Theorem cmtidN 39981

Description: Any element commutes with itself. (cmidi 31932 analog.) (Contributed by NM, 6-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cmtid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cmtid.c	⊢ 𝐶 = (cm‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cmtidN	⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋𝐶𝑋)

Proof of Theorem cmtidN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omllat 39966	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ Lat)
2		cmtid.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		eqid 2770	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
4	2, 3	latref 18500	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
5	1, 4	sylan 591	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
6		cmtid.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (cm‘𝐾)
7	2, 3, 6	lecmtN 39980	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)𝑋 → 𝑋𝐶𝑋))
8	7	3anidm23 1446	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)𝑋 → 𝑋𝐶𝑋))
9	5, 8	mpd 16	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋𝐶𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2150   class class class wbr 5114  ‘cfv 6540  Basecbs 17272  lecple 17320  Latclat 18490  cmccmtN 39897  OMLcoml 39899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5560  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-proset 18353  df-poset 18372  df-lub 18403  df-glb 18404  df-join 18405  df-meet 18406  df-lat 18491  df-oposet 39900  df-cmtN 39901  df-ol 39902  df-oml 39903

This theorem is referenced by:  omlspjN  39985