Theorem dihwN 40699

Description: Value of isomorphism H at the fiducial hyperplane 𝑊. (Contributed by NM, 25-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihw.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihw.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihw.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dihw.o	⊢ 0 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
dihw.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihw.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
dihwN	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑊) = (𝑇 × { 0 }))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐾   𝑓,𝑊

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝑇(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐼(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem dihwN

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihw.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2	1	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐻)
3		dihw.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
4		dihw.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5	3, 4	lhpbase 39408	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
6	2, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐵)
7	1	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
8	7	hllatd 38773	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
9		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
10	3, 9	latref 18424	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → 𝑊(le‘𝐾)𝑊)
11	8, 6, 10	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊(le‘𝐾)𝑊)
12	6, 11	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊(le‘𝐾)𝑊))
13		dihw.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
14		eqid 2727	. . . 4 ⊢ ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
15	3, 9, 4, 13, 14	dihvalb 40647	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘𝑊) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊))
16	1, 12, 15	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑊) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊))
17		dihw.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
18		dihw.o	. . . 4 ⊢ 0 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
19		eqid 2727	. . . 4 ⊢ ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
20	3, 9, 4, 17, 18, 19, 14	dibval2 40554	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊(le‘𝐾)𝑊)) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊) = ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊) × { 0 }))
21	1, 12, 20	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊) = ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊) × { 0 }))
22		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
23	3, 9, 4, 17, 22, 19	diaval 40442	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊(le‘𝐾)𝑊)) → (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊) = {𝑔 ∈ 𝑇 ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)(le‘𝐾)𝑊})
24	1, 12, 23	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊) = {𝑔 ∈ 𝑇 ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)(le‘𝐾)𝑊})
25	9, 4, 17, 22	trlle 39594	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)(le‘𝐾)𝑊)
26	1, 25	sylan 579	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)(le‘𝐾)𝑊)
27	26	ralrimiva 3141	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑔 ∈ 𝑇 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)(le‘𝐾)𝑊)
28		rabid2 3459	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = {𝑔 ∈ 𝑇 ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)(le‘𝐾)𝑊} ↔ ∀𝑔 ∈ 𝑇 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)(le‘𝐾)𝑊)
29	27, 28	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = {𝑔 ∈ 𝑇 ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)(le‘𝐾)𝑊})
30	24, 29	eqtr4d 2770	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊) = 𝑇)
31	30	xpeq1d 5701	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊) × { 0 }) = (𝑇 × { 0 }))
32	16, 21, 31	3eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑊) = (𝑇 × { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3056  {crab 3427  {csn 4624   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225   I cid 5569   × cxp 5670   ↾ cres 5674  ‘cfv 6542  Basecbs 17171  lecple 17231  Latclat 18414  HLchlt 38759  LHypclh 39394  LTrncltrn 39511  trLctrl 39568  DIsoAcdia 40438  DIsoBcdib 40548  DIsoHcdih 40638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-map 8838  df-proset 18278  df-poset 18296  df-plt 18313  df-lub 18329  df-glb 18330  df-join 18331  df-meet 18332  df-p0 18408  df-p1 18409  df-lat 18415  df-oposet 38585  df-ol 38587  df-oml 38588  df-covers 38675  df-ats 38676  df-atl 38707  df-cvlat 38731  df-hlat 38760  df-lhyp 39398  df-laut 39399  df-ldil 39514  df-ltrn 39515  df-trl 39569  df-disoa 40439  df-dib 40549  df-dih 40639

This theorem is referenced by: (None)