Theorem dihwN 40650

Description: Value of isomorphism H at the fiducial hyperplane 𝑊. (Contributed by NM, 25-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihw.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihw.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihw.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dihw.o	⊢ 0 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
dihw.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihw.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
dihwN	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑊) = (𝑇 × { 0 }))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐾   𝑓,𝑊

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝑇(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐼(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem dihwN

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihw.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2	1	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐻)
3		dihw.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
4		dihw.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5	3, 4	lhpbase 39359	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
6	2, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐵)
7	1	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
8	7	hllatd 38724	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
9		eqid 2724	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
10	3, 9	latref 18396	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → 𝑊(le‘𝐾)𝑊)
11	8, 6, 10	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊(le‘𝐾)𝑊)
12	6, 11	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊(le‘𝐾)𝑊))
13		dihw.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
14		eqid 2724	. . . 4 ⊢ ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
15	3, 9, 4, 13, 14	dihvalb 40598	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘𝑊) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊))
16	1, 12, 15	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑊) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊))
17		dihw.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
18		dihw.o	. . . 4 ⊢ 0 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
19		eqid 2724	. . . 4 ⊢ ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
20	3, 9, 4, 17, 18, 19, 14	dibval2 40505	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊(le‘𝐾)𝑊)) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊) = ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊) × { 0 }))
21	1, 12, 20	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊) = ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊) × { 0 }))
22		eqid 2724	. . . . . 6 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
23	3, 9, 4, 17, 22, 19	diaval 40393	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊(le‘𝐾)𝑊)) → (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊) = {𝑔 ∈ 𝑇 ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)(le‘𝐾)𝑊})
24	1, 12, 23	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊) = {𝑔 ∈ 𝑇 ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)(le‘𝐾)𝑊})
25	9, 4, 17, 22	trlle 39545	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)(le‘𝐾)𝑊)
26	1, 25	sylan 579	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)(le‘𝐾)𝑊)
27	26	ralrimiva 3138	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑔 ∈ 𝑇 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)(le‘𝐾)𝑊)
28		rabid2 3456	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = {𝑔 ∈ 𝑇 ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)(le‘𝐾)𝑊} ↔ ∀𝑔 ∈ 𝑇 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)(le‘𝐾)𝑊)
29	27, 28	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = {𝑔 ∈ 𝑇 ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)(le‘𝐾)𝑊})
30	24, 29	eqtr4d 2767	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊) = 𝑇)
31	30	xpeq1d 5695	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊) × { 0 }) = (𝑇 × { 0 }))
32	16, 21, 31	3eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑊) = (𝑇 × { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3053  {crab 3424  {csn 4620   class class class wbr 5138   ↦ cmpt 5221   I cid 5563   × cxp 5664   ↾ cres 5668  ‘cfv 6533  Basecbs 17143  lecple 17203  Latclat 18386  HLchlt 38710  LHypclh 39345  LTrncltrn 39462  trLctrl 39519  DIsoAcdia 40389  DIsoBcdib 40499  DIsoHcdih 40589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-map 8818  df-proset 18250  df-poset 18268  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18387  df-oposet 38536  df-ol 38538  df-oml 38539  df-covers 38626  df-ats 38627  df-atl 38658  df-cvlat 38682  df-hlat 38711  df-lhyp 39349  df-laut 39350  df-ldil 39465  df-ltrn 39466  df-trl 39520  df-disoa 40390  df-dib 40500  df-dih 40590

This theorem is referenced by: (None)