Theorem 2atnelpln 35707

Description: The join of two atoms is not a lattice plane. (Contributed by NM, 16-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
2atnelpln.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2atnelpln.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2atnelpln.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2atnelpln	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → ¬ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ 𝑃)

Proof of Theorem 2atnelpln

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 35526	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2	1	3ad2ant1 1124	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
3		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		2atnelpln.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
5		2atnelpln.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6	3, 4, 5	hlatjcl 35530	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
7		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8	3, 7	latref 17450	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑄 ∨ 𝑅)(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅))
9	2, 6, 8	syl2anc 579	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (𝑄 ∨ 𝑅)(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅))
10		simpl1 1199	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ 𝑃) → 𝐾 ∈ HL)
11		simpr 479	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ 𝑃) → (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ 𝑃)
12		simpl2 1201	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ 𝑃) → 𝑄 ∈ 𝐴)
13		simpl3 1203	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ 𝑃) → 𝑅 ∈ 𝐴)
14		2atnelpln.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
15	7, 4, 5, 14	lplnnle2at 35704	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ¬ (𝑄 ∨ 𝑅)(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅))
16	10, 11, 12, 13, 15	syl13anc 1440	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ 𝑃) → ¬ (𝑄 ∨ 𝑅)(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅))
17	16	ex 403	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∈ 𝑃 → ¬ (𝑄 ∨ 𝑅)(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅)))
18	9, 17	mt2d 134	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → ¬ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ 𝑃)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   class class class wbr 4888  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  Basecbs 16266  lecple 16356  joincjn 17341  Latclat 17442  Atomscatm 35426  HLchlt 35513  LPlanesclpl 35655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-proset 17325  df-poset 17343  df-plt 17355  df-lub 17371  df-glb 17372  df-join 17373  df-meet 17374  df-p0 17436  df-lat 17443  df-clat 17505  df-oposet 35339  df-ol 35341  df-oml 35342  df-covers 35429  df-ats 35430  df-atl 35461  df-cvlat 35485  df-hlat 35514  df-llines 35661  df-lplanes 35662

This theorem is referenced by:  islpln2a  35711