Theorem lemaxle 13191

Description: A real number which is less than or equal to a second real number is less than or equal to the maximum/supremum of the second real number and a third real number. (Contributed by AV, 8-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
lemaxle	⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ if(𝐶 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐶))

Proof of Theorem lemaxle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		max2 13183	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐶 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐶))
2	1	ancoms 462	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐶 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐶))
3	2	adantr 484	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐶 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐶))
4		simpr 488	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		simpll 776	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
6		ifcl 4523	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → if(𝐶 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐶) ∈ ℝ)
7	6	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → if(𝐶 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐶) ∈ ℝ)
8		letr 11270	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ if(𝐶 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐶) ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ if(𝐶 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐶)) → 𝐴 ≤ if(𝐶 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐶)))
9	4, 5, 7, 8	syl3anc 1389	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ if(𝐶 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐶)) → 𝐴 ≤ if(𝐶 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐶)))
10	3, 9	mpan2d 704	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → 𝐴 ≤ if(𝐶 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐶)))
11	10	3impia 1129	1 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ if(𝐶 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   ∈ wcel 2141  ifcif 4477   class class class wbr 5097  ℝcr 11065   ≤ cle 11210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215

This theorem is referenced by: (None)