Theorem llnneat 38374

Description: A lattice line is not an atom. (Contributed by NM, 19-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
llnneat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
llnneat.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
llnneat	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem llnneat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 38222	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		llnneat.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
4	2, 3	llnbase 38369	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑁 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
6	2, 5	latref 18391	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
7	1, 4, 6	syl2an 597	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
8		llnneat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9	5, 8, 3	llnnleat 38373	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
10	9	3expia 1122	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) → (𝑋 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑋))
11	7, 10	mt2d 136	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5148  ‘cfv 6541  Basecbs 17141  lecple 17201  Latclat 18381  Atomscatm 38122  HLchlt 38209  LLinesclln 38351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-proset 18245  df-poset 18263  df-plt 18280  df-glb 18297  df-p0 18375  df-lat 18382  df-covers 38125  df-ats 38126  df-atl 38157  df-cvlat 38181  df-hlat 38210  df-llines 38358

This theorem is referenced by:  2atneat  38375  islln2a  38377  cdleme22b  39201  cdlemh  39677