Theorem lbslinds 21964

Description: A basis is independent. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lbslinds.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lbslinds	⊢ 𝐽 ⊆ (LIndS‘𝑊)

Proof of Theorem lbslinds

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		lbslinds.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
4	1, 2, 3	islbs4 21963	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐽 ↔ (𝑎 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ ((LSpan‘𝑊)‘𝑎) = (Base‘𝑊)))
5	4	simplbi 501	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐽 → 𝑎 ∈ (LIndS‘𝑊))
6	5	ssriv 3942	1 ⊢ 𝐽 ⊆ (LIndS‘𝑊)

Syntax hints:   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3906  ‘cfv 6538  Basecbs 17270  LSpanclspn 21073  LBasisclbs 21176  LIndSclinds 21936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-lbs 21177  df-lindf 21937  df-linds 21938

This theorem is referenced by:  islinds4  21966  lmimlbs  21967  lbslcic  21972  lvecdim0  33978  lssdimle  33979  lbsdiflsp0  33997  dimkerim  33998  fedgmullem2  34001  fedgmul  34002  extdg1id  34037