Theorem letr 11308

Description: Transitive law. (Contributed by NM, 12-Nov-1999.)

Assertion

Ref	Expression
letr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))

Proof of Theorem letr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leloe 11300	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶)))
2	1	3adant1 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶)))
3	2	adantr 482	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶)))
4		lelttr 11304	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
5		ltle 11302	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
6	5	3adant2 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	4, 6	syld 47	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	7	expdimp 454	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 < 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
9		breq2 5153	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ 𝐶))
10	9	biimpcd 248	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐵 = 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
11	10	adantl 483	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 = 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
12	8, 11	jaod 858	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
13	3, 12	sylbid 239	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 ≤ 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
14	13	expimpd 455	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  ℝcr 11109   < clt 11248   ≤ cle 11249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254

This theorem is referenced by:  letri  11343  letrd  11371  le2add  11696  le2sub  11713  p1le  12059  lemul12b  12071  lemul12a  12072  zletr  12606  peano2uz2  12650  ledivge1le  13045  lemaxle  13174  elfz1b  13570  elfz0fzfz0  13606  fz0fzelfz0  13607  fz0fzdiffz0  13610  elfzmlbp  13612  difelfznle  13615  elincfzoext  13690  ssfzoulel  13726  ssfzo12bi  13727  flge  13770  flflp1  13772  fldiv4p1lem1div2  13800  fldiv4lem1div2uz2  13801  monoord  13998  le2sq2  14100  leexp2r  14139  expubnd  14142  facwordi  14249  faclbnd3  14252  facavg  14261  fi1uzind  14458  swrdswrdlem  14654  swrdccat  14685  01sqrexlem1  15189  01sqrexlem6  15194  01sqrexlem7  15195  leabs  15246  limsupbnd2  15427  rlim3  15442  lo1bdd2  15468  lo1bddrp  15469  o1lo1  15481  lo1mul  15572  lo1le  15598  isercolllem2  15612  iseraltlem2  15629  fsumabs  15747  cvgrat  15829  ruclem9  16181  algcvga  16516  prmdvdsfz  16642  prmfac1  16658  eulerthlem2  16715  modprm0  16738  prmreclem1  16849  prmreclem4  16852  4sqlem11  16888  vdwnnlem3  16930  zntoslem  21112  gsumbagdiaglemOLD  21491  gsumbagdiaglem  21494  cnllycmp  24472  evth  24475  ovoliunlem2  25020  ovolicc2lem3  25036  itg2monolem1  25268  bddiblnc  25359  coeaddlem  25763  coemullem  25764  aalioulem5  25849  aalioulem6  25850  sincosq1lem  26007  emcllem6  26505  ftalem3  26579  fsumvma2  26717  chpchtsum  26722  bcmono  26780  bposlem5  26791  gausslemma2dlem1a  26868  lgsquadlem1  26883  dchrisum0lem1  27019  pntrsumbnd2  27070  pntleml  27114  brbtwn2  28163  axlowdimlem17  28216  axlowdim  28219  crctcshwlkn0lem3  29066  crctcshwlkn0lem5  29068  wwlksubclwwlk  29311  eupth2lems  29491  nmoub3i  30026  ubthlem1  30123  ubthlem2  30124  nmopub2tALT  31162  nmfnleub2  31179  lnconi  31286  leoptr  31390  pjnmopi  31401  cdj3lem2b  31690  eulerpartlemb  33367  isbasisrelowllem1  36236  isbasisrelowllem2  36237  ltflcei  36476  itg2addnclem2  36540  itg2addnclem3  36541  itg2addnc  36542  dvasin  36572  incsequz  36616  mettrifi  36625  equivbnd  36658  bfplem1  36690  jm2.17b  41700  fmul01lt1lem2  44301  eluzge0nn0  46020  elfz2z  46023  iccpartiltu  46090  iccpartgt  46095  lighneallem2  46274