Theorem llnneat 38896

Description: A lattice line is not an atom. (Contributed by NM, 19-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
llnneat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
llnneat.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
llnneat	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem llnneat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 38744	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		llnneat.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
4	2, 3	llnbase 38891	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑁 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
6	2, 5	latref 18404	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
7	1, 4, 6	syl2an 595	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
8		llnneat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9	5, 8, 3	llnnleat 38895	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
10	9	3expia 1118	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) → (𝑋 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑋))
11	7, 10	mt2d 136	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  ‘cfv 6536  Basecbs 17151  lecple 17211  Latclat 18394  Atomscatm 38644  HLchlt 38731  LLinesclln 38873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-glb 18310  df-p0 18388  df-lat 18395  df-covers 38647  df-ats 38648  df-atl 38679  df-cvlat 38703  df-hlat 38732  df-llines 38880

This theorem is referenced by:  2atneat  38897  islln2a  38899  cdleme22b  39723  cdlemh  40199