Theorem latmcl 17900

Description: Closure of meet operation in a lattice. (incom 4101 analog.) (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latmcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmcl.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latmcl	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem latmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latmcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
3		latmcl.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4	1, 2, 3	latlem 17897	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵))
5	4	simprd 499	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  Basecbs 16666  joincjn 17772  meetcmee 17773  Latclat 17891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-lub 17806  df-glb 17807  df-join 17808  df-meet 17809  df-lat 17892

This theorem is referenced by:  latleeqm1  17927  latmlem1  17929  latmlem12  17931  latnlemlt  17932  latmidm  17934  latabs1  17935  latledi  17937  latmlej11  17938  mod1ile  17953  mod2ile  17954  latdisdlem  17956  oldmm1  36917  oldmj1  36921  latmrot  36932  latm4  36933  olm01  36936  omllaw4  36946  cmtcomlemN  36948  cmt2N  36950  cmtbr2N  36953  cmtbr3N  36954  cmtbr4N  36955  lecmtN  36956  omlfh1N  36958  omlfh3N  36959  meetat  36996  atnle  37017  atlatmstc  37019  hlrelat2  37103  cvrval5  37115  cvrexchlem  37119  cvrexch  37120  cvrat3  37142  cvrat4  37143  ps-2b  37182  2llnmat  37224  2atm  37227  llnmlplnN  37239  2lplnmN  37259  2llnmj  37260  2llnm2N  37268  2llnm4  37270  2lplnm2N  37321  2lplnmj  37322  dalemcea  37360  dalem16  37379  dalem21  37394  dalem54  37426  dalem55  37427  2lnat  37484  2atm2atN  37485  cdlema1N  37491  hlmod1i  37556  atmod1i1m  37558  atmod2i1  37561  atmod2i2  37562  llnmod2i2  37563  atmod4i1  37566  atmod4i2  37567  llnexchb2lem  37568  dalawlem1  37571  dalawlem2  37572  dalawlem3  37573  dalawlem4  37574  dalawlem5  37575  dalawlem6  37576  dalawlem7  37577  dalawlem8  37578  dalawlem9  37579  dalawlem11  37581  dalawlem12  37582  pmapj2N  37629  psubclinN  37648  poml4N  37653  pl42lem1N  37679  pl42lem2N  37680  pl42N  37683  lhpmcvr3  37725  lhpmcvr4N  37726  lhpmcvr5N  37727  lhpmcvr6N  37728  lhpelim  37737  lhpmod2i2  37738  lhpmod6i1  37739  lhprelat3N  37740  lautm  37794  trlval2  37863  trlcl  37864  trlval3  37887  cdlemc1  37891  cdlemc2  37892  cdlemc4  37894  cdlemc5  37895  cdlemc6  37896  cdlemd2  37899  cdleme0aa  37910  cdleme1b  37926  cdleme1  37927  cdleme2  37928  cdleme3b  37929  cdleme3h  37935  cdleme4a  37939  cdleme5  37940  cdleme7e  37947  cdleme7ga  37948  cdleme9b  37952  cdleme11g  37965  cdleme15d  37977  cdleme15  37978  cdleme16b  37979  cdleme16e  37982  cdleme16f  37983  cdleme22gb  37994  cdlemedb  37997  cdleme20j  38018  cdleme22cN  38042  cdleme22e  38044  cdleme22eALTN  38045  cdleme22f  38046  cdleme23a  38049  cdleme23b  38050  cdleme23c  38051  cdleme28a  38070  cdleme28b  38071  cdleme29ex  38074  cdleme30a  38078  cdlemefr29exN  38102  cdleme32c  38143  cdleme32e  38145  cdleme35b  38150  cdleme35c  38151  cdleme35d  38152  cdleme42c  38172  cdleme42h  38182  cdleme42i  38183  cdleme48bw  38202  cdlemg7fvbwN  38307  cdlemg10bALTN  38336  cdlemg10  38341  cdlemg11b  38342  cdlemg12f  38348  cdlemg12g  38349  cdlemg17a  38361  trlcolem  38426  cdlemkvcl  38542  cdlemk5u  38561  cdlemk37  38614  cdlemk52  38654  dia2dimlem2  38765  docaclN  38824  doca2N  38826  djajN  38837  cdlemn10  38906  dihjustlem  38916  dihord1  38918  dihord2a  38919  dihord2b  38920  dihord2cN  38921  dihord11b  38922  dihord11c  38924  dihord2pre  38925  dihord2pre2  38926  dihlsscpre  38934  dihvalcq2  38947  dihopelvalcpre  38948  dihord6apre  38956  dihord5b  38959  dihord5apre  38962  dihmeetlem1N  38990  dihglblem5apreN  38991  dihglblem2aN  38993  dihglblem2N  38994  dihmeetlem2N  38999  dihglbcpreN  39000  dihmeetbclemN  39004  dihmeetlem3N  39005  dihmeetlem4preN  39006  dihmeetlem6  39009  dihmeetlem7N  39010  dihjatc1  39011  dihjatc2N  39012  dihjatc3  39013  dihmeetlem9N  39015  dihmeetlem16N  39022  dihmeetlem19N  39025  dihmeetcl  39045  dihmeet2  39046  djhlj  39101  dihjatcclem1  39118  dihjatcclem2  39119  dihjatcclem4  39121