Theorem dihwN 41232

Description: Value of isomorphism H at the fiducial hyperplane 𝑊. (Contributed by NM, 25-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihw.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihw.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihw.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dihw.o	⊢ 0 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
dihw.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihw.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
dihwN	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑊) = (𝑇 × { 0 }))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐾   𝑓,𝑊

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝑇(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐼(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem dihwN

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihw.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2	1	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐻)
3		dihw.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
4		dihw.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5	3, 4	lhpbase 39941	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
6	2, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐵)
7	1	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
8	7	hllatd 39306	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
9		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
10	3, 9	latref 18460	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → 𝑊(le‘𝐾)𝑊)
11	8, 6, 10	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊(le‘𝐾)𝑊)
12	6, 11	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊(le‘𝐾)𝑊))
13		dihw.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
14		eqid 2734	. . . 4 ⊢ ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
15	3, 9, 4, 13, 14	dihvalb 41180	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘𝑊) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊))
16	1, 12, 15	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑊) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊))
17		dihw.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
18		dihw.o	. . . 4 ⊢ 0 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
19		eqid 2734	. . . 4 ⊢ ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
20	3, 9, 4, 17, 18, 19, 14	dibval2 41087	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊(le‘𝐾)𝑊)) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊) = ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊) × { 0 }))
21	1, 12, 20	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊) = ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊) × { 0 }))
22		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
23	3, 9, 4, 17, 22, 19	diaval 40975	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊(le‘𝐾)𝑊)) → (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊) = {𝑔 ∈ 𝑇 ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)(le‘𝐾)𝑊})
24	1, 12, 23	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊) = {𝑔 ∈ 𝑇 ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)(le‘𝐾)𝑊})
25	9, 4, 17, 22	trlle 40127	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)(le‘𝐾)𝑊)
26	1, 25	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)(le‘𝐾)𝑊)
27	26	ralrimiva 3133	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑔 ∈ 𝑇 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)(le‘𝐾)𝑊)
28		rabid2 3454	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = {𝑔 ∈ 𝑇 ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)(le‘𝐾)𝑊} ↔ ∀𝑔 ∈ 𝑇 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)(le‘𝐾)𝑊)
29	27, 28	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = {𝑔 ∈ 𝑇 ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)(le‘𝐾)𝑊})
30	24, 29	eqtr4d 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊) = 𝑇)
31	30	xpeq1d 5696	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊) × { 0 }) = (𝑇 × { 0 }))
32	16, 21, 31	3eqtrd 2773	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑊) = (𝑇 × { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3050  {crab 3420  {csn 4608   class class class wbr 5125   ↦ cmpt 5207   I cid 5559   × cxp 5665   ↾ cres 5669  ‘cfv 6542  Basecbs 17230  lecple 17284  Latclat 18450  HLchlt 39292  LHypclh 39927  LTrncltrn 40044  trLctrl 40101  DIsoAcdia 40971  DIsoBcdib 41081  DIsoHcdih 41171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5261  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-id 5560  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-map 8851  df-proset 18315  df-poset 18334  df-plt 18349  df-lub 18365  df-glb 18366  df-join 18367  df-meet 18368  df-p0 18444  df-p1 18445  df-lat 18451  df-oposet 39118  df-ol 39120  df-oml 39121  df-covers 39208  df-ats 39209  df-atl 39240  df-cvlat 39264  df-hlat 39293  df-lhyp 39931  df-laut 39932  df-ldil 40047  df-ltrn 40048  df-trl 40102  df-disoa 40972  df-dib 41082  df-dih 41172

This theorem is referenced by: (None)