Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dia1N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dia1N 37663
Description: The value of the partial isomorphism A at the fiducial co-atom is the set of all translations i.e. the entire vector space. (Contributed by NM, 26-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dia1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia1.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dia1.i 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
dia1N ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐼𝑊) = 𝑇)

Proof of Theorem dia1N
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 eqid 2772 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3 dia1.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
42, 3lhpbase 36608 . . . 4 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
54adantl 474 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
6 hllat 35973 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
7 eqid 2772 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
82, 7latref 17533 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑊(le‘𝐾)𝑊)
96, 4, 8syl2an 586 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑊(le‘𝐾)𝑊)
10 dia1.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
11 eqid 2772 . . . 4 ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
12 dia1.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
132, 7, 3, 10, 11, 12diaval 37642 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑊 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼𝑊) = {𝑓𝑇 ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑊})
141, 5, 9, 13syl12anc 824 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐼𝑊) = {𝑓𝑇 ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑊})
157, 3, 10, 11trlle 36794 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑊)
1615ralrimiva 3126 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∀𝑓𝑇 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑊)
17 rabid2 3314 . . 3 (𝑇 = {𝑓𝑇 ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑊} ↔ ∀𝑓𝑇 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑊)
1816, 17sylibr 226 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑇 = {𝑓𝑇 ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑊})
1914, 18eqtr4d 2811 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐼𝑊) = 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  wral 3082  {crab 3086   class class class wbr 4925  cfv 6185  Basecbs 16337  lecple 16426  Latclat 17525  HLchlt 35960  LHypclh 36594  LTrncltrn 36711  trLctrl 36768  DIsoAcdia 37638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-id 5308  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-map 8206  df-proset 17408  df-poset 17426  df-plt 17438  df-lub 17454  df-glb 17455  df-join 17456  df-meet 17457  df-p0 17519  df-p1 17520  df-lat 17526  df-oposet 35786  df-ol 35788  df-oml 35789  df-covers 35876  df-ats 35877  df-atl 35908  df-cvlat 35932  df-hlat 35961  df-lhyp 36598  df-laut 36599  df-ldil 36714  df-ltrn 36715  df-trl 36769  df-disoa 37639
This theorem is referenced by:  dia1elN  37664
  Copyright terms: Public domain W3C validator