Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | 4at.l |
. . 3
β’ β€ =
(leβπΎ) |
2 | | 4at.j |
. . 3
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
3 | | 4at.a |
. . 3
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
4 | 1, 2, 3 | 4atlem12 38104 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β (((π β¨ π) β¨ (π
β¨ π)) β€ ((π β¨ π) β¨ (π β¨ π)) β ((π β¨ π) β¨ (π
β¨ π)) = ((π β¨ π) β¨ (π β¨ π)))) |
5 | | simp11 1204 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β πΎ β HL) |
6 | 5 | hllatd 37855 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β πΎ β Lat) |
7 | | simp23 1209 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π β π΄) |
8 | | simp31 1210 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π β π΄) |
9 | | eqid 2737 |
. . . . . . . 8
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
10 | 9, 2, 3 | hlatjcl 37858 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
11 | 5, 7, 8, 10 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
12 | | simp32 1211 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π β π΄) |
13 | | simp33 1212 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π β π΄) |
14 | 9, 2, 3 | hlatjcl 37858 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
15 | 5, 12, 13, 14 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
16 | 9, 2 | latjcl 18335 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β¨ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ)) |
17 | 6, 11, 15, 16 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β¨ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ)) |
18 | 9, 1 | latref 18337 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ ((π β¨ π) β¨ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β¨ (π β¨ π)) β€ ((π β¨ π) β¨ (π β¨ π))) |
19 | 6, 17, 18 | syl2anc 585 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β¨ (π β¨ π)) β€ ((π β¨ π) β¨ (π β¨ π))) |
20 | | breq1 5113 |
. . . 4
β’ (((π β¨ π) β¨ (π
β¨ π)) = ((π β¨ π) β¨ (π β¨ π)) β (((π β¨ π) β¨ (π
β¨ π)) β€ ((π β¨ π) β¨ (π β¨ π)) β ((π β¨ π) β¨ (π β¨ π)) β€ ((π β¨ π) β¨ (π β¨ π)))) |
21 | 19, 20 | syl5ibrcom 247 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (((π β¨ π) β¨ (π
β¨ π)) = ((π β¨ π) β¨ (π β¨ π)) β ((π β¨ π) β¨ (π
β¨ π)) β€ ((π β¨ π) β¨ (π β¨ π)))) |
22 | 21 | adantr 482 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β (((π β¨ π) β¨ (π
β¨ π)) = ((π β¨ π) β¨ (π β¨ π)) β ((π β¨ π) β¨ (π
β¨ π)) β€ ((π β¨ π) β¨ (π β¨ π)))) |
23 | 4, 22 | impbid 211 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β (((π β¨ π) β¨ (π
β¨ π)) β€ ((π β¨ π) β¨ (π β¨ π)) β ((π β¨ π) β¨ (π
β¨ π)) = ((π β¨ π) β¨ (π β¨ π)))) |