Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llnneat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem llnneat 38374
Description: A lattice line is not an atom. (Contributed by NM, 19-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llnneat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
llnneat.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
llnneat ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁) → ¬ 𝑋𝐴)

Proof of Theorem llnneat
StepHypRef Expression
1 hllat 38222 . . 3 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2 eqid 2733 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3 llnneat.n . . . 4 𝑁 = (LLines‘𝐾)
42, 3llnbase 38369 . . 3 (𝑋𝑁𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5 eqid 2733 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
62, 5latref 18391 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
71, 4, 6syl2an 597 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
8 llnneat.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
95, 8, 3llnnleat 38373 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑋𝐴) → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
1093expia 1122 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁) → (𝑋𝐴 → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑋))
117, 10mt2d 136 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁) → ¬ 𝑋𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5148  cfv 6541  Basecbs 17141  lecple 17201  Latclat 18381  Atomscatm 38122  HLchlt 38209  LLinesclln 38351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-proset 18245  df-poset 18263  df-plt 18280  df-glb 18297  df-p0 18375  df-lat 18382  df-covers 38125  df-ats 38126  df-atl 38157  df-cvlat 38181  df-hlat 38210  df-llines 38358
This theorem is referenced by:  2atneat  38375  islln2a  38377  cdleme22b  39201  cdlemh  39677
  Copyright terms: Public domain W3C validator