Theorem dia1N 41077

Description: The value of the partial isomorphism A at the fiducial co-atom is the set of all translations i.e. the entire vector space. (Contributed by NM, 26-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dia1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia1.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dia1.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dia1N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘𝑊) = 𝑇)

Proof of Theorem dia1N

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		dia1.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	2, 3	lhpbase 40022	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
6		hllat 39386	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
7		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8	2, 7	latref 18456	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑊(le‘𝐾)𝑊)
9	6, 4, 8	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊(le‘𝐾)𝑊)
10		dia1.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
11		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
12		dia1.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
13	2, 7, 3, 10, 11, 12	diaval 41056	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑊 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘𝑊) = {𝑓 ∈ 𝑇 ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑊})
14	1, 5, 9, 13	syl12anc 836	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘𝑊) = {𝑓 ∈ 𝑇 ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑊})
15	7, 3, 10, 11	trlle 40208	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑊)
16	15	ralrimiva 3133	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∀𝑓 ∈ 𝑇 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑊)
17		rabid2 3454	. . 3 ⊢ (𝑇 = {𝑓 ∈ 𝑇 ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑊} ↔ ∀𝑓 ∈ 𝑇 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑊)
18	16, 17	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑇 = {𝑓 ∈ 𝑇 ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑊})
19	14, 18	eqtr4d 2774	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘𝑊) = 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052  {crab 3420   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  Basecbs 17233  lecple 17283  Latclat 18446  HLchlt 39373  LHypclh 40008  LTrncltrn 40125  trLctrl 40182  DIsoAcdia 41052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-map 8847  df-proset 18311  df-poset 18330  df-plt 18345  df-lub 18361  df-glb 18362  df-join 18363  df-meet 18364  df-p0 18440  df-p1 18441  df-lat 18447  df-oposet 39199  df-ol 39201  df-oml 39202  df-covers 39289  df-ats 39290  df-atl 39321  df-cvlat 39345  df-hlat 39374  df-lhyp 40012  df-laut 40013  df-ldil 40128  df-ltrn 40129  df-trl 40183  df-disoa 41053

This theorem is referenced by:  dia1elN  41078