Theorem dihwN 41246

Description: Value of isomorphism H at the fiducial hyperplane 𝑊. (Contributed by NM, 25-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihw.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihw.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihw.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dihw.o	⊢ 0 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
dihw.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihw.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
dihwN	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑊) = (𝑇 × { 0 }))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐾   𝑓,𝑊

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝑇(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐼(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem dihwN

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihw.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2	1	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐻)
3		dihw.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
4		dihw.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5	3, 4	lhpbase 39955	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
6	2, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐵)
7	1	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
8	7	hllatd 39320	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
9		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
10	3, 9	latref 18511	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → 𝑊(le‘𝐾)𝑊)
11	8, 6, 10	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊(le‘𝐾)𝑊)
12	6, 11	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊(le‘𝐾)𝑊))
13		dihw.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
14		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
15	3, 9, 4, 13, 14	dihvalb 41194	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘𝑊) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊))
16	1, 12, 15	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑊) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊))
17		dihw.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
18		dihw.o	. . . 4 ⊢ 0 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
19		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
20	3, 9, 4, 17, 18, 19, 14	dibval2 41101	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊(le‘𝐾)𝑊)) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊) = ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊) × { 0 }))
21	1, 12, 20	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊) = ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊) × { 0 }))
22		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
23	3, 9, 4, 17, 22, 19	diaval 40989	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊(le‘𝐾)𝑊)) → (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊) = {𝑔 ∈ 𝑇 ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)(le‘𝐾)𝑊})
24	1, 12, 23	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊) = {𝑔 ∈ 𝑇 ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)(le‘𝐾)𝑊})
25	9, 4, 17, 22	trlle 40141	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)(le‘𝐾)𝑊)
26	1, 25	sylan 579	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)(le‘𝐾)𝑊)
27	26	ralrimiva 3152	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑔 ∈ 𝑇 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)(le‘𝐾)𝑊)
28		rabid2 3478	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = {𝑔 ∈ 𝑇 ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)(le‘𝐾)𝑊} ↔ ∀𝑔 ∈ 𝑇 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)(le‘𝐾)𝑊)
29	27, 28	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = {𝑔 ∈ 𝑇 ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)(le‘𝐾)𝑊})
30	24, 29	eqtr4d 2783	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊) = 𝑇)
31	30	xpeq1d 5729	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊) × { 0 }) = (𝑇 × { 0 }))
32	16, 21, 31	3eqtrd 2784	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑊) = (𝑇 × { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  {crab 3443  {csn 4648   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249   I cid 5592   × cxp 5698   ↾ cres 5702  ‘cfv 6573  Basecbs 17258  lecple 17318  Latclat 18501  HLchlt 39306  LHypclh 39941  LTrncltrn 40058  trLctrl 40115  DIsoAcdia 40985  DIsoBcdib 41095  DIsoHcdih 41185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-map 8886  df-proset 18365  df-poset 18383  df-plt 18400  df-lub 18416  df-glb 18417  df-join 18418  df-meet 18419  df-p0 18495  df-p1 18496  df-lat 18502  df-oposet 39132  df-ol 39134  df-oml 39135  df-covers 39222  df-ats 39223  df-atl 39254  df-cvlat 39278  df-hlat 39307  df-lhyp 39945  df-laut 39946  df-ldil 40061  df-ltrn 40062  df-trl 40116  df-disoa 40986  df-dib 41096  df-dih 41186

This theorem is referenced by: (None)