MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lemaxle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lemaxle 12576
Description: A real number which is less than or equal to a second real number is less than or equal to the maximum/supremum of the second real number and a third real number. (Contributed by AV, 8-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
lemaxle (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ≤ if(𝐶𝐵, 𝐵, 𝐶))

Proof of Theorem lemaxle
StepHypRef Expression
1 max2 12568 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐶𝐵, 𝐵, 𝐶))
21ancoms 459 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐶𝐵, 𝐵, 𝐶))
32adantr 481 . . 3 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐶𝐵, 𝐵, 𝐶))
4 simpr 485 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
5 simpll 763 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
6 ifcl 4507 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → if(𝐶𝐵, 𝐵, 𝐶) ∈ ℝ)
76adantr 481 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → if(𝐶𝐵, 𝐵, 𝐶) ∈ ℝ)
8 letr 10722 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ if(𝐶𝐵, 𝐵, 𝐶) ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵 ≤ if(𝐶𝐵, 𝐵, 𝐶)) → 𝐴 ≤ if(𝐶𝐵, 𝐵, 𝐶)))
94, 5, 7, 8syl3anc 1363 . . 3 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵 ≤ if(𝐶𝐵, 𝐵, 𝐶)) → 𝐴 ≤ if(𝐶𝐵, 𝐵, 𝐶)))
103, 9mpan2d 690 . 2 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵𝐴 ≤ if(𝐶𝐵, 𝐵, 𝐶)))
11103impia 1109 1 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ≤ if(𝐶𝐵, 𝐵, 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079  wcel 2105  ifcif 4463   class class class wbr 5057  cr 10524  cle 10664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator