Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3atnelvolN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3atnelvolN 35474
Description: The join of 3 atoms is not a lattice volume. (Contributed by NM, 17-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
3atnelvol.j = (join‘𝐾)
3atnelvol.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3atnelvol.v 𝑉 = (LVols‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
3atnelvolN ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ¬ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ 𝑉)

Proof of Theorem 3atnelvolN
StepHypRef Expression
1 hllat 35251 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
21adantr 472 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
3 eqid 2764 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4 3atnelvol.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
5 3atnelvol.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
63, 4, 5hlatjcl 35255 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
763adant3r3 1235 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
8 simpr3 1252 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅𝐴)
93, 5atbase 35177 . . . . 5 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
108, 9syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
113, 4latjcl 17318 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
122, 7, 10, 11syl3anc 1490 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
13 eqid 2764 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
143, 13latref 17320 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅)(le‘𝐾)((𝑃 𝑄) 𝑅))
152, 12, 14syl2anc 579 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅)(le‘𝐾)((𝑃 𝑄) 𝑅))
16 3atnelvol.v . . . . 5 𝑉 = (LVols‘𝐾)
1713, 4, 5, 16lvolnle3at 35470 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ 𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ¬ ((𝑃 𝑄) 𝑅)(le‘𝐾)((𝑃 𝑄) 𝑅))
1817an32s 642 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ 𝑉) → ¬ ((𝑃 𝑄) 𝑅)(le‘𝐾)((𝑃 𝑄) 𝑅))
1918ex 401 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ 𝑉 → ¬ ((𝑃 𝑄) 𝑅)(le‘𝐾)((𝑃 𝑄) 𝑅)))
2015, 19mt2d 133 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ¬ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155   class class class wbr 4808  cfv 6067  (class class class)co 6841  Basecbs 16131  lecple 16222  joincjn 17211  Latclat 17312  Atomscatm 35151  HLchlt 35238  LVolsclvol 35381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-rep 4929  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-op 4340  df-uni 4594  df-iun 4677  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-id 5184  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-proset 17195  df-poset 17213  df-plt 17225  df-lub 17241  df-glb 17242  df-join 17243  df-meet 17244  df-p0 17306  df-lat 17313  df-clat 17375  df-oposet 35064  df-ol 35066  df-oml 35067  df-covers 35154  df-ats 35155  df-atl 35186  df-cvlat 35210  df-hlat 35239  df-llines 35386  df-lplanes 35387  df-lvols 35388
This theorem is referenced by:  2atnelvolN  35475  islvol2aN  35480
  Copyright terms: Public domain W3C validator