Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2atnelpln Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2atnelpln 38036
Description: The join of two atoms is not a lattice plane. (Contributed by NM, 16-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2atnelpln.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2atnelpln.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
2atnelpln.p 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
2atnelpln ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ Β¬ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ 𝑃)

Proof of Theorem 2atnelpln
StepHypRef Expression
1 hllat 37854 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
213ad2ant1 1134 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 eqid 2737 . . . 4 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
4 2atnelpln.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
5 2atnelpln.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
63, 4, 5hlatjcl 37858 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7 eqid 2737 . . . 4 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
83, 7latref 18337 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅)(leβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ 𝑅))
92, 6, 8syl2anc 585 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅)(leβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ 𝑅))
10 simpl1 1192 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ 𝑃) β†’ 𝐾 ∈ HL)
11 simpr 486 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ 𝑃) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ 𝑃)
12 simpl2 1193 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ 𝑃) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
13 simpl3 1194 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ 𝑃) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
14 2atnelpln.p . . . . 5 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
157, 4, 5, 14lplnnle2at 38033 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ Β¬ (𝑄 ∨ 𝑅)(leβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ 𝑅))
1610, 11, 12, 13, 15syl13anc 1373 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ 𝑃) β†’ Β¬ (𝑄 ∨ 𝑅)(leβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ 𝑅))
1716ex 414 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∈ 𝑃 β†’ Β¬ (𝑄 ∨ 𝑅)(leβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ 𝑅)))
189, 17mt2d 136 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ Β¬ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  lecple 17147  joincjn 18207  Latclat 18327  Atomscatm 37754  HLchlt 37841  LPlanesclpl 37984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-proset 18191  df-poset 18209  df-plt 18226  df-lub 18242  df-glb 18243  df-join 18244  df-meet 18245  df-p0 18321  df-lat 18328  df-clat 18395  df-oposet 37667  df-ol 37669  df-oml 37670  df-covers 37757  df-ats 37758  df-atl 37789  df-cvlat 37813  df-hlat 37842  df-llines 37990  df-lplanes 37991
This theorem is referenced by:  islpln2a  38040
  Copyright terms: Public domain W3C validator