Theorem latmcl 18448

Description: Closure of meet operation in a lattice. (incom 4184 analog.) (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latmcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmcl.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latmcl	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem latmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latmcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2735	. . 3 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
3		latmcl.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4	1, 2, 3	latlem 18445	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵))
5	4	simprd 495	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  Basecbs 17226  joincjn 18321  meetcmee 18322  Latclat 18439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-lub 18354  df-glb 18355  df-join 18356  df-meet 18357  df-lat 18440

This theorem is referenced by:  latleeqm1  18475  latmlem1  18477  latmlem12  18479  latnlemlt  18480  latmidm  18482  latabs1  18483  latledi  18485  latmlej11  18486  mod1ile  18501  mod2ile  18502  latdisdlem  18504  oldmm1  39181  oldmj1  39185  latmrot  39196  latm4  39197  olm01  39200  omllaw4  39210  cmtcomlemN  39212  cmt2N  39214  cmtbr2N  39217  cmtbr3N  39218  cmtbr4N  39219  lecmtN  39220  omlfh1N  39222  omlfh3N  39223  meetat  39260  atnle  39281  atlatmstc  39283  hlrelat2  39368  cvrval5  39380  cvrexchlem  39384  cvrexch  39385  cvrat3  39407  cvrat4  39408  ps-2b  39447  2llnmat  39489  2atm  39492  llnmlplnN  39504  2lplnmN  39524  2llnmj  39525  2llnm2N  39533  2llnm4  39535  2lplnm2N  39586  2lplnmj  39587  dalemcea  39625  dalem16  39644  dalem21  39659  dalem54  39691  dalem55  39692  2lnat  39749  2atm2atN  39750  cdlema1N  39756  hlmod1i  39821  atmod1i1m  39823  atmod2i1  39826  atmod2i2  39827  llnmod2i2  39828  atmod4i1  39831  atmod4i2  39832  llnexchb2lem  39833  dalawlem1  39836  dalawlem2  39837  dalawlem3  39838  dalawlem4  39839  dalawlem5  39840  dalawlem6  39841  dalawlem7  39842  dalawlem8  39843  dalawlem9  39844  dalawlem11  39846  dalawlem12  39847  pmapj2N  39894  psubclinN  39913  poml4N  39918  pl42lem1N  39944  pl42lem2N  39945  pl42N  39948  lhpmcvr3  39990  lhpmcvr4N  39991  lhpmcvr5N  39992  lhpmcvr6N  39993  lhpelim  40002  lhpmod2i2  40003  lhpmod6i1  40004  lhprelat3N  40005  lautm  40059  trlval2  40128  trlcl  40129  trlval3  40152  cdlemc1  40156  cdlemc2  40157  cdlemc4  40159  cdlemc5  40160  cdlemc6  40161  cdlemd2  40164  cdleme0aa  40175  cdleme1b  40191  cdleme1  40192  cdleme2  40193  cdleme3b  40194  cdleme3h  40200  cdleme4a  40204  cdleme5  40205  cdleme7e  40212  cdleme7ga  40213  cdleme9b  40217  cdleme11g  40230  cdleme15d  40242  cdleme15  40243  cdleme16b  40244  cdleme16e  40247  cdleme16f  40248  cdleme22gb  40259  cdlemedb  40262  cdleme20j  40283  cdleme22cN  40307  cdleme22e  40309  cdleme22eALTN  40310  cdleme22f  40311  cdleme23a  40314  cdleme23b  40315  cdleme23c  40316  cdleme28a  40335  cdleme28b  40336  cdleme29ex  40339  cdleme30a  40343  cdlemefr29exN  40367  cdleme32c  40408  cdleme32e  40410  cdleme35b  40415  cdleme35c  40416  cdleme35d  40417  cdleme42c  40437  cdleme42h  40447  cdleme42i  40448  cdleme48bw  40467  cdlemg7fvbwN  40572  cdlemg10bALTN  40601  cdlemg10  40606  cdlemg11b  40607  cdlemg12f  40613  cdlemg12g  40614  cdlemg17a  40626  trlcolem  40691  cdlemkvcl  40807  cdlemk5u  40826  cdlemk37  40879  cdlemk52  40919  dia2dimlem2  41030  docaclN  41089  doca2N  41091  djajN  41102  cdlemn10  41171  dihjustlem  41181  dihord1  41183  dihord2a  41184  dihord2b  41185  dihord2cN  41186  dihord11b  41187  dihord11c  41189  dihord2pre  41190  dihord2pre2  41191  dihlsscpre  41199  dihvalcq2  41212  dihopelvalcpre  41213  dihord6apre  41221  dihord5b  41224  dihord5apre  41227  dihmeetlem1N  41255  dihglblem5apreN  41256  dihglblem2aN  41258  dihglblem2N  41259  dihmeetlem2N  41264  dihglbcpreN  41265  dihmeetbclemN  41269  dihmeetlem3N  41270  dihmeetlem4preN  41271  dihmeetlem6  41274  dihmeetlem7N  41275  dihjatc1  41276  dihjatc2N  41277  dihjatc3  41278  dihmeetlem9N  41280  dihmeetlem16N  41287  dihmeetlem19N  41290  dihmeetcl  41310  dihmeet2  41311  djhlj  41366  dihjatcclem1  41383  dihjatcclem2  41384  dihjatcclem4  41386