Theorem llnneat 37528

Description: A lattice line is not an atom. (Contributed by NM, 19-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
llnneat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
llnneat.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
llnneat	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem llnneat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 37377	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		llnneat.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
4	2, 3	llnbase 37523	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑁 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
6	2, 5	latref 18159	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
7	1, 4, 6	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
8		llnneat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9	5, 8, 3	llnnleat 37527	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
10	9	3expia 1120	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) → (𝑋 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑋))
11	7, 10	mt2d 136	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  lecple 16969  Latclat 18149  Atomscatm 37277  HLchlt 37364  LLinesclln 37505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-glb 18065  df-p0 18143  df-lat 18150  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365  df-llines 37512

This theorem is referenced by:  2atneat  37529  islln2a  37531  cdleme22b  38355  cdlemh  38831