Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lncmp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lncmp 39256
Description: If two lines are comparable, they are equal. (Contributed by NM, 30-Apr-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lncmp.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
lncmp.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lncmp.n 𝑁 = (Linesβ€˜πΎ)
lncmp.m 𝑀 = (pmapβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lncmp (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ 𝑋 = π‘Œ))

Proof of Theorem lncmp
Dummy variables π‘ž 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplrl 776 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁)
2 simpll1 1210 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ HL)
3 simpll2 1211 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
4 lncmp.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
5 eqid 2728 . . . . . . 7 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
6 eqid 2728 . . . . . . 7 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
7 lncmp.n . . . . . . 7 𝑁 = (Linesβ€˜πΎ)
8 lncmp.m . . . . . . 7 𝑀 = (pmapβ€˜πΎ)
94, 5, 6, 7, 8isline3 39249 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ↔ βˆƒπ‘ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)βˆƒπ‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))))
102, 3, 9syl2anc 583 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ↔ βˆƒπ‘ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)βˆƒπ‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))))
111, 10mpbid 231 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)βˆƒπ‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))
12 simp3rr 1245 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))) β†’ 𝑋 = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))
13 simp1l1 1264 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
14 simp1l3 1266 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
15 simp1rr 1237 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))) β†’ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)
16 simp3ll 1242 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))) β†’ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
17 simp3lr 1243 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))) β†’ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
18 simp3rl 1244 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))) β†’ 𝑝 β‰  π‘ž)
19 lncmp.l . . . . . . . . . 10 ≀ = (leβ€˜πΎ)
2013hllatd 38836 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
214, 6atbase 38761 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
2216, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
23 simp1l2 1265 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
2419, 5, 6hlatlej1 38847 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ 𝑝 ≀ (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))
2513, 16, 17, 24syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))) β†’ 𝑝 ≀ (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))
2625, 12breqtrrd 5176 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))) β†’ 𝑝 ≀ 𝑋)
27 simp2 1135 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))) β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
284, 19, 20, 22, 23, 14, 26, 27lattrd 18438 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))) β†’ 𝑝 ≀ π‘Œ)
294, 6atbase 38761 . . . . . . . . . . 11 (π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ) β†’ π‘ž ∈ 𝐡)
3017, 29syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))) β†’ π‘ž ∈ 𝐡)
3119, 5, 6hlatlej2 38848 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ π‘ž ≀ (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))
3213, 16, 17, 31syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))) β†’ π‘ž ≀ (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))
3332, 12breqtrrd 5176 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))) β†’ π‘ž ≀ 𝑋)
344, 19, 20, 30, 23, 14, 33, 27lattrd 18438 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))) β†’ π‘ž ≀ π‘Œ)
354, 19, 5, 6, 7, 8lneq2at 39251 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ 𝑝 β‰  π‘ž) ∧ (𝑝 ≀ π‘Œ ∧ π‘ž ≀ π‘Œ)) β†’ π‘Œ = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))
3613, 14, 15, 16, 17, 18, 28, 34, 35syl332anc 1399 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))) β†’ π‘Œ = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))
3712, 36eqtr4d 2771 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))) β†’ 𝑋 = π‘Œ)
38373expia 1119 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ 𝑋 = π‘Œ))
3938expd 415 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ ((𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) β†’ 𝑋 = π‘Œ)))
4039rexlimdvv 3207 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)βˆƒπ‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) β†’ 𝑋 = π‘Œ))
4111, 40mpd 15 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑋 = π‘Œ)
4241ex 412 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ β†’ 𝑋 = π‘Œ))
43 simpl1 1189 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
4443hllatd 38836 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
45 simpl2 1190 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
464, 19latref 18433 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ≀ 𝑋)
4744, 45, 46syl2anc 583 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) β†’ 𝑋 ≀ 𝑋)
48 breq2 5152 . . 3 (𝑋 = π‘Œ β†’ (𝑋 ≀ 𝑋 ↔ 𝑋 ≀ π‘Œ))
4947, 48syl5ibcom 244 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) β†’ (𝑋 = π‘Œ β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ))
5042, 49impbid 211 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ 𝑋 = π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937  βˆƒwrex 3067   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  lecple 17240  joincjn 18303  Latclat 18423  Atomscatm 38735  HLchlt 38822  Linesclines 38967  pmapcpmap 38970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-proset 18287  df-poset 18305  df-plt 18322  df-lub 18338  df-glb 18339  df-join 18340  df-meet 18341  df-p0 18417  df-lat 18424  df-clat 18491  df-oposet 38648  df-ol 38650  df-oml 38651  df-covers 38738  df-ats 38739  df-atl 38770  df-cvlat 38794  df-hlat 38823  df-lines 38974  df-pmap 38977
This theorem is referenced by:  2lnat  39257
  Copyright terms: Public domain W3C validator