Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2atnelpln Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2atnelpln 39073
Description: The join of two atoms is not a lattice plane. (Contributed by NM, 16-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2atnelpln.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2atnelpln.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
2atnelpln.p 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
2atnelpln ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ Β¬ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ 𝑃)

Proof of Theorem 2atnelpln
StepHypRef Expression
1 hllat 38891 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
213ad2ant1 1130 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 eqid 2725 . . . 4 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
4 2atnelpln.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
5 2atnelpln.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
63, 4, 5hlatjcl 38895 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7 eqid 2725 . . . 4 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
83, 7latref 18432 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅)(leβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ 𝑅))
92, 6, 8syl2anc 582 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅)(leβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ 𝑅))
10 simpl1 1188 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ 𝑃) β†’ 𝐾 ∈ HL)
11 simpr 483 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ 𝑃) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ 𝑃)
12 simpl2 1189 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ 𝑃) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
13 simpl3 1190 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ 𝑃) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
14 2atnelpln.p . . . . 5 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
157, 4, 5, 14lplnnle2at 39070 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ Β¬ (𝑄 ∨ 𝑅)(leβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ 𝑅))
1610, 11, 12, 13, 15syl13anc 1369 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ 𝑃) β†’ Β¬ (𝑄 ∨ 𝑅)(leβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ 𝑅))
1716ex 411 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∈ 𝑃 β†’ Β¬ (𝑄 ∨ 𝑅)(leβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ 𝑅)))
189, 17mt2d 136 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ Β¬ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  lecple 17239  joincjn 18302  Latclat 18422  Atomscatm 38791  HLchlt 38878  LPlanesclpl 39021
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-lat 18423  df-clat 18490  df-oposet 38704  df-ol 38706  df-oml 38707  df-covers 38794  df-ats 38795  df-atl 38826  df-cvlat 38850  df-hlat 38879  df-llines 39027  df-lplanes 39028
This theorem is referenced by:  islpln2a  39077
  Copyright terms: Public domain W3C validator