Theorem latmcl 18664

Description: Closure of meet operation in a lattice. (incom 4109 analog.) (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latmcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmcl.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latmcl	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem latmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latmcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
3		latmcl.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4	1, 2, 3	latlem 18661	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵))
5	4	simprd 501	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  joincjn 18535  meetcmee 18536  Latclat 18655

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-lub 18568  df-glb 18569  df-join 18570  df-meet 18571  df-lat 18656

This theorem is used by:  latleeqm1  18691  latmlem1  18693  latmlem12  18695  latnlemlt  18696  latmidm  18698  latabs1  18699  latledi  18701  latmlej11  18702  mod1ile  18717  mod2ile  18718  latdisdlem  18720  oldmm1  40540  oldmj1  40544  latmrot  40555  latm4  40556  olm01  40559  omllaw4  40569  cmtcomlemN  40571  cmt2N  40573  cmtbr2N  40576  cmtbr3N  40577  cmtbr4N  40578  lecmtN  40579  omlfh1N  40581  omlfh3N  40582  meetat  40619  atnle  40640  atlatmstc  40642  hlrelat2  40726  cvrval5  40738  cvrexchlem  40742  cvrexch  40743  cvrat3  40765  cvrat4  40766  ps-2b  40805  2llnmat  40847  2atm  40850  llnmlplnN  40862  2lplnmN  40882  2llnmj  40883  2llnm2N  40891  2llnm4  40893  2lplnm2N  40944  2lplnmj  40945  dalemcea  40983  dalem16  41002  dalem21  41017  dalem54  41049  dalem55  41050  2lnat  41107  2atm2atN  41108  cdlema1N  41114  hlmod1i  41179  atmod1i1m  41181  atmod2i1  41184  atmod2i2  41185  llnmod2i2  41186  atmod4i1  41189  atmod4i2  41190  llnexchb2lem  41191  dalawlem1  41194  dalawlem2  41195  dalawlem3  41196  dalawlem4  41197  dalawlem5  41198  dalawlem6  41199  dalawlem7  41200  dalawlem8  41201  dalawlem9  41202  dalawlem11  41204  dalawlem12  41205  pmapj2N  41252  psubclinN  41271  poml4N  41276  pl42lem1N  41302  pl42lem2N  41303  pl42N  41306  lhpmcvr3  41348  lhpmcvr4N  41349  lhpmcvr5N  41350  lhpmcvr6N  41351  lhpelim  41360  lhpmod2i2  41361  lhpmod6i1  41362  lhprelat3N  41363  lautm  41417  trlval2  41486  trlcl  41487  trlval3  41510  cdlemc1  41514  cdlemc2  41515  cdlemc4  41517  cdlemc5  41518  cdlemc6  41519  cdlemd2  41522  cdleme0aa  41533  cdleme1b  41549  cdleme1  41550  cdleme2  41551  cdleme3b  41552  cdleme3h  41558  cdleme4a  41562  cdleme5  41563  cdleme7e  41570  cdleme7ga  41571  cdleme9b  41575  cdleme11g  41588  cdleme15d  41600  cdleme15  41601  cdleme16b  41602  cdleme16e  41605  cdleme16f  41606  cdleme22gb  41617  cdlemedb  41620  cdleme20j  41641  cdleme22cN  41665  cdleme22e  41667  cdleme22eALTN  41668  cdleme22f  41669  cdleme23a  41672  cdleme23b  41673  cdleme23c  41674  cdleme28a  41693  cdleme28b  41694  cdleme29ex  41697  cdleme30a  41701  cdlemefr29exN  41725  cdleme32c  41766  cdleme32e  41768  cdleme35b  41773  cdleme35c  41774  cdleme35d  41775  cdleme42c  41795  cdleme42h  41805  cdleme42i  41806  cdleme48bw  41825  cdlemg7fvbwN  41930  cdlemg10bALTN  41959  cdlemg10  41964  cdlemg11b  41965  cdlemg12f  41971  cdlemg12g  41972  cdlemg17a  41984  trlcolem  42049  cdlemkvcl  42165  cdlemk5u  42184  cdlemk37  42237  cdlemk52  42277  dia2dimlem2  42388  docaclN  42447  doca2N  42449  djajN  42460  cdlemn10  42529  dihjustlem  42539  dihord1  42541  dihord2a  42542  dihord2b  42543  dihord2cN  42544  dihord11b  42545  dihord11c  42547  dihord2pre  42548  dihord2pre2  42549  dihlsscpre  42557  dihvalcq2  42570  dihopelvalcpre  42571  dihord6apre  42579  dihord5b  42582  dihord5apre  42585  dihmeetlem1N  42613  dihglblem5apreN  42614  dihglblem2aN  42616  dihglblem2N  42617  dihmeetlem2N  42622  dihglbcpreN  42623  dihmeetbclemN  42627  dihmeetlem3N  42628  dihmeetlem4preN  42629  dihmeetlem6  42632  dihmeetlem7N  42633  dihjatc1  42634  dihjatc2N  42635  dihjatc3  42636  dihmeetlem9N  42638  dihmeetlem16N  42645  dihmeetlem19N  42648  dihmeetcl  42668  dihmeet2  42669  djhlj  42724  dihjatcclem1  42741  dihjatcclem2  42742  dihjatcclem4  42744