Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2atnelpln Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2atnelpln 38928
Description: The join of two atoms is not a lattice plane. (Contributed by NM, 16-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2atnelpln.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2atnelpln.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
2atnelpln.p 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
2atnelpln ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ Β¬ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ 𝑃)

Proof of Theorem 2atnelpln
StepHypRef Expression
1 hllat 38746 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
213ad2ant1 1130 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 eqid 2726 . . . 4 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
4 2atnelpln.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
5 2atnelpln.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
63, 4, 5hlatjcl 38750 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7 eqid 2726 . . . 4 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
83, 7latref 18406 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅)(leβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ 𝑅))
92, 6, 8syl2anc 583 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅)(leβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ 𝑅))
10 simpl1 1188 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ 𝑃) β†’ 𝐾 ∈ HL)
11 simpr 484 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ 𝑃) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ 𝑃)
12 simpl2 1189 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ 𝑃) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
13 simpl3 1190 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ 𝑃) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
14 2atnelpln.p . . . . 5 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
157, 4, 5, 14lplnnle2at 38925 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ Β¬ (𝑄 ∨ 𝑅)(leβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ 𝑅))
1610, 11, 12, 13, 15syl13anc 1369 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ 𝑃) β†’ Β¬ (𝑄 ∨ 𝑅)(leβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ 𝑅))
1716ex 412 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∈ 𝑃 β†’ Β¬ (𝑄 ∨ 𝑅)(leβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ 𝑅)))
189, 17mt2d 136 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ Β¬ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  lecple 17213  joincjn 18276  Latclat 18396  Atomscatm 38646  HLchlt 38733  LPlanesclpl 38876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-llines 38882  df-lplanes 38883
This theorem is referenced by:  islpln2a  38932
  Copyright terms: Public domain W3C validator