MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbslinds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbslinds 21853
Description: A basis is independent. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lbslinds.j 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lbslinds 𝐽 ⊆ (LIndS‘𝑊)

Proof of Theorem lbslinds
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . 4 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2 lbslinds.j . . . 4 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
3 eqid 2737 . . . 4 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
41, 2, 3islbs4 21852 . . 3 (𝑎𝐽 ↔ (𝑎 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ ((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = (Base‘𝑊)))
54simplbi 497 . 2 (𝑎𝐽𝑎 ∈ (LIndS‘𝑊))
65ssriv 3987 1 𝐽 ⊆ (LIndS‘𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3951  cfv 6561  Basecbs 17247  LSpanclspn 20969  LBasisclbs 21073  LIndSclinds 21825
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-lbs 21074  df-lindf 21826  df-linds 21827
This theorem is referenced by:  islinds4  21855  lmimlbs  21856  lbslcic  21861  lvecdim0  33657  lssdimle  33658  lbsdiflsp0  33677  dimkerim  33678  fedgmullem2  33681  fedgmul  33682  extdg1id  33716
  Copyright terms: Public domain W3C validator