Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplnnelln Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lplnnelln 36790
Description: No lattice plane is a lattice line. (Contributed by NM, 19-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnnelln.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
lplnnelln.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lplnnelln ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃) → ¬ 𝑋𝑁)

Proof of Theorem lplnnelln
StepHypRef Expression
1 hllat 36607 . . 3 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2 eqid 2824 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3 lplnnelln.p . . . 4 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
42, 3lplnbase 36778 . . 3 (𝑋𝑃𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5 eqid 2824 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
62, 5latref 17663 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
71, 4, 6syl2an 598 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
8 lplnnelln.n . . . 4 𝑁 = (LLines‘𝐾)
95, 8, 3lplnnlelln 36787 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑋𝑁) → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
1093expia 1118 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃) → (𝑋𝑁 → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑋))
117, 10mt2d 138 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃) → ¬ 𝑋𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115   class class class wbr 5052  cfv 6343  Basecbs 16483  lecple 16572  Latclat 17655  HLchlt 36594  LLinesclln 36735  LPlanesclpl 36736
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-proset 17538  df-poset 17556  df-plt 17568  df-lub 17584  df-glb 17585  df-join 17586  df-meet 17587  df-p0 17649  df-lat 17656  df-clat 17718  df-oposet 36420  df-ol 36422  df-oml 36423  df-covers 36510  df-ats 36511  df-atl 36542  df-cvlat 36566  df-hlat 36595  df-llines 36742  df-lplanes 36743
This theorem is referenced by:  llncvrlpln2  36801  llncvrlpln  36802
  Copyright terms: Public domain W3C validator