Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llnneat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem llnneat 35589
Description: A lattice line is not an atom. (Contributed by NM, 19-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llnneat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
llnneat.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
llnneat ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁) → ¬ 𝑋𝐴)

Proof of Theorem llnneat
StepHypRef Expression
1 hllat 35438 . . 3 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2 eqid 2825 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3 llnneat.n . . . 4 𝑁 = (LLines‘𝐾)
42, 3llnbase 35584 . . 3 (𝑋𝑁𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5 eqid 2825 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
62, 5latref 17406 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
71, 4, 6syl2an 591 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
8 llnneat.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
95, 8, 3llnnleat 35588 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑋𝐴) → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
1093expia 1156 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁) → (𝑋𝐴 → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑋))
117, 10mt2d 134 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁) → ¬ 𝑋𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166   class class class wbr 4873  cfv 6123  Basecbs 16222  lecple 16312  Latclat 17398  Atomscatm 35338  HLchlt 35425  LLinesclln 35566
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-id 5250  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-proset 17281  df-poset 17299  df-plt 17311  df-glb 17328  df-p0 17392  df-lat 17399  df-covers 35341  df-ats 35342  df-atl 35373  df-cvlat 35397  df-hlat 35426  df-llines 35573
This theorem is referenced by:  2atneat  35590  islln2a  35592  cdleme22b  36416  cdlemh  36892
  Copyright terms: Public domain W3C validator