Theorem latmcl 18375

Description: Closure of meet operation in a lattice. (incom 4163 analog.) (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latmcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmcl.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latmcl	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem latmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latmcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
3		latmcl.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4	1, 2, 3	latlem 18372	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵))
5	4	simprd 495	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  joincjn 18246  meetcmee 18247  Latclat 18366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-lub 18279  df-glb 18280  df-join 18281  df-meet 18282  df-lat 18367

This theorem is referenced by:  latleeqm1  18402  latmlem1  18404  latmlem12  18406  latnlemlt  18407  latmidm  18409  latabs1  18410  latledi  18412  latmlej11  18413  mod1ile  18428  mod2ile  18429  latdisdlem  18431  oldmm1  39593  oldmj1  39597  latmrot  39608  latm4  39609  olm01  39612  omllaw4  39622  cmtcomlemN  39624  cmt2N  39626  cmtbr2N  39629  cmtbr3N  39630  cmtbr4N  39631  lecmtN  39632  omlfh1N  39634  omlfh3N  39635  meetat  39672  atnle  39693  atlatmstc  39695  hlrelat2  39779  cvrval5  39791  cvrexchlem  39795  cvrexch  39796  cvrat3  39818  cvrat4  39819  ps-2b  39858  2llnmat  39900  2atm  39903  llnmlplnN  39915  2lplnmN  39935  2llnmj  39936  2llnm2N  39944  2llnm4  39946  2lplnm2N  39997  2lplnmj  39998  dalemcea  40036  dalem16  40055  dalem21  40070  dalem54  40102  dalem55  40103  2lnat  40160  2atm2atN  40161  cdlema1N  40167  hlmod1i  40232  atmod1i1m  40234  atmod2i1  40237  atmod2i2  40238  llnmod2i2  40239  atmod4i1  40242  atmod4i2  40243  llnexchb2lem  40244  dalawlem1  40247  dalawlem2  40248  dalawlem3  40249  dalawlem4  40250  dalawlem5  40251  dalawlem6  40252  dalawlem7  40253  dalawlem8  40254  dalawlem9  40255  dalawlem11  40257  dalawlem12  40258  pmapj2N  40305  psubclinN  40324  poml4N  40329  pl42lem1N  40355  pl42lem2N  40356  pl42N  40359  lhpmcvr3  40401  lhpmcvr4N  40402  lhpmcvr5N  40403  lhpmcvr6N  40404  lhpelim  40413  lhpmod2i2  40414  lhpmod6i1  40415  lhprelat3N  40416  lautm  40470  trlval2  40539  trlcl  40540  trlval3  40563  cdlemc1  40567  cdlemc2  40568  cdlemc4  40570  cdlemc5  40571  cdlemc6  40572  cdlemd2  40575  cdleme0aa  40586  cdleme1b  40602  cdleme1  40603  cdleme2  40604  cdleme3b  40605  cdleme3h  40611  cdleme4a  40615  cdleme5  40616  cdleme7e  40623  cdleme7ga  40624  cdleme9b  40628  cdleme11g  40641  cdleme15d  40653  cdleme15  40654  cdleme16b  40655  cdleme16e  40658  cdleme16f  40659  cdleme22gb  40670  cdlemedb  40673  cdleme20j  40694  cdleme22cN  40718  cdleme22e  40720  cdleme22eALTN  40721  cdleme22f  40722  cdleme23a  40725  cdleme23b  40726  cdleme23c  40727  cdleme28a  40746  cdleme28b  40747  cdleme29ex  40750  cdleme30a  40754  cdlemefr29exN  40778  cdleme32c  40819  cdleme32e  40821  cdleme35b  40826  cdleme35c  40827  cdleme35d  40828  cdleme42c  40848  cdleme42h  40858  cdleme42i  40859  cdleme48bw  40878  cdlemg7fvbwN  40983  cdlemg10bALTN  41012  cdlemg10  41017  cdlemg11b  41018  cdlemg12f  41024  cdlemg12g  41025  cdlemg17a  41037  trlcolem  41102  cdlemkvcl  41218  cdlemk5u  41237  cdlemk37  41290  cdlemk52  41330  dia2dimlem2  41441  docaclN  41500  doca2N  41502  djajN  41513  cdlemn10  41582  dihjustlem  41592  dihord1  41594  dihord2a  41595  dihord2b  41596  dihord2cN  41597  dihord11b  41598  dihord11c  41600  dihord2pre  41601  dihord2pre2  41602  dihlsscpre  41610  dihvalcq2  41623  dihopelvalcpre  41624  dihord6apre  41632  dihord5b  41635  dihord5apre  41638  dihmeetlem1N  41666  dihglblem5apreN  41667  dihglblem2aN  41669  dihglblem2N  41670  dihmeetlem2N  41675  dihglbcpreN  41676  dihmeetbclemN  41680  dihmeetlem3N  41681  dihmeetlem4preN  41682  dihmeetlem6  41685  dihmeetlem7N  41686  dihjatc1  41687  dihjatc2N  41688  dihjatc3  41689  dihmeetlem9N  41691  dihmeetlem16N  41698  dihmeetlem19N  41701  dihmeetcl  41721  dihmeet2  41722  djhlj  41777  dihjatcclem1  41794  dihjatcclem2  41795  dihjatcclem4  41797