Theorem latmcl 18361

Description: Closure of meet operation in a lattice. (incom 4159 analog.) (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latmcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmcl.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latmcl	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem latmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latmcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2734	. . 3 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
3		latmcl.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4	1, 2, 3	latlem 18358	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵))
5	4	simprd 495	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Basecbs 17134  joincjn 18232  meetcmee 18233  Latclat 18352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-lub 18265  df-glb 18266  df-join 18267  df-meet 18268  df-lat 18353

This theorem is referenced by:  latleeqm1  18388  latmlem1  18390  latmlem12  18392  latnlemlt  18393  latmidm  18395  latabs1  18396  latledi  18398  latmlej11  18399  mod1ile  18414  mod2ile  18415  latdisdlem  18417  oldmm1  39416  oldmj1  39420  latmrot  39431  latm4  39432  olm01  39435  omllaw4  39445  cmtcomlemN  39447  cmt2N  39449  cmtbr2N  39452  cmtbr3N  39453  cmtbr4N  39454  lecmtN  39455  omlfh1N  39457  omlfh3N  39458  meetat  39495  atnle  39516  atlatmstc  39518  hlrelat2  39602  cvrval5  39614  cvrexchlem  39618  cvrexch  39619  cvrat3  39641  cvrat4  39642  ps-2b  39681  2llnmat  39723  2atm  39726  llnmlplnN  39738  2lplnmN  39758  2llnmj  39759  2llnm2N  39767  2llnm4  39769  2lplnm2N  39820  2lplnmj  39821  dalemcea  39859  dalem16  39878  dalem21  39893  dalem54  39925  dalem55  39926  2lnat  39983  2atm2atN  39984  cdlema1N  39990  hlmod1i  40055  atmod1i1m  40057  atmod2i1  40060  atmod2i2  40061  llnmod2i2  40062  atmod4i1  40065  atmod4i2  40066  llnexchb2lem  40067  dalawlem1  40070  dalawlem2  40071  dalawlem3  40072  dalawlem4  40073  dalawlem5  40074  dalawlem6  40075  dalawlem7  40076  dalawlem8  40077  dalawlem9  40078  dalawlem11  40080  dalawlem12  40081  pmapj2N  40128  psubclinN  40147  poml4N  40152  pl42lem1N  40178  pl42lem2N  40179  pl42N  40182  lhpmcvr3  40224  lhpmcvr4N  40225  lhpmcvr5N  40226  lhpmcvr6N  40227  lhpelim  40236  lhpmod2i2  40237  lhpmod6i1  40238  lhprelat3N  40239  lautm  40293  trlval2  40362  trlcl  40363  trlval3  40386  cdlemc1  40390  cdlemc2  40391  cdlemc4  40393  cdlemc5  40394  cdlemc6  40395  cdlemd2  40398  cdleme0aa  40409  cdleme1b  40425  cdleme1  40426  cdleme2  40427  cdleme3b  40428  cdleme3h  40434  cdleme4a  40438  cdleme5  40439  cdleme7e  40446  cdleme7ga  40447  cdleme9b  40451  cdleme11g  40464  cdleme15d  40476  cdleme15  40477  cdleme16b  40478  cdleme16e  40481  cdleme16f  40482  cdleme22gb  40493  cdlemedb  40496  cdleme20j  40517  cdleme22cN  40541  cdleme22e  40543  cdleme22eALTN  40544  cdleme22f  40545  cdleme23a  40548  cdleme23b  40549  cdleme23c  40550  cdleme28a  40569  cdleme28b  40570  cdleme29ex  40573  cdleme30a  40577  cdlemefr29exN  40601  cdleme32c  40642  cdleme32e  40644  cdleme35b  40649  cdleme35c  40650  cdleme35d  40651  cdleme42c  40671  cdleme42h  40681  cdleme42i  40682  cdleme48bw  40701  cdlemg7fvbwN  40806  cdlemg10bALTN  40835  cdlemg10  40840  cdlemg11b  40841  cdlemg12f  40847  cdlemg12g  40848  cdlemg17a  40860  trlcolem  40925  cdlemkvcl  41041  cdlemk5u  41060  cdlemk37  41113  cdlemk52  41153  dia2dimlem2  41264  docaclN  41323  doca2N  41325  djajN  41336  cdlemn10  41405  dihjustlem  41415  dihord1  41417  dihord2a  41418  dihord2b  41419  dihord2cN  41420  dihord11b  41421  dihord11c  41423  dihord2pre  41424  dihord2pre2  41425  dihlsscpre  41433  dihvalcq2  41446  dihopelvalcpre  41447  dihord6apre  41455  dihord5b  41458  dihord5apre  41461  dihmeetlem1N  41489  dihglblem5apreN  41490  dihglblem2aN  41492  dihglblem2N  41493  dihmeetlem2N  41498  dihglbcpreN  41499  dihmeetbclemN  41503  dihmeetlem3N  41504  dihmeetlem4preN  41505  dihmeetlem6  41508  dihmeetlem7N  41509  dihjatc1  41510  dihjatc2N  41511  dihjatc3  41512  dihmeetlem9N  41514  dihmeetlem16N  41521  dihmeetlem19N  41524  dihmeetcl  41544  dihmeet2  41545  djhlj  41600  dihjatcclem1  41617  dihjatcclem2  41618  dihjatcclem4  41620