Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cmtidN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cmtidN 39258
Description: Any element commutes with itself. (cmidi 31629 analog.) (Contributed by NM, 6-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cmtid.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cmtid.c 𝐶 = (cm‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cmtidN ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐶𝑋)

Proof of Theorem cmtidN
StepHypRef Expression
1 omllat 39243 . . 3 (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ Lat)
2 cmtid.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 eqid 2737 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
42, 3latref 18486 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
51, 4sylan 580 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
6 cmtid.c . . . 4 𝐶 = (cm‘𝐾)
72, 3, 6lecmtN 39257 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)𝑋𝑋𝐶𝑋))
873anidm23 1423 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)𝑋𝑋𝐶𝑋))
95, 8mpd 15 1 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐶𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  cfv 6561  Basecbs 17247  lecple 17304  Latclat 18476  cmccmtN 39174  OMLcoml 39176
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18340  df-poset 18359  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-lat 18477  df-oposet 39177  df-cmtN 39178  df-ol 39179  df-oml 39180
This theorem is referenced by:  omlspjN  39262
  Copyright terms: Public domain W3C validator