Theorem latmcl 18510

Description: Closure of meet operation in a lattice. (incom 4230 analog.) (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latmcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmcl.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latmcl	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem latmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latmcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2740	. . 3 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
3		latmcl.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4	1, 2, 3	latlem 18507	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵))
5	4	simprd 495	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  joincjn 18381  meetcmee 18382  Latclat 18501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-lub 18416  df-glb 18417  df-join 18418  df-meet 18419  df-lat 18502

This theorem is referenced by:  latleeqm1  18537  latmlem1  18539  latmlem12  18541  latnlemlt  18542  latmidm  18544  latabs1  18545  latledi  18547  latmlej11  18548  mod1ile  18563  mod2ile  18564  latdisdlem  18566  oldmm1  39173  oldmj1  39177  latmrot  39188  latm4  39189  olm01  39192  omllaw4  39202  cmtcomlemN  39204  cmt2N  39206  cmtbr2N  39209  cmtbr3N  39210  cmtbr4N  39211  lecmtN  39212  omlfh1N  39214  omlfh3N  39215  meetat  39252  atnle  39273  atlatmstc  39275  hlrelat2  39360  cvrval5  39372  cvrexchlem  39376  cvrexch  39377  cvrat3  39399  cvrat4  39400  ps-2b  39439  2llnmat  39481  2atm  39484  llnmlplnN  39496  2lplnmN  39516  2llnmj  39517  2llnm2N  39525  2llnm4  39527  2lplnm2N  39578  2lplnmj  39579  dalemcea  39617  dalem16  39636  dalem21  39651  dalem54  39683  dalem55  39684  2lnat  39741  2atm2atN  39742  cdlema1N  39748  hlmod1i  39813  atmod1i1m  39815  atmod2i1  39818  atmod2i2  39819  llnmod2i2  39820  atmod4i1  39823  atmod4i2  39824  llnexchb2lem  39825  dalawlem1  39828  dalawlem2  39829  dalawlem3  39830  dalawlem4  39831  dalawlem5  39832  dalawlem6  39833  dalawlem7  39834  dalawlem8  39835  dalawlem9  39836  dalawlem11  39838  dalawlem12  39839  pmapj2N  39886  psubclinN  39905  poml4N  39910  pl42lem1N  39936  pl42lem2N  39937  pl42N  39940  lhpmcvr3  39982  lhpmcvr4N  39983  lhpmcvr5N  39984  lhpmcvr6N  39985  lhpelim  39994  lhpmod2i2  39995  lhpmod6i1  39996  lhprelat3N  39997  lautm  40051  trlval2  40120  trlcl  40121  trlval3  40144  cdlemc1  40148  cdlemc2  40149  cdlemc4  40151  cdlemc5  40152  cdlemc6  40153  cdlemd2  40156  cdleme0aa  40167  cdleme1b  40183  cdleme1  40184  cdleme2  40185  cdleme3b  40186  cdleme3h  40192  cdleme4a  40196  cdleme5  40197  cdleme7e  40204  cdleme7ga  40205  cdleme9b  40209  cdleme11g  40222  cdleme15d  40234  cdleme15  40235  cdleme16b  40236  cdleme16e  40239  cdleme16f  40240  cdleme22gb  40251  cdlemedb  40254  cdleme20j  40275  cdleme22cN  40299  cdleme22e  40301  cdleme22eALTN  40302  cdleme22f  40303  cdleme23a  40306  cdleme23b  40307  cdleme23c  40308  cdleme28a  40327  cdleme28b  40328  cdleme29ex  40331  cdleme30a  40335  cdlemefr29exN  40359  cdleme32c  40400  cdleme32e  40402  cdleme35b  40407  cdleme35c  40408  cdleme35d  40409  cdleme42c  40429  cdleme42h  40439  cdleme42i  40440  cdleme48bw  40459  cdlemg7fvbwN  40564  cdlemg10bALTN  40593  cdlemg10  40598  cdlemg11b  40599  cdlemg12f  40605  cdlemg12g  40606  cdlemg17a  40618  trlcolem  40683  cdlemkvcl  40799  cdlemk5u  40818  cdlemk37  40871  cdlemk52  40911  dia2dimlem2  41022  docaclN  41081  doca2N  41083  djajN  41094  cdlemn10  41163  dihjustlem  41173  dihord1  41175  dihord2a  41176  dihord2b  41177  dihord2cN  41178  dihord11b  41179  dihord11c  41181  dihord2pre  41182  dihord2pre2  41183  dihlsscpre  41191  dihvalcq2  41204  dihopelvalcpre  41205  dihord6apre  41213  dihord5b  41216  dihord5apre  41219  dihmeetlem1N  41247  dihglblem5apreN  41248  dihglblem2aN  41250  dihglblem2N  41251  dihmeetlem2N  41256  dihglbcpreN  41257  dihmeetbclemN  41261  dihmeetlem3N  41262  dihmeetlem4preN  41263  dihmeetlem6  41266  dihmeetlem7N  41267  dihjatc1  41268  dihjatc2N  41269  dihjatc3  41270  dihmeetlem9N  41272  dihmeetlem16N  41279  dihmeetlem19N  41282  dihmeetcl  41302  dihmeet2  41303  djhlj  41358  dihjatcclem1  41375  dihjatcclem2  41376  dihjatcclem4  41378