Theorem dihwN 41584

Description: Value of isomorphism H at the fiducial hyperplane 𝑊. (Contributed by NM, 25-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihw.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihw.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihw.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dihw.o	⊢ 0 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
dihw.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihw.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
dihwN	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑊) = (𝑇 × { 0 }))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐾   𝑓,𝑊

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝑇(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐼(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem dihwN

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihw.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2	1	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐻)
3		dihw.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
4		dihw.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5	3, 4	lhpbase 40293	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
6	2, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐵)
7	1	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
8	7	hllatd 39659	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
9		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
10	3, 9	latref 18366	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → 𝑊(le‘𝐾)𝑊)
11	8, 6, 10	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊(le‘𝐾)𝑊)
12	6, 11	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊(le‘𝐾)𝑊))
13		dihw.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
14		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
15	3, 9, 4, 13, 14	dihvalb 41532	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘𝑊) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊))
16	1, 12, 15	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑊) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊))
17		dihw.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
18		dihw.o	. . . 4 ⊢ 0 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
19		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
20	3, 9, 4, 17, 18, 19, 14	dibval2 41439	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊(le‘𝐾)𝑊)) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊) = ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊) × { 0 }))
21	1, 12, 20	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊) = ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊) × { 0 }))
22		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
23	3, 9, 4, 17, 22, 19	diaval 41327	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊(le‘𝐾)𝑊)) → (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊) = {𝑔 ∈ 𝑇 ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)(le‘𝐾)𝑊})
24	1, 12, 23	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊) = {𝑔 ∈ 𝑇 ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)(le‘𝐾)𝑊})
25	9, 4, 17, 22	trlle 40479	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)(le‘𝐾)𝑊)
26	1, 25	sylan 581	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)(le‘𝐾)𝑊)
27	26	ralrimiva 3127	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑔 ∈ 𝑇 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)(le‘𝐾)𝑊)
28		rabid2 3431	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = {𝑔 ∈ 𝑇 ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)(le‘𝐾)𝑊} ↔ ∀𝑔 ∈ 𝑇 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)(le‘𝐾)𝑊)
29	27, 28	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = {𝑔 ∈ 𝑇 ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)(le‘𝐾)𝑊})
30	24, 29	eqtr4d 2773	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊) = 𝑇)
31	30	xpeq1d 5652	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊) × { 0 }) = (𝑇 × { 0 }))
32	16, 21, 31	3eqtrd 2774	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑊) = (𝑇 × { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3050  {crab 3398  {csn 4579   class class class wbr 5097   ↦ cmpt 5178   I cid 5517   × cxp 5621   ↾ cres 5625  ‘cfv 6491  Basecbs 17138  lecple 17186  Latclat 18356  HLchlt 39645  LHypclh 40279  LTrncltrn 40396  trLctrl 40453  DIsoAcdia 41323  DIsoBcdib 41433  DIsoHcdih 41523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-map 8767  df-proset 18219  df-poset 18238  df-plt 18253  df-lub 18269  df-glb 18270  df-join 18271  df-meet 18272  df-p0 18348  df-p1 18349  df-lat 18357  df-oposet 39471  df-ol 39473  df-oml 39474  df-covers 39561  df-ats 39562  df-atl 39593  df-cvlat 39617  df-hlat 39646  df-lhyp 40283  df-laut 40284  df-ldil 40399  df-ltrn 40400  df-trl 40454  df-disoa 41324  df-dib 41434  df-dih 41524

This theorem is referenced by: (None)