cdlemk39u1 38212 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐹𝑁𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅‘(𝑈𝐺)) (𝑅𝐺))
3423, 24, 25, 26, 27, 33syl131anc 1380 . 2 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝐹𝑁) → (𝑅‘(𝑈𝐺)) (𝑅𝐺))
3522, 34pm2.61dane 3101 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅‘(𝑈𝐺)) (𝑅𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  wral 3133  ifcif 4450   class class class wbr 5052  cmpt 5132   I cid 5446  ccnv 5541  cres 5544  ccom 5546  cfv 6343  crio 7106  (class class class)co 7149  Basecbs 16483  lecple 16572  joincjn 17554  meetcmee 17555  Latclat 17655  Atomscatm 36508  HLchlt 36595  LHypclh 37229  LTrncltrn 37346  trLctrl 37403
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-riotaBAD 36198
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-undef 7935  df-map 8404  df-proset 17538  df-poset 17556  df-plt 17568  df-lub 17584  df-glb 17585  df-join 17586  df-meet 17587  df-p0 17649  df-p1 17650  df-lat 17656  df-clat 17718  df-oposet 36421  df-ol 36423  df-oml 36424  df-covers 36511  df-ats 36512  df-atl 36543  df-cvlat 36567  df-hlat 36596  df-llines 36743  df-lplanes 36744  df-lvols 36745  df-lines 36746  df-psubsp 36748  df-pmap 36749  df-padd 37041  df-lhyp 37233  df-laut 37234  df-ldil 37349  df-ltrn 37350  df-trl 37404
This theorem is referenced by:  cdlemk56  38216
  Copyright terms: Public domain W3C validator