Theorem cmtidN 38638

Description: Any element commutes with itself. (cmidi 31368 analog.) (Contributed by NM, 6-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cmtid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cmtid.c	⊢ 𝐶 = (cm‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cmtidN	⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋𝐶𝑋)

Proof of Theorem cmtidN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omllat 38623	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ Lat)
2		cmtid.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
4	2, 3	latref 18404	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
5	1, 4	sylan 579	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
6		cmtid.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (cm‘𝐾)
7	2, 3, 6	lecmtN 38637	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)𝑋 → 𝑋𝐶𝑋))
8	7	3anidm23 1418	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)𝑋 → 𝑋𝐶𝑋))
9	5, 8	mpd 15	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋𝐶𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  ‘cfv 6536  Basecbs 17151  lecple 17211  Latclat 18394  cmccmtN 38554  OMLcoml 38556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-proset 18258  df-poset 18276  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-lat 18395  df-oposet 38557  df-cmtN 38558  df-ol 38559  df-oml 38560

This theorem is referenced by:  omlspjN  38642