Theorem lhpocnle 37312

Description: The orthocomplement of a co-atom is not under it. (Contributed by NM, 22-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpocnle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhpocnle.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
lhpocnle.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpocnle	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ¬ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊)

Proof of Theorem lhpocnle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlatl 36656	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
2	1	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐾 ∈ AtLat)
3		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ 𝐻)
4		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5		lhpocnle.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6	4, 5	lhpbase 37294	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
7		lhpocnle.o	. . . . . . 7 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
8		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
9	4, 7, 8, 5	lhpoc 37310	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑊 ∈ 𝐻 ↔ ( ⊥ ‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾)))
10	6, 9	sylan2 595	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑊 ∈ 𝐻 ↔ ( ⊥ ‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾)))
11	3, 10	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾))
12		eqid 2798	. . . . 5 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
13	12, 8	atn0 36604	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾)) → ( ⊥ ‘𝑊) ≠ (0.‘𝐾))
14	2, 11, 13	syl2anc 587	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘𝑊) ≠ (0.‘𝐾))
15	14	neneqd 2992	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ¬ ( ⊥ ‘𝑊) = (0.‘𝐾))
16		simpr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊) → ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊)
17		hllat 36659	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
18	17	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊) → 𝐾 ∈ Lat)
19		hlop 36658	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
20	19	ad2antrr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊) → 𝐾 ∈ OP)
21	6	ad2antlr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
22	4, 7	opoccl 36490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ( ⊥ ‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
23	20, 21, 22	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊) → ( ⊥ ‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
24		lhpocnle.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
25	4, 24	latref 17655	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → ( ⊥ ‘𝑊) ≤ ( ⊥ ‘𝑊))
26	18, 23, 25	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊) → ( ⊥ ‘𝑊) ≤ ( ⊥ ‘𝑊))
27		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
28	4, 24, 27	latlem12 17680	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (( ⊥ ‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾))) → ((( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊 ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ ( ⊥ ‘𝑊)) ↔ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ (𝑊(meet‘𝐾)( ⊥ ‘𝑊))))
29	18, 23, 21, 23, 28	syl13anc 1369	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊) → ((( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊 ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ ( ⊥ ‘𝑊)) ↔ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ (𝑊(meet‘𝐾)( ⊥ ‘𝑊))))
30	16, 26, 29	mpbi2and 711	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊) → ( ⊥ ‘𝑊) ≤ (𝑊(meet‘𝐾)( ⊥ ‘𝑊)))
31	4, 7, 27, 12	opnoncon 36504	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑊(meet‘𝐾)( ⊥ ‘𝑊)) = (0.‘𝐾))
32	20, 21, 31	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊) → (𝑊(meet‘𝐾)( ⊥ ‘𝑊)) = (0.‘𝐾))
33	30, 32	breqtrd 5056	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊) → ( ⊥ ‘𝑊) ≤ (0.‘𝐾))
34	4, 24, 12	ople0 36483	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → (( ⊥ ‘𝑊) ≤ (0.‘𝐾) ↔ ( ⊥ ‘𝑊) = (0.‘𝐾)))
35	20, 23, 34	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊) → (( ⊥ ‘𝑊) ≤ (0.‘𝐾) ↔ ( ⊥ ‘𝑊) = (0.‘𝐾)))
36	33, 35	mpbid 235	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊) → ( ⊥ ‘𝑊) = (0.‘𝐾))
37	15, 36	mtand 815	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ¬ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  lecple 16564  occoc 16565  meetcmee 17547  0.cp0 17639  Latclat 17647  OPcops 36468  Atomscatm 36559  AtLatcal 36560  HLchlt 36646  LHypclh 37280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-meet 17579  df-p0 17641  df-p1 17642  df-lat 17648  df-oposet 36472  df-ol 36474  df-oml 36475  df-covers 36562  df-ats 36563  df-atl 36594  df-cvlat 36618  df-hlat 36647  df-lhyp 37284

This theorem is referenced by:  lhpocnel  37314