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Theorem lncmp 39158
Description: If two lines are comparable, they are equal. (Contributed by NM, 30-Apr-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lncmp.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
lncmp.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lncmp.n 𝑁 = (Linesβ€˜πΎ)
lncmp.m 𝑀 = (pmapβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lncmp (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ 𝑋 = π‘Œ))

Proof of Theorem lncmp
Dummy variables π‘ž 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplrl 774 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁)
2 simpll1 1209 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ HL)
3 simpll2 1210 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
4 lncmp.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
5 eqid 2724 . . . . . . 7 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
6 eqid 2724 . . . . . . 7 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
7 lncmp.n . . . . . . 7 𝑁 = (Linesβ€˜πΎ)
8 lncmp.m . . . . . . 7 𝑀 = (pmapβ€˜πΎ)
94, 5, 6, 7, 8isline3 39151 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ↔ βˆƒπ‘ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)βˆƒπ‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))))
102, 3, 9syl2anc 583 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ↔ βˆƒπ‘ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)βˆƒπ‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))))
111, 10mpbid 231 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)βˆƒπ‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))
12 simp3rr 1244 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))) β†’ 𝑋 = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))
13 simp1l1 1263 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
14 simp1l3 1265 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
15 simp1rr 1236 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))) β†’ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)
16 simp3ll 1241 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))) β†’ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
17 simp3lr 1242 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))) β†’ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
18 simp3rl 1243 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))) β†’ 𝑝 β‰  π‘ž)
19 lncmp.l . . . . . . . . . 10 ≀ = (leβ€˜πΎ)
2013hllatd 38738 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
214, 6atbase 38663 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
2216, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
23 simp1l2 1264 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
2419, 5, 6hlatlej1 38749 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ 𝑝 ≀ (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))
2513, 16, 17, 24syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))) β†’ 𝑝 ≀ (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))
2625, 12breqtrrd 5167 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))) β†’ 𝑝 ≀ 𝑋)
27 simp2 1134 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))) β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
284, 19, 20, 22, 23, 14, 26, 27lattrd 18407 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))) β†’ 𝑝 ≀ π‘Œ)
294, 6atbase 38663 . . . . . . . . . . 11 (π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ) β†’ π‘ž ∈ 𝐡)
3017, 29syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))) β†’ π‘ž ∈ 𝐡)
3119, 5, 6hlatlej2 38750 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ π‘ž ≀ (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))
3213, 16, 17, 31syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))) β†’ π‘ž ≀ (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))
3332, 12breqtrrd 5167 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))) β†’ π‘ž ≀ 𝑋)
344, 19, 20, 30, 23, 14, 33, 27lattrd 18407 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))) β†’ π‘ž ≀ π‘Œ)
354, 19, 5, 6, 7, 8lneq2at 39153 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) ∧ (𝑝 ≀ π‘Œ ∧ π‘ž ≀ π‘Œ)) β†’ π‘Œ = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))
3613, 14, 15, 16, 17, 18, 28, 34, 35syl332anc 1398 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))) β†’ π‘Œ = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))
3712, 36eqtr4d 2767 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))) β†’ 𝑋 = π‘Œ)
38373expia 1118 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ 𝑋 = π‘Œ))
3938expd 415 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) β†’ 𝑋 = π‘Œ)))
4039rexlimdvv 3202 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)βˆƒπ‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) β†’ 𝑋 = π‘Œ))
4111, 40mpd 15 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑋 = π‘Œ)
4241ex 412 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ β†’ 𝑋 = π‘Œ))
43 simpl1 1188 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
4443hllatd 38738 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
45 simpl2 1189 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
464, 19latref 18402 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ≀ 𝑋)
4744, 45, 46syl2anc 583 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) β†’ 𝑋 ≀ 𝑋)
48 breq2 5143 . . 3 (𝑋 = π‘Œ β†’ (𝑋 ≀ 𝑋 ↔ 𝑋 ≀ π‘Œ))
4947, 48syl5ibcom 244 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) β†’ (𝑋 = π‘Œ β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ))
5042, 49impbid 211 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ 𝑋 = π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆƒwrex 3062   class class class wbr 5139  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17149  lecple 17209  joincjn 18272  Latclat 18392  Atomscatm 38637  HLchlt 38724  Linesclines 38869  pmapcpmap 38872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-proset 18256  df-poset 18274  df-plt 18291  df-lub 18307  df-glb 18308  df-join 18309  df-meet 18310  df-p0 18386  df-lat 18393  df-clat 18460  df-oposet 38550  df-ol 38552  df-oml 38553  df-covers 38640  df-ats 38641  df-atl 38672  df-cvlat 38696  df-hlat 38725  df-lines 38876  df-pmap 38879
This theorem is referenced by:  2lnat  39159
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