Theorem lhpocnle 40004

Description: The orthocomplement of a co-atom is not under it. (Contributed by NM, 22-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpocnle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhpocnle.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
lhpocnle.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpocnle	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ¬ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊)

Proof of Theorem lhpocnle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlatl 39347	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐾 ∈ AtLat)
3		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ 𝐻)
4		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5		lhpocnle.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6	4, 5	lhpbase 39986	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
7		lhpocnle.o	. . . . . . 7 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
8		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
9	4, 7, 8, 5	lhpoc 40002	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑊 ∈ 𝐻 ↔ ( ⊥ ‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾)))
10	6, 9	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑊 ∈ 𝐻 ↔ ( ⊥ ‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾)))
11	3, 10	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾))
12		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
13	12, 8	atn0 39295	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾)) → ( ⊥ ‘𝑊) ≠ (0.‘𝐾))
14	2, 11, 13	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘𝑊) ≠ (0.‘𝐾))
15	14	neneqd 2930	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ¬ ( ⊥ ‘𝑊) = (0.‘𝐾))
16		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊) → ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊)
17		hllat 39350	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
18	17	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊) → 𝐾 ∈ Lat)
19		hlop 39349	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
20	19	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊) → 𝐾 ∈ OP)
21	6	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
22	4, 7	opoccl 39181	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ( ⊥ ‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
23	20, 21, 22	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊) → ( ⊥ ‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
24		lhpocnle.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
25	4, 24	latref 18383	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → ( ⊥ ‘𝑊) ≤ ( ⊥ ‘𝑊))
26	18, 23, 25	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊) → ( ⊥ ‘𝑊) ≤ ( ⊥ ‘𝑊))
27		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
28	4, 24, 27	latlem12 18408	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (( ⊥ ‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾))) → ((( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊 ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ ( ⊥ ‘𝑊)) ↔ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ (𝑊(meet‘𝐾)( ⊥ ‘𝑊))))
29	18, 23, 21, 23, 28	syl13anc 1374	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊) → ((( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊 ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ ( ⊥ ‘𝑊)) ↔ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ (𝑊(meet‘𝐾)( ⊥ ‘𝑊))))
30	16, 26, 29	mpbi2and 712	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊) → ( ⊥ ‘𝑊) ≤ (𝑊(meet‘𝐾)( ⊥ ‘𝑊)))
31	4, 7, 27, 12	opnoncon 39195	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑊(meet‘𝐾)( ⊥ ‘𝑊)) = (0.‘𝐾))
32	20, 21, 31	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊) → (𝑊(meet‘𝐾)( ⊥ ‘𝑊)) = (0.‘𝐾))
33	30, 32	breqtrd 5128	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊) → ( ⊥ ‘𝑊) ≤ (0.‘𝐾))
34	4, 24, 12	ople0 39174	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → (( ⊥ ‘𝑊) ≤ (0.‘𝐾) ↔ ( ⊥ ‘𝑊) = (0.‘𝐾)))
35	20, 23, 34	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊) → (( ⊥ ‘𝑊) ≤ (0.‘𝐾) ↔ ( ⊥ ‘𝑊) = (0.‘𝐾)))
36	33, 35	mpbid 232	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊) → ( ⊥ ‘𝑊) = (0.‘𝐾))
37	15, 36	mtand 815	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ¬ ( ⊥ ‘𝑊) ≤ 𝑊)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17156  lecple 17204  occoc 17205  meetcmee 18254  0.cp0 18363  Latclat 18373  OPcops 39159  Atomscatm 39250  AtLatcal 39251  HLchlt 39337  LHypclh 39972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-proset 18236  df-poset 18255  df-plt 18270  df-lub 18286  df-glb 18287  df-meet 18289  df-p0 18365  df-p1 18366  df-lat 18374  df-oposet 39163  df-ol 39165  df-oml 39166  df-covers 39253  df-ats 39254  df-atl 39285  df-cvlat 39309  df-hlat 39338  df-lhyp 39976

This theorem is referenced by:  lhpocnel  40006