Theorem lbslinds 21749

Description: A basis is independent. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lbslinds.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lbslinds	⊢ 𝐽 ⊆ (LIndS‘𝑊)

Proof of Theorem lbslinds

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		lbslinds.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
3		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
4	1, 2, 3	islbs4 21748	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐽 ↔ (𝑎 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ ((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = (Base‘𝑊)))
5	4	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐽 → 𝑎 ∈ (LIndS‘𝑊))
6	5	ssriv 3953	1 ⊢ 𝐽 ⊆ (LIndS‘𝑊)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3917  ‘cfv 6514  Basecbs 17186  LSpanclspn 20884  LBasisclbs 20988  LIndSclinds 21721

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-lbs 20989  df-lindf 21722  df-linds 21723

This theorem is referenced by:  islinds4  21751  lmimlbs  21752  lbslcic  21757  lvecdim0  33609  lssdimle  33610  lbsdiflsp0  33629  dimkerim  33630  fedgmullem2  33633  fedgmul  33634  extdg1id  33668