Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpocnle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpocnle 37274
 Description: The orthocomplement of a co-atom is not under it. (Contributed by NM, 22-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpocnle.l = (le‘𝐾)
lhpocnle.o = (oc‘𝐾)
lhpocnle.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhpocnle ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ¬ ( 𝑊) 𝑊)

Proof of Theorem lhpocnle
StepHypRef Expression
1 hlatl 36618 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
21adantr 484 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐾 ∈ AtLat)
3 simpr 488 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑊𝐻)
4 eqid 2822 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5 lhpocnle.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
64, 5lhpbase 37256 . . . . . 6 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
7 lhpocnle.o . . . . . . 7 = (oc‘𝐾)
8 eqid 2822 . . . . . . 7 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
94, 7, 8, 5lhpoc 37272 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑊𝐻 ↔ ( 𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾)))
106, 9sylan2 595 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑊𝐻 ↔ ( 𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾)))
113, 10mpbid 235 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( 𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾))
12 eqid 2822 . . . . 5 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
1312, 8atn0 36566 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ ( 𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾)) → ( 𝑊) ≠ (0.‘𝐾))
142, 11, 13syl2anc 587 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( 𝑊) ≠ (0.‘𝐾))
1514neneqd 3016 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ¬ ( 𝑊) = (0.‘𝐾))
16 simpr 488 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑊) 𝑊) → ( 𝑊) 𝑊)
17 hllat 36621 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
1817ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑊) 𝑊) → 𝐾 ∈ Lat)
19 hlop 36620 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
2019ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑊) 𝑊) → 𝐾 ∈ OP)
216ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑊) 𝑊) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
224, 7opoccl 36452 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ( 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
2320, 21, 22syl2anc 587 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑊) 𝑊) → ( 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
24 lhpocnle.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
254, 24latref 17654 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → ( 𝑊) ( 𝑊))
2618, 23, 25syl2anc 587 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑊) 𝑊) → ( 𝑊) ( 𝑊))
27 eqid 2822 . . . . . . 7 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
284, 24, 27latlem12 17679 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (( 𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ( 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))) → ((( 𝑊) 𝑊 ∧ ( 𝑊) ( 𝑊)) ↔ ( 𝑊) (𝑊(meet‘𝐾)( 𝑊))))
2918, 23, 21, 23, 28syl13anc 1369 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑊) 𝑊) → ((( 𝑊) 𝑊 ∧ ( 𝑊) ( 𝑊)) ↔ ( 𝑊) (𝑊(meet‘𝐾)( 𝑊))))
3016, 26, 29mpbi2and 711 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑊) 𝑊) → ( 𝑊) (𝑊(meet‘𝐾)( 𝑊)))
314, 7, 27, 12opnoncon 36466 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑊(meet‘𝐾)( 𝑊)) = (0.‘𝐾))
3220, 21, 31syl2anc 587 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑊) 𝑊) → (𝑊(meet‘𝐾)( 𝑊)) = (0.‘𝐾))
3330, 32breqtrd 5068 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑊) 𝑊) → ( 𝑊) (0.‘𝐾))
344, 24, 12ople0 36445 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ ( 𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → (( 𝑊) (0.‘𝐾) ↔ ( 𝑊) = (0.‘𝐾)))
3520, 23, 34syl2anc 587 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑊) 𝑊) → (( 𝑊) (0.‘𝐾) ↔ ( 𝑊) = (0.‘𝐾)))
3633, 35mpbid 235 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑊) 𝑊) → ( 𝑊) = (0.‘𝐾))
3715, 36mtand 815 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ¬ ( 𝑊) 𝑊)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3011   class class class wbr 5042  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  Basecbs 16474  lecple 16563  occoc 16564  meetcmee 17546  0.cp0 17638  Latclat 17646  OPcops 36430  Atomscatm 36521  AtLatcal 36522  HLchlt 36608  LHypclh 37242 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-proset 17529  df-poset 17547  df-plt 17559  df-lub 17575  df-glb 17576  df-meet 17578  df-p0 17640  df-p1 17641  df-lat 17647  df-oposet 36434  df-ol 36436  df-oml 36437  df-covers 36524  df-ats 36525  df-atl 36556  df-cvlat 36580  df-hlat 36609  df-lhyp 37246 This theorem is referenced by:  lhpocnel  37276
 Copyright terms: Public domain W3C validator