Theorem dia1N 42111

Description: The value of the partial isomorphism A at the fiducial co-atom is the set of all translations i.e. the entire vector space. (Contributed by NM, 26-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dia1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia1.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dia1.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dia1N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘𝑊) = 𝑇)

Proof of Theorem dia1N

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		dia1.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	2, 3	lhpbase 41056	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
5	4	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
6		hllat 40421	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
7		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8	2, 7	latref 18615	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑊(le‘𝐾)𝑊)
9	6, 4, 8	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊(le‘𝐾)𝑊)
10		dia1.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
11		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
12		dia1.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
13	2, 7, 3, 10, 11, 12	diaval 42090	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑊 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘𝑊) = {𝑓 ∈ 𝑇 ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑊})
14	1, 5, 9, 13	syl12anc 850	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘𝑊) = {𝑓 ∈ 𝑇 ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑊})
15	7, 3, 10, 11	trlle 41242	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑊)
16	15	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∀𝑓 ∈ 𝑇 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑊)
17		rabid2 3444	. . 3 ⊢ (𝑇 = {𝑓 ∈ 𝑇 ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑊} ↔ ∀𝑓 ∈ 𝑇 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑊)
18	16, 17	sylibr 237	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑇 = {𝑓 ∈ 𝑇 ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑊})
19	14, 18	eqtr4d 2798	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘𝑊) = 𝑇)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  {crab 3412   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  Basecbs 17387  lecple 17435  Latclat 18605  HLchlt 40408  LHypclh 41042  LTrncltrn 41159  trLctrl 41216  DIsoAcdia 42086

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-map 8849  df-proset 18468  df-poset 18487  df-plt 18502  df-lub 18518  df-glb 18519  df-join 18520  df-meet 18521  df-p0 18597  df-p1 18598  df-lat 18606  df-oposet 40234  df-ol 40236  df-oml 40237  df-covers 40324  df-ats 40325  df-atl 40356  df-cvlat 40380  df-hlat 40409  df-lhyp 41046  df-laut 41047  df-ldil 41162  df-ltrn 41163  df-trl 41217  df-disoa 42087

This theorem is used by:  dia1elN  42112