Theorem llnneat 40387

Description: A lattice line is not an atom. (Contributed by NM, 19-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
llnneat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
llnneat.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
llnneat	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem llnneat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 40236	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		llnneat.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
4	2, 3	llnbase 40382	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑁 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
6	2, 5	latref 18529	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
7	1, 4, 6	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
8		llnneat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9	5, 8, 3	llnnleat 40386	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
10	9	3expia 1139	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) → (𝑋 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑋))
11	7, 10	mt2d 137	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  Basecbs 17301  lecple 17349  Latclat 18519  Atomscatm 40136  HLchlt 40223  LLinesclln 40364

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-proset 18382  df-poset 18401  df-plt 18416  df-glb 18433  df-p0 18511  df-lat 18520  df-covers 40139  df-ats 40140  df-atl 40171  df-cvlat 40195  df-hlat 40224  df-llines 40371

This theorem is used by:  2atneat  40388  islln2a  40390  cdleme22b  41214  cdlemh  41690