Theorem dia1N 42301

Description: The value of the partial isomorphism A at the fiducial co-atom is the set of all translations i.e. the entire vector space. (Contributed by NM, 26-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dia1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia1.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dia1.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dia1N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘𝑊) = 𝑇)

Proof of Theorem dia1N

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		dia1.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	2, 3	lhpbase 41246	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
5	4	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
6		hllat 40611	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
7		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8	2, 7	latref 18641	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑊(le‘𝐾)𝑊)
9	6, 4, 8	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊(le‘𝐾)𝑊)
10		dia1.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
11		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
12		dia1.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
13	2, 7, 3, 10, 11, 12	diaval 42280	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑊 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘𝑊) = {𝑓 ∈ 𝑇 ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑊})
14	1, 5, 9, 13	syl12anc 850	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘𝑊) = {𝑓 ∈ 𝑇 ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑊})
15	7, 3, 10, 11	trlle 41432	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑊)
16	15	ralrimiva 3158	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∀𝑓 ∈ 𝑇 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑊)
17		rabid2 3448	. . 3 ⊢ (𝑇 = {𝑓 ∈ 𝑇 ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑊} ↔ ∀𝑓 ∈ 𝑇 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑊)
18	16, 17	sylibr 237	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑇 = {𝑓 ∈ 𝑇 ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑊})
19	14, 18	eqtr4d 2801	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘𝑊) = 𝑇)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  {crab 3416   class class class wbr 5106  ‘cfv 6555  Basecbs 17413  lecple 17461  Latclat 18631  HLchlt 40598  LHypclh 41232  LTrncltrn 41349  trLctrl 41406  DIsoAcdia 42276

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-map 8874  df-proset 18494  df-poset 18513  df-plt 18528  df-lub 18544  df-glb 18545  df-join 18546  df-meet 18547  df-p0 18623  df-p1 18624  df-lat 18632  df-oposet 40424  df-ol 40426  df-oml 40427  df-covers 40514  df-ats 40515  df-atl 40546  df-cvlat 40570  df-hlat 40599  df-lhyp 41236  df-laut 41237  df-ldil 41352  df-ltrn 41353  df-trl 41407  df-disoa 42277

This theorem is used by:  dia1elN  42302