Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lemaxle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lemaxle 12642
 Description: A real number which is less than or equal to a second real number is less than or equal to the maximum/supremum of the second real number and a third real number. (Contributed by AV, 8-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
lemaxle (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ≤ if(𝐶𝐵, 𝐵, 𝐶))

Proof of Theorem lemaxle
StepHypRef Expression
1 max2 12634 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐶𝐵, 𝐵, 𝐶))
21ancoms 462 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐶𝐵, 𝐵, 𝐶))
32adantr 484 . . 3 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐶𝐵, 𝐵, 𝐶))
4 simpr 488 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
5 simpll 766 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
6 ifcl 4468 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → if(𝐶𝐵, 𝐵, 𝐶) ∈ ℝ)
76adantr 484 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → if(𝐶𝐵, 𝐵, 𝐶) ∈ ℝ)
8 letr 10785 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ if(𝐶𝐵, 𝐵, 𝐶) ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵 ≤ if(𝐶𝐵, 𝐵, 𝐶)) → 𝐴 ≤ if(𝐶𝐵, 𝐵, 𝐶)))
94, 5, 7, 8syl3anc 1368 . . 3 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵 ≤ if(𝐶𝐵, 𝐵, 𝐶)) → 𝐴 ≤ if(𝐶𝐵, 𝐵, 𝐶)))
103, 9mpan2d 693 . 2 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵𝐴 ≤ if(𝐶𝐵, 𝐵, 𝐶)))
11103impia 1114 1 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ≤ if(𝐶𝐵, 𝐵, 𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2111  ifcif 4423   class class class wbr 5036  ℝcr 10587   ≤ cle 10727 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-id 5434  df-po 5447  df-so 5448  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator