Theorem lbslinds 22132

Description: A basis is independent. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lbslinds.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lbslinds	⊢ 𝐽 ⊆ (LIndS‘𝑊)

Proof of Theorem lbslinds

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		lbslinds.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
3		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
4	1, 2, 3	islbs4 22131	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐽 ↔ (𝑎 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ ((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = (Base‘𝑊)))
5	4	simplbi 502	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐽 → 𝑎 ∈ (LIndS‘𝑊))
6	5	ssriv 3935	1 ⊢ 𝐽 ⊆ (LIndS‘𝑊)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6537  Basecbs 17380  LSpanclspn 21239  LBasisclbs 21342  LIndSclinds 22104

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-lbs 21343  df-lindf 22105  df-linds 22106

This theorem is used by:  islinds4  22134  lmimlbs  22135  lbslcic  22140  lvecdim0  34232  lssdimle  34233  lbsdiflsp0  34251  dimkerim  34252  fedgmullem2  34255  fedgmul  34256  extdg1id  34291