Theorem lhpocnle 40018

Description: The orthocomplement of a co-atom is not under it. (Contributed by NM, 22-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpocnle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhpocnle.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
lhpocnle.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpocnle	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ¬ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊)

Proof of Theorem lhpocnle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlatl 39361	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐾 ∈ AtLat)
3		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ 𝐻)
4		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5		lhpocnle.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6	4, 5	lhpbase 40000	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
7		lhpocnle.o	. . . . . . 7 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
8		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
9	4, 7, 8, 5	lhpoc 40016	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑊 ∈ 𝐻 ↔ ( ⊥ ‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾)))
10	6, 9	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑊 ∈ 𝐻 ↔ ( ⊥ ‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾)))
11	3, 10	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾))
12		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
13	12, 8	atn0 39309	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾)) → ( ⊥ ‘𝑊) ≠ (0.‘𝐾))
14	2, 11, 13	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘𝑊) ≠ (0.‘𝐾))
15	14	neneqd 2945	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ¬ ( ⊥ ‘𝑊) = (0.‘𝐾))
16		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊) → ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊)
17		hllat 39364	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
18	17	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊) → 𝐾 ∈ Lat)
19		hlop 39363	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
20	19	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊) → 𝐾 ∈ OP)
21	6	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
22	4, 7	opoccl 39195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ( ⊥ ‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
23	20, 21, 22	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊) → ( ⊥ ‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
24		lhpocnle.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
25	4, 24	latref 18486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → ( ⊥ ‘𝑊) ≤ ( ⊥ ‘𝑊))
26	18, 23, 25	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊) → ( ⊥ ‘𝑊) ≤ ( ⊥ ‘𝑊))
27		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
28	4, 24, 27	latlem12 18511	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (( ⊥ ‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾))) → ((( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊 ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ ( ⊥ ‘𝑊)) ↔ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ (𝑊(meet‘𝐾)( ⊥ ‘𝑊))))
29	18, 23, 21, 23, 28	syl13anc 1374	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊) → ((( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊 ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ ( ⊥ ‘𝑊)) ↔ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ (𝑊(meet‘𝐾)( ⊥ ‘𝑊))))
30	16, 26, 29	mpbi2and 712	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊) → ( ⊥ ‘𝑊) ≤ (𝑊(meet‘𝐾)( ⊥ ‘𝑊)))
31	4, 7, 27, 12	opnoncon 39209	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑊(meet‘𝐾)( ⊥ ‘𝑊)) = (0.‘𝐾))
32	20, 21, 31	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊) → (𝑊(meet‘𝐾)( ⊥ ‘𝑊)) = (0.‘𝐾))
33	30, 32	breqtrd 5169	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊) → ( ⊥ ‘𝑊) ≤ (0.‘𝐾))
34	4, 24, 12	ople0 39188	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → (( ⊥ ‘𝑊) ≤ (0.‘𝐾) ↔ ( ⊥ ‘𝑊) = (0.‘𝐾)))
35	20, 23, 34	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊) → (( ⊥ ‘𝑊) ≤ (0.‘𝐾) ↔ ( ⊥ ‘𝑊) = (0.‘𝐾)))
36	33, 35	mpbid 232	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊) → ( ⊥ ‘𝑊) = (0.‘𝐾))
37	15, 36	mtand 816	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ¬ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  lecple 17304  occoc 17305  meetcmee 18358  0.cp0 18468  Latclat 18476  OPcops 39173  Atomscatm 39264  AtLatcal 39265  HLchlt 39351  LHypclh 39986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-lhyp 39990

This theorem is referenced by:  lhpocnel  40020