Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  4at Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4at 39075
Description: Four atoms determine a lattice volume uniquely. Three-dimensional analogue of ps-1 38939 and 3at 38952. (Contributed by NM, 11-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
4at.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
4at.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
4at.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
4at ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))

Proof of Theorem 4at
StepHypRef Expression
1 4at.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
2 4at.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
3 4at.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
41, 2, 34atlem12 39074 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
5 simp11 1201 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
65hllatd 38825 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
7 simp23 1206 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) β†’ 𝑇 ∈ 𝐴)
8 simp31 1207 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
9 eqid 2727 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
109, 2, 3hlatjcl 38828 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
115, 7, 8, 10syl3anc 1369 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) β†’ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
12 simp32 1208 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) β†’ 𝑉 ∈ 𝐴)
13 simp33 1209 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) β†’ π‘Š ∈ 𝐴)
149, 2, 3hlatjcl 38828 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) β†’ (𝑉 ∨ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
155, 12, 13, 14syl3anc 1369 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) β†’ (𝑉 ∨ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
169, 2latjcl 18424 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑉 ∨ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
176, 11, 15, 16syl3anc 1369 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
189, 1latref 18426 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
196, 17, 18syl2anc 583 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)))
20 breq1 5145 . . . 4 (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ↔ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
2119, 20syl5ibrcom 246 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
2221adantr 480 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
234, 22impbid 211 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17173  lecple 17233  joincjn 18296  Latclat 18416  Atomscatm 38724  HLchlt 38811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-proset 18280  df-poset 18298  df-plt 18315  df-lub 18331  df-glb 18332  df-join 18333  df-meet 18334  df-p0 18410  df-lat 18417  df-clat 18484  df-oposet 38637  df-ol 38639  df-oml 38640  df-covers 38727  df-ats 38728  df-atl 38759  df-cvlat 38783  df-hlat 38812  df-llines 38960  df-lplanes 38961  df-lvols 38962
This theorem is referenced by:  4at2  39076
  Copyright terms: Public domain W3C validator