Theorem cmtidN 39239

Description: Any element commutes with itself. (cmidi 31639 analog.) (Contributed by NM, 6-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cmtid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cmtid.c	⊢ 𝐶 = (cm‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cmtidN	⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋𝐶𝑋)

Proof of Theorem cmtidN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omllat 39224	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ Lat)
2		cmtid.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
4	2, 3	latref 18499	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
5	1, 4	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
6		cmtid.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (cm‘𝐾)
7	2, 3, 6	lecmtN 39238	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)𝑋 → 𝑋𝐶𝑋))
8	7	3anidm23 1420	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)𝑋 → 𝑋𝐶𝑋))
9	5, 8	mpd 15	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋𝐶𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  Basecbs 17245  lecple 17305  Latclat 18489  cmccmtN 39155  OMLcoml 39157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18352  df-poset 18371  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-lat 18490  df-oposet 39158  df-cmtN 39159  df-ol 39160  df-oml 39161

This theorem is referenced by:  omlspjN  39243