Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cmtidN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cmtidN 36387
Description: Any element commutes with itself. (cmidi 29381 analog.) (Contributed by NM, 6-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cmtid.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cmtid.c 𝐶 = (cm‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cmtidN ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐶𝑋)

Proof of Theorem cmtidN
StepHypRef Expression
1 omllat 36372 . . 3 (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ Lat)
2 cmtid.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 eqid 2821 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
42, 3latref 17657 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
51, 4sylan 582 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
6 cmtid.c . . . 4 𝐶 = (cm‘𝐾)
72, 3, 6lecmtN 36386 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)𝑋𝑋𝐶𝑋))
873anidm23 1417 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)𝑋𝑋𝐶𝑋))
95, 8mpd 15 1 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐶𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110   class class class wbr 5058  cfv 6349  Basecbs 16477  lecple 16566  Latclat 17649  cmccmtN 36303  OMLcoml 36305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-proset 17532  df-poset 17550  df-lub 17578  df-glb 17579  df-join 17580  df-meet 17581  df-lat 17650  df-oposet 36306  df-cmtN 36307  df-ol 36308  df-oml 36309
This theorem is referenced by:  omlspjN  36391
  Copyright terms: Public domain W3C validator