Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3atnelvolN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3atnelvolN 37033
 Description: The join of 3 atoms is not a lattice volume. (Contributed by NM, 17-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
3atnelvol.j = (join‘𝐾)
3atnelvol.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3atnelvol.v 𝑉 = (LVols‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
3atnelvolN ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ¬ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ 𝑉)

Proof of Theorem 3atnelvolN
StepHypRef Expression
1 hllat 36810 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
21adantr 484 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
3 eqid 2798 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4 3atnelvol.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
5 3atnelvol.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
63, 4, 5hlatjcl 36814 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
763adant3r3 1181 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
8 simpr3 1193 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅𝐴)
93, 5atbase 36736 . . . . 5 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
108, 9syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
113, 4latjcl 17673 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
122, 7, 10, 11syl3anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
13 eqid 2798 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
143, 13latref 17675 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅)(le‘𝐾)((𝑃 𝑄) 𝑅))
152, 12, 14syl2anc 587 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅)(le‘𝐾)((𝑃 𝑄) 𝑅))
16 3atnelvol.v . . . . 5 𝑉 = (LVols‘𝐾)
1713, 4, 5, 16lvolnle3at 37029 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ 𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ¬ ((𝑃 𝑄) 𝑅)(le‘𝐾)((𝑃 𝑄) 𝑅))
1817an32s 651 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ 𝑉) → ¬ ((𝑃 𝑄) 𝑅)(le‘𝐾)((𝑃 𝑄) 𝑅))
1918ex 416 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ 𝑉 → ¬ ((𝑃 𝑄) 𝑅)(le‘𝐾)((𝑃 𝑄) 𝑅)))
2015, 19mt2d 138 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ¬ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ 𝑉)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5034  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  Basecbs 16495  lecple 16584  joincjn 17566  Latclat 17667  Atomscatm 36710  HLchlt 36797  LVolsclvol 36940 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4805  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-id 5429  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-proset 17550  df-poset 17568  df-plt 17580  df-lub 17596  df-glb 17597  df-join 17598  df-meet 17599  df-p0 17661  df-lat 17668  df-clat 17730  df-oposet 36623  df-ol 36625  df-oml 36626  df-covers 36713  df-ats 36714  df-atl 36745  df-cvlat 36769  df-hlat 36798  df-llines 36945  df-lplanes 36946  df-lvols 36947 This theorem is referenced by:  2atnelvolN  37034  islvol2aN  37039
 Copyright terms: Public domain W3C validator