Theorem latmcl 18363

Description: Closure of meet operation in a lattice. (incom 4161 analog.) (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latmcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmcl.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latmcl	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem latmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latmcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
3		latmcl.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4	1, 2, 3	latlem 18360	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵))
5	4	simprd 495	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  joincjn 18234  meetcmee 18235  Latclat 18354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-lub 18267  df-glb 18268  df-join 18269  df-meet 18270  df-lat 18355

This theorem is referenced by:  latleeqm1  18390  latmlem1  18392  latmlem12  18394  latnlemlt  18395  latmidm  18397  latabs1  18398  latledi  18400  latmlej11  18401  mod1ile  18416  mod2ile  18417  latdisdlem  18419  oldmm1  39487  oldmj1  39491  latmrot  39502  latm4  39503  olm01  39506  omllaw4  39516  cmtcomlemN  39518  cmt2N  39520  cmtbr2N  39523  cmtbr3N  39524  cmtbr4N  39525  lecmtN  39526  omlfh1N  39528  omlfh3N  39529  meetat  39566  atnle  39587  atlatmstc  39589  hlrelat2  39673  cvrval5  39685  cvrexchlem  39689  cvrexch  39690  cvrat3  39712  cvrat4  39713  ps-2b  39752  2llnmat  39794  2atm  39797  llnmlplnN  39809  2lplnmN  39829  2llnmj  39830  2llnm2N  39838  2llnm4  39840  2lplnm2N  39891  2lplnmj  39892  dalemcea  39930  dalem16  39949  dalem21  39964  dalem54  39996  dalem55  39997  2lnat  40054  2atm2atN  40055  cdlema1N  40061  hlmod1i  40126  atmod1i1m  40128  atmod2i1  40131  atmod2i2  40132  llnmod2i2  40133  atmod4i1  40136  atmod4i2  40137  llnexchb2lem  40138  dalawlem1  40141  dalawlem2  40142  dalawlem3  40143  dalawlem4  40144  dalawlem5  40145  dalawlem6  40146  dalawlem7  40147  dalawlem8  40148  dalawlem9  40149  dalawlem11  40151  dalawlem12  40152  pmapj2N  40199  psubclinN  40218  poml4N  40223  pl42lem1N  40249  pl42lem2N  40250  pl42N  40253  lhpmcvr3  40295  lhpmcvr4N  40296  lhpmcvr5N  40297  lhpmcvr6N  40298  lhpelim  40307  lhpmod2i2  40308  lhpmod6i1  40309  lhprelat3N  40310  lautm  40364  trlval2  40433  trlcl  40434  trlval3  40457  cdlemc1  40461  cdlemc2  40462  cdlemc4  40464  cdlemc5  40465  cdlemc6  40466  cdlemd2  40469  cdleme0aa  40480  cdleme1b  40496  cdleme1  40497  cdleme2  40498  cdleme3b  40499  cdleme3h  40505  cdleme4a  40509  cdleme5  40510  cdleme7e  40517  cdleme7ga  40518  cdleme9b  40522  cdleme11g  40535  cdleme15d  40547  cdleme15  40548  cdleme16b  40549  cdleme16e  40552  cdleme16f  40553  cdleme22gb  40564  cdlemedb  40567  cdleme20j  40588  cdleme22cN  40612  cdleme22e  40614  cdleme22eALTN  40615  cdleme22f  40616  cdleme23a  40619  cdleme23b  40620  cdleme23c  40621  cdleme28a  40640  cdleme28b  40641  cdleme29ex  40644  cdleme30a  40648  cdlemefr29exN  40672  cdleme32c  40713  cdleme32e  40715  cdleme35b  40720  cdleme35c  40721  cdleme35d  40722  cdleme42c  40742  cdleme42h  40752  cdleme42i  40753  cdleme48bw  40772  cdlemg7fvbwN  40877  cdlemg10bALTN  40906  cdlemg10  40911  cdlemg11b  40912  cdlemg12f  40918  cdlemg12g  40919  cdlemg17a  40931  trlcolem  40996  cdlemkvcl  41112  cdlemk5u  41131  cdlemk37  41184  cdlemk52  41224  dia2dimlem2  41335  docaclN  41394  doca2N  41396  djajN  41407  cdlemn10  41476  dihjustlem  41486  dihord1  41488  dihord2a  41489  dihord2b  41490  dihord2cN  41491  dihord11b  41492  dihord11c  41494  dihord2pre  41495  dihord2pre2  41496  dihlsscpre  41504  dihvalcq2  41517  dihopelvalcpre  41518  dihord6apre  41526  dihord5b  41529  dihord5apre  41532  dihmeetlem1N  41560  dihglblem5apreN  41561  dihglblem2aN  41563  dihglblem2N  41564  dihmeetlem2N  41569  dihglbcpreN  41570  dihmeetbclemN  41574  dihmeetlem3N  41575  dihmeetlem4preN  41576  dihmeetlem6  41579  dihmeetlem7N  41580  dihjatc1  41581  dihjatc2N  41582  dihjatc3  41583  dihmeetlem9N  41585  dihmeetlem16N  41592  dihmeetlem19N  41595  dihmeetcl  41615  dihmeet2  41616  djhlj  41671  dihjatcclem1  41688  dihjatcclem2  41689  dihjatcclem4  41691