Theorem lhpocnle 40484

Description: The orthocomplement of a co-atom is not under it. (Contributed by NM, 22-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpocnle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhpocnle.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
lhpocnle.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpocnle	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ¬ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊)

Proof of Theorem lhpocnle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlatl 39828	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐾 ∈ AtLat)
3		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ 𝐻)
4		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5		lhpocnle.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6	4, 5	lhpbase 40466	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
7		lhpocnle.o	. . . . . . 7 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
8		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
9	4, 7, 8, 5	lhpoc 40482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑊 ∈ 𝐻 ↔ ( ⊥ ‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾)))
10	6, 9	sylan2 594	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑊 ∈ 𝐻 ↔ ( ⊥ ‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾)))
11	3, 10	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾))
12		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
13	12, 8	atn0 39776	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾)) → ( ⊥ ‘𝑊) ≠ (0.‘𝐾))
14	2, 11, 13	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘𝑊) ≠ (0.‘𝐾))
15	14	neneqd 2938	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ¬ ( ⊥ ‘𝑊) = (0.‘𝐾))
16		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊) → ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊)
17		hllat 39831	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
18	17	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊) → 𝐾 ∈ Lat)
19		hlop 39830	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
20	19	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊) → 𝐾 ∈ OP)
21	6	ad2antlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
22	4, 7	opoccl 39662	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ( ⊥ ‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
23	20, 21, 22	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊) → ( ⊥ ‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
24		lhpocnle.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
25	4, 24	latref 18404	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → ( ⊥ ‘𝑊) ≤ ( ⊥ ‘𝑊))
26	18, 23, 25	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊) → ( ⊥ ‘𝑊) ≤ ( ⊥ ‘𝑊))
27		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
28	4, 24, 27	latlem12 18429	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (( ⊥ ‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾))) → ((( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊 ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ ( ⊥ ‘𝑊)) ↔ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ (𝑊(meet‘𝐾)( ⊥ ‘𝑊))))
29	18, 23, 21, 23, 28	syl13anc 1375	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊) → ((( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊 ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ ( ⊥ ‘𝑊)) ↔ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ (𝑊(meet‘𝐾)( ⊥ ‘𝑊))))
30	16, 26, 29	mpbi2and 713	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊) → ( ⊥ ‘𝑊) ≤ (𝑊(meet‘𝐾)( ⊥ ‘𝑊)))
31	4, 7, 27, 12	opnoncon 39676	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑊(meet‘𝐾)( ⊥ ‘𝑊)) = (0.‘𝐾))
32	20, 21, 31	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊) → (𝑊(meet‘𝐾)( ⊥ ‘𝑊)) = (0.‘𝐾))
33	30, 32	breqtrd 5112	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊) → ( ⊥ ‘𝑊) ≤ (0.‘𝐾))
34	4, 24, 12	ople0 39655	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → (( ⊥ ‘𝑊) ≤ (0.‘𝐾) ↔ ( ⊥ ‘𝑊) = (0.‘𝐾)))
35	20, 23, 34	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊) → (( ⊥ ‘𝑊) ≤ (0.‘𝐾) ↔ ( ⊥ ‘𝑊) = (0.‘𝐾)))
36	33, 35	mpbid 232	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊) → ( ⊥ ‘𝑊) = (0.‘𝐾))
37	15, 36	mtand 816	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ¬ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  ‘cfv 6496  (class class class)co 7364  Basecbs 17176  lecple 17224  occoc 17225  meetcmee 18275  0.cp0 18384  Latclat 18394  OPcops 39640  Atomscatm 39731  AtLatcal 39732  HLchlt 39818  LHypclh 40452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5306  ax-pr 5374  ax-un 7686

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5523  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-res 5640  df-ima 5641  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7321  df-ov 7367  df-oprab 7368  df-proset 18257  df-poset 18276  df-plt 18291  df-lub 18307  df-glb 18308  df-meet 18310  df-p0 18386  df-p1 18387  df-lat 18395  df-oposet 39644  df-ol 39646  df-oml 39647  df-covers 39734  df-ats 39735  df-atl 39766  df-cvlat 39790  df-hlat 39819  df-lhyp 40456

This theorem is referenced by:  lhpocnel  40486