Theorem lbslinds 21774

Description: A basis is independent. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lbslinds.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lbslinds	⊢ 𝐽 ⊆ (LIndS‘𝑊)

Proof of Theorem lbslinds

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		lbslinds.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
3		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
4	1, 2, 3	islbs4 21773	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐽 ↔ (𝑎 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ ((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = (Base‘𝑊)))
5	4	simplbi 496	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐽 → 𝑎 ∈ (LIndS‘𝑊))
6	5	ssriv 3986	1 ⊢ 𝐽 ⊆ (LIndS‘𝑊)

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3949  ‘cfv 6553  Basecbs 17187  LSpanclspn 20862  LBasisclbs 20966  LIndSclinds 21746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-lbs 20967  df-lindf 21747  df-linds 21748

This theorem is referenced by:  islinds4  21776  lmimlbs  21777  lbslcic  21782  lvecdim0  33337  lssdimle  33338  lbsdiflsp0  33357  dimkerim  33358  fedgmullem2  33361  fedgmul  33362  extdg1id  33388