Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpocnle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpocnle 39999
Description: The orthocomplement of a co-atom is not under it. (Contributed by NM, 22-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpocnle.l = (le‘𝐾)
lhpocnle.o = (oc‘𝐾)
lhpocnle.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhpocnle ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ¬ ( 𝑊) 𝑊)

Proof of Theorem lhpocnle
StepHypRef Expression
1 hlatl 39342 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
21adantr 480 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐾 ∈ AtLat)
3 simpr 484 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑊𝐻)
4 eqid 2735 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5 lhpocnle.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
64, 5lhpbase 39981 . . . . . 6 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
7 lhpocnle.o . . . . . . 7 = (oc‘𝐾)
8 eqid 2735 . . . . . . 7 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
94, 7, 8, 5lhpoc 39997 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑊𝐻 ↔ ( 𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾)))
106, 9sylan2 593 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑊𝐻 ↔ ( 𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾)))
113, 10mpbid 232 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( 𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾))
12 eqid 2735 . . . . 5 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
1312, 8atn0 39290 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ ( 𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾)) → ( 𝑊) ≠ (0.‘𝐾))
142, 11, 13syl2anc 584 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( 𝑊) ≠ (0.‘𝐾))
1514neneqd 2943 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ¬ ( 𝑊) = (0.‘𝐾))
16 simpr 484 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑊) 𝑊) → ( 𝑊) 𝑊)
17 hllat 39345 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
1817ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑊) 𝑊) → 𝐾 ∈ Lat)
19 hlop 39344 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
2019ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑊) 𝑊) → 𝐾 ∈ OP)
216ad2antlr 727 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑊) 𝑊) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
224, 7opoccl 39176 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ( 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
2320, 21, 22syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑊) 𝑊) → ( 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
24 lhpocnle.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
254, 24latref 18499 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → ( 𝑊) ( 𝑊))
2618, 23, 25syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑊) 𝑊) → ( 𝑊) ( 𝑊))
27 eqid 2735 . . . . . . 7 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
284, 24, 27latlem12 18524 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (( 𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ( 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))) → ((( 𝑊) 𝑊 ∧ ( 𝑊) ( 𝑊)) ↔ ( 𝑊) (𝑊(meet‘𝐾)( 𝑊))))
2918, 23, 21, 23, 28syl13anc 1371 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑊) 𝑊) → ((( 𝑊) 𝑊 ∧ ( 𝑊) ( 𝑊)) ↔ ( 𝑊) (𝑊(meet‘𝐾)( 𝑊))))
3016, 26, 29mpbi2and 712 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑊) 𝑊) → ( 𝑊) (𝑊(meet‘𝐾)( 𝑊)))
314, 7, 27, 12opnoncon 39190 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑊(meet‘𝐾)( 𝑊)) = (0.‘𝐾))
3220, 21, 31syl2anc 584 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑊) 𝑊) → (𝑊(meet‘𝐾)( 𝑊)) = (0.‘𝐾))
3330, 32breqtrd 5174 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑊) 𝑊) → ( 𝑊) (0.‘𝐾))
344, 24, 12ople0 39169 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ ( 𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → (( 𝑊) (0.‘𝐾) ↔ ( 𝑊) = (0.‘𝐾)))
3520, 23, 34syl2anc 584 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑊) 𝑊) → (( 𝑊) (0.‘𝐾) ↔ ( 𝑊) = (0.‘𝐾)))
3633, 35mpbid 232 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑊) 𝑊) → ( 𝑊) = (0.‘𝐾))
3715, 36mtand 816 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ¬ ( 𝑊) 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  lecple 17305  occoc 17306  meetcmee 18370  0.cp0 18481  Latclat 18489  OPcops 39154  Atomscatm 39245  AtLatcal 39246  HLchlt 39332  LHypclh 39967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-lhyp 39971
This theorem is referenced by:  lhpocnel  40001
  Copyright terms: Public domain W3C validator