Theorem latmcl 18497

Description: Closure of meet operation in a lattice. (incom 4216 analog.) (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latmcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmcl.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latmcl	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem latmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latmcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2734	. . 3 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
3		latmcl.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4	1, 2, 3	latlem 18494	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵))
5	4	simprd 495	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  Basecbs 17244  joincjn 18368  meetcmee 18369  Latclat 18488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-lub 18403  df-glb 18404  df-join 18405  df-meet 18406  df-lat 18489

This theorem is referenced by:  latleeqm1  18524  latmlem1  18526  latmlem12  18528  latnlemlt  18529  latmidm  18531  latabs1  18532  latledi  18534  latmlej11  18535  mod1ile  18550  mod2ile  18551  latdisdlem  18553  oldmm1  39198  oldmj1  39202  latmrot  39213  latm4  39214  olm01  39217  omllaw4  39227  cmtcomlemN  39229  cmt2N  39231  cmtbr2N  39234  cmtbr3N  39235  cmtbr4N  39236  lecmtN  39237  omlfh1N  39239  omlfh3N  39240  meetat  39277  atnle  39298  atlatmstc  39300  hlrelat2  39385  cvrval5  39397  cvrexchlem  39401  cvrexch  39402  cvrat3  39424  cvrat4  39425  ps-2b  39464  2llnmat  39506  2atm  39509  llnmlplnN  39521  2lplnmN  39541  2llnmj  39542  2llnm2N  39550  2llnm4  39552  2lplnm2N  39603  2lplnmj  39604  dalemcea  39642  dalem16  39661  dalem21  39676  dalem54  39708  dalem55  39709  2lnat  39766  2atm2atN  39767  cdlema1N  39773  hlmod1i  39838  atmod1i1m  39840  atmod2i1  39843  atmod2i2  39844  llnmod2i2  39845  atmod4i1  39848  atmod4i2  39849  llnexchb2lem  39850  dalawlem1  39853  dalawlem2  39854  dalawlem3  39855  dalawlem4  39856  dalawlem5  39857  dalawlem6  39858  dalawlem7  39859  dalawlem8  39860  dalawlem9  39861  dalawlem11  39863  dalawlem12  39864  pmapj2N  39911  psubclinN  39930  poml4N  39935  pl42lem1N  39961  pl42lem2N  39962  pl42N  39965  lhpmcvr3  40007  lhpmcvr4N  40008  lhpmcvr5N  40009  lhpmcvr6N  40010  lhpelim  40019  lhpmod2i2  40020  lhpmod6i1  40021  lhprelat3N  40022  lautm  40076  trlval2  40145  trlcl  40146  trlval3  40169  cdlemc1  40173  cdlemc2  40174  cdlemc4  40176  cdlemc5  40177  cdlemc6  40178  cdlemd2  40181  cdleme0aa  40192  cdleme1b  40208  cdleme1  40209  cdleme2  40210  cdleme3b  40211  cdleme3h  40217  cdleme4a  40221  cdleme5  40222  cdleme7e  40229  cdleme7ga  40230  cdleme9b  40234  cdleme11g  40247  cdleme15d  40259  cdleme15  40260  cdleme16b  40261  cdleme16e  40264  cdleme16f  40265  cdleme22gb  40276  cdlemedb  40279  cdleme20j  40300  cdleme22cN  40324  cdleme22e  40326  cdleme22eALTN  40327  cdleme22f  40328  cdleme23a  40331  cdleme23b  40332  cdleme23c  40333  cdleme28a  40352  cdleme28b  40353  cdleme29ex  40356  cdleme30a  40360  cdlemefr29exN  40384  cdleme32c  40425  cdleme32e  40427  cdleme35b  40432  cdleme35c  40433  cdleme35d  40434  cdleme42c  40454  cdleme42h  40464  cdleme42i  40465  cdleme48bw  40484  cdlemg7fvbwN  40589  cdlemg10bALTN  40618  cdlemg10  40623  cdlemg11b  40624  cdlemg12f  40630  cdlemg12g  40631  cdlemg17a  40643  trlcolem  40708  cdlemkvcl  40824  cdlemk5u  40843  cdlemk37  40896  cdlemk52  40936  dia2dimlem2  41047  docaclN  41106  doca2N  41108  djajN  41119  cdlemn10  41188  dihjustlem  41198  dihord1  41200  dihord2a  41201  dihord2b  41202  dihord2cN  41203  dihord11b  41204  dihord11c  41206  dihord2pre  41207  dihord2pre2  41208  dihlsscpre  41216  dihvalcq2  41229  dihopelvalcpre  41230  dihord6apre  41238  dihord5b  41241  dihord5apre  41244  dihmeetlem1N  41272  dihglblem5apreN  41273  dihglblem2aN  41275  dihglblem2N  41276  dihmeetlem2N  41281  dihglbcpreN  41282  dihmeetbclemN  41286  dihmeetlem3N  41287  dihmeetlem4preN  41288  dihmeetlem6  41291  dihmeetlem7N  41292  dihjatc1  41293  dihjatc2N  41294  dihjatc3  41295  dihmeetlem9N  41297  dihmeetlem16N  41304  dihmeetlem19N  41307  dihmeetcl  41327  dihmeet2  41328  djhlj  41383  dihjatcclem1  41400  dihjatcclem2  41401  dihjatcclem4  41403