Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llnneat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem llnneat 38991
Description: A lattice line is not an atom. (Contributed by NM, 19-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llnneat.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
llnneat.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
llnneat ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem llnneat
StepHypRef Expression
1 hllat 38839 . . 3 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
2 eqid 2727 . . . 4 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
3 llnneat.n . . . 4 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
42, 3llnbase 38986 . . 3 (𝑋 ∈ 𝑁 β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5 eqid 2727 . . . 4 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
62, 5latref 18438 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)𝑋)
71, 4, 6syl2an 594 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)𝑋)
8 llnneat.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
95, 8, 3llnnleat 38990 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ Β¬ 𝑋(leβ€˜πΎ)𝑋)
1093expia 1118 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) β†’ (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ Β¬ 𝑋(leβ€˜πΎ)𝑋))
117, 10mt2d 136 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5150  β€˜cfv 6551  Basecbs 17185  lecple 17245  Latclat 18428  Atomscatm 38739  HLchlt 38826  LLinesclln 38968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-proset 18292  df-poset 18310  df-plt 18327  df-glb 18344  df-p0 18422  df-lat 18429  df-covers 38742  df-ats 38743  df-atl 38774  df-cvlat 38798  df-hlat 38827  df-llines 38975
This theorem is referenced by:  2atneat  38992  islln2a  38994  cdleme22b  39818  cdlemh  40294
  Copyright terms: Public domain W3C validator