Theorem dia1N 41855

Description: The value of the partial isomorphism A at the fiducial co-atom is the set of all translations i.e. the entire vector space. (Contributed by NM, 26-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dia1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia1.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dia1.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dia1N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘𝑊) = 𝑇)

Proof of Theorem dia1N

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		dia1.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	2, 3	lhpbase 40800	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
5	4	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
6		hllat 40165	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
7		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8	2, 7	latref 18503	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑊(le‘𝐾)𝑊)
9	6, 4, 8	syl2an 607	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊(le‘𝐾)𝑊)
10		dia1.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
11		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
12		dia1.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
13	2, 7, 3, 10, 11, 12	diaval 41834	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑊 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘𝑊) = {𝑓 ∈ 𝑇 ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑊})
14	1, 5, 9, 13	syl12anc 849	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘𝑊) = {𝑓 ∈ 𝑇 ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑊})
15	7, 3, 10, 11	trlle 40986	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑊)
16	15	ralrimiva 3156	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∀𝑓 ∈ 𝑇 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑊)
17		rabid2 3448	. . 3 ⊢ (𝑇 = {𝑓 ∈ 𝑇 ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑊} ↔ ∀𝑓 ∈ 𝑇 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑊)
18	16, 17	sylibr 237	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑇 = {𝑓 ∈ 𝑇 ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑊})
19	14, 18	eqtr4d 2800	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘𝑊) = 𝑇)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078  {crab 3415   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  Basecbs 17275  lecple 17323  Latclat 18493  HLchlt 40152  LHypclh 40786  LTrncltrn 40903  trLctrl 40960  DIsoAcdia 41830

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-map 8824  df-proset 18356  df-poset 18375  df-plt 18390  df-lub 18406  df-glb 18407  df-join 18408  df-meet 18409  df-p0 18485  df-p1 18486  df-lat 18494  df-oposet 39978  df-ol 39980  df-oml 39981  df-covers 40068  df-ats 40069  df-atl 40100  df-cvlat 40124  df-hlat 40153  df-lhyp 40790  df-laut 40791  df-ldil 40906  df-ltrn 40907  df-trl 40961  df-disoa 41831

This theorem is used by:  dia1elN  41856