Theorem letr 11356

Description: Transitive law. (Contributed by NM, 12-Nov-1999.)

Assertion

Ref	Expression
letr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))

Proof of Theorem letr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leloe 11348	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶)))
2	1	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶)))
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶)))
4		lelttr 11352	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
5		ltle 11350	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
6	5	3adant2 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	4, 6	syld 47	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	7	expdimp 452	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 < 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
9		breq2 5146	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ 𝐶))
10	9	biimpcd 249	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐵 = 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
11	10	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 = 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
12	8, 11	jaod 859	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
13	3, 12	sylbid 240	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 ≤ 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
14	13	expimpd 453	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5142  ℝcr 11155   < clt 11296   ≤ cle 11297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302

This theorem is referenced by:  letri  11391  letrd  11419  le2add  11746  le2sub  11763  p1le  12113  lemul12b  12125  lemul12a  12126  zletr  12663  peano2uz2  12708  ledivge1le  13107  lemaxle  13238  elfz1b  13634  elfz0fzfz0  13674  fz0fzelfz0  13675  fz0fzdiffz0  13678  elfzmlbp  13680  difelfznle  13683  elincfzoext  13763  ssfzoulel  13800  ssfzo12bi  13801  flge  13846  flflp1  13848  fldiv4p1lem1div2  13876  fldiv4lem1div2uz2  13877  monoord  14074  le2sq2  14176  leexp2r  14215  expubnd  14218  facwordi  14329  faclbnd3  14332  facavg  14341  fi1uzind  14547  swrdswrdlem  14743  swrdccat  14774  01sqrexlem1  15282  01sqrexlem6  15287  01sqrexlem7  15288  leabs  15339  limsupbnd2  15520  rlim3  15535  lo1bdd2  15561  lo1bddrp  15562  o1lo1  15574  lo1mul  15665  lo1le  15689  isercolllem2  15703  iseraltlem2  15720  fsumabs  15838  cvgrat  15920  ruclem9  16275  algcvga  16617  prmdvdsfz  16743  prmfac1  16758  eulerthlem2  16820  modprm0  16844  prmreclem1  16955  prmreclem4  16958  4sqlem11  16994  vdwnnlem3  17036  zntoslem  21576  gsumbagdiaglem  21951  psdmul  22171  cnllycmp  24989  evth  24992  ovoliunlem2  25539  ovolicc2lem3  25555  itg2monolem1  25786  bddiblnc  25878  coeaddlem  26289  coemullem  26290  aalioulem5  26379  aalioulem6  26380  sincosq1lem  26540  emcllem6  27045  ftalem3  27119  fsumvma2  27259  chpchtsum  27264  bcmono  27322  bposlem5  27333  gausslemma2dlem1a  27410  lgsquadlem1  27425  dchrisum0lem1  27561  pntrsumbnd2  27612  pntleml  27656  brbtwn2  28921  axlowdimlem17  28974  axlowdim  28977  crctcshwlkn0lem3  29833  crctcshwlkn0lem5  29835  wwlksubclwwlk  30078  eupth2lems  30258  nmoub3i  30793  ubthlem1  30890  ubthlem2  30891  nmopub2tALT  31929  nmfnleub2  31946  lnconi  32053  leoptr  32157  pjnmopi  32168  cdj3lem2b  32457  eulerpartlemb  34371  isbasisrelowllem1  37357  isbasisrelowllem2  37358  ltflcei  37616  itg2addnclem2  37680  itg2addnclem3  37681  itg2addnc  37682  dvasin  37712  incsequz  37756  mettrifi  37765  equivbnd  37798  bfplem1  37830  jm2.17b  42978  fmul01lt1lem2  45605  eluzge0nn0  47329  elfz2z  47332  iccpartiltu  47414  iccpartgt  47419  lighneallem2  47598