Theorem lbslinds 21948

Description: A basis is independent. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lbslinds.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lbslinds	⊢ 𝐽 ⊆ (LIndS‘𝑊)

Proof of Theorem lbslinds

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		lbslinds.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
3		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
4	1, 2, 3	islbs4 21947	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐽 ↔ (𝑎 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ ((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = (Base‘𝑊)))
5	4	simplbi 501	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐽 → 𝑎 ∈ (LIndS‘𝑊))
6	5	ssriv 3949	1 ⊢ 𝐽 ⊆ (LIndS‘𝑊)

Syntax hints:   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913  ‘cfv 6533  Basecbs 17265  LSpanclspn 21066  LBasisclbs 21169  LIndSclinds 21920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7411  df-lbs 21170  df-lindf 21921  df-linds 21922

This theorem is referenced by:  islinds4  21950  lmimlbs  21951  lbslcic  21956  lvecdim0  33938  lssdimle  33939  lbsdiflsp0  33957  dimkerim  33958  fedgmullem2  33961  fedgmul  33962  extdg1id  33997