Theorem lplnnelln 40205

Description: No lattice plane is a lattice line. (Contributed by NM, 19-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lplnnelln.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
lplnnelln.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lplnnelln	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)

Proof of Theorem lplnnelln

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 40022	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		lplnnelln.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
4	2, 3	lplnbase 40193	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
6	2, 5	latref 18493	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
7	1, 4, 6	syl2an 607	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
8		lplnnelln.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
9	5, 8, 3	lplnnlelln 40202	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
10	9	3expia 1137	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → (𝑋 ∈ 𝑁 → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑋))
11	7, 10	mt2d 137	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5110  ‘cfv 6533  Basecbs 17265  lecple 17313  Latclat 18483  HLchlt 40009  LLinesclln 40150  LPlanesclpl 40151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-proset 18346  df-poset 18365  df-plt 18380  df-lub 18396  df-glb 18397  df-join 18398  df-meet 18399  df-p0 18475  df-lat 18484  df-clat 18551  df-oposet 39835  df-ol 39837  df-oml 39838  df-covers 39925  df-ats 39926  df-atl 39957  df-cvlat 39981  df-hlat 40010  df-llines 40157  df-lplanes 40158

This theorem is referenced by:  llncvrlpln2  40216  llncvrlpln  40217