Theorem lemaxle 13115

Description: A real number which is less than or equal to a second real number is less than or equal to the maximum/supremum of the second real number and a third real number. (Contributed by AV, 8-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
lemaxle	⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ if(𝐶 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐶))

Proof of Theorem lemaxle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		max2 13107	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐶 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐶))
2	1	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐶 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐶))
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐶 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐶))
4		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		simpll 766	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
6		ifcl 4524	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → if(𝐶 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐶) ∈ ℝ)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → if(𝐶 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐶) ∈ ℝ)
8		letr 11228	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ if(𝐶 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐶) ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ if(𝐶 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐶)) → 𝐴 ≤ if(𝐶 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐶)))
9	4, 5, 7, 8	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ if(𝐶 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐶)) → 𝐴 ≤ if(𝐶 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐶)))
10	3, 9	mpan2d 694	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → 𝐴 ≤ if(𝐶 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐶)))
11	10	3impia 1117	1 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ if(𝐶 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109  ifcif 4478   class class class wbr 5095  ℝcr 11027   ≤ cle 11169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174

This theorem is referenced by: (None)