Theorem llnneat 39533

Description: A lattice line is not an atom. (Contributed by NM, 19-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
llnneat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
llnneat.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
llnneat	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem llnneat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39381	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		llnneat.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
4	2, 3	llnbase 39528	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑁 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
6	2, 5	latref 18451	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
7	1, 4, 6	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
8		llnneat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9	5, 8, 3	llnnleat 39532	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
10	9	3expia 1121	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) → (𝑋 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑋))
11	7, 10	mt2d 136	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  Basecbs 17228  lecple 17278  Latclat 18441  Atomscatm 39281  HLchlt 39368  LLinesclln 39510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-proset 18306  df-poset 18325  df-plt 18340  df-glb 18357  df-p0 18435  df-lat 18442  df-covers 39284  df-ats 39285  df-atl 39316  df-cvlat 39340  df-hlat 39369  df-llines 39517

This theorem is referenced by:  2atneat  39534  islln2a  39536  cdleme22b  40360  cdlemh  40836