Theorem letr 11240

Description: Transitive law. (Contributed by NM, 12-Nov-1999.)

Assertion

Ref	Expression
letr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))

Proof of Theorem letr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leloe 11232	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶)))
2	1	3adant1 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶)))
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶)))
4		lelttr 11236	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
5		ltle 11234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
6	5	3adant2 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	4, 6	syld 47	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	7	expdimp 452	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 < 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
9		breq2 5089	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ 𝐶))
10	9	biimpcd 249	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐵 = 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
11	10	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 = 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
12	8, 11	jaod 860	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
13	3, 12	sylbid 240	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 ≤ 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
14	13	expimpd 453	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  ℝcr 11037   < clt 11179   ≤ cle 11180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185

This theorem is referenced by:  letri  11275  letrd  11303  le2add  11632  le2sub  11649  p1le  12000  lemul12b  12012  lemul12a  12013  zletr  12571  peano2uz2  12617  ledivge1le  13015  lemaxle  13147  elfz1b  13547  elfz0fzfz0  13587  fz0fzelfz0  13588  fz0fzdiffz0  13591  elfzmlbp  13593  difelfznle  13596  elincfzoext  13678  ssfzoulel  13715  ssfzo12bi  13716  flge  13764  flflp1  13766  fldiv4p1lem1div2  13794  fldiv4lem1div2uz2  13795  monoord  13994  le2sq2  14097  leexp2r  14136  expubnd  14140  facwordi  14251  faclbnd3  14254  facavg  14263  fi1uzind  14469  swrdswrdlem  14666  swrdccat  14697  01sqrexlem1  15204  01sqrexlem6  15209  01sqrexlem7  15210  leabs  15261  limsupbnd2  15445  rlim3  15460  lo1bdd2  15486  lo1bddrp  15487  o1lo1  15499  lo1mul  15590  lo1le  15614  isercolllem2  15628  iseraltlem2  15645  fsumabs  15764  cvgrat  15848  ruclem9  16205  algcvga  16548  prmdvdsfz  16675  prmfac1  16690  eulerthlem2  16752  modprm0  16776  prmreclem1  16887  prmreclem4  16890  4sqlem11  16926  vdwnnlem3  16968  zntoslem  21536  gsumbagdiaglem  21910  psdmul  22132  cnllycmp  24923  evth  24926  ovoliunlem2  25470  ovolicc2lem3  25486  itg2monolem1  25717  bddiblnc  25809  coeaddlem  26214  coemullem  26215  aalioulem5  26302  aalioulem6  26303  sincosq1lem  26461  emcllem6  26964  ftalem3  27038  fsumvma2  27177  chpchtsum  27182  bcmono  27240  bposlem5  27251  gausslemma2dlem1a  27328  lgsquadlem1  27343  dchrisum0lem1  27479  pntrsumbnd2  27530  pntleml  27574  brbtwn2  28974  axlowdimlem17  29027  axlowdim  29030  crctcshwlkn0lem3  29880  crctcshwlkn0lem5  29882  wwlksubclwwlk  30128  eupth2lems  30308  nmoub3i  30844  ubthlem1  30941  ubthlem2  30942  nmopub2tALT  31980  nmfnleub2  31997  lnconi  32104  leoptr  32208  pjnmopi  32219  cdj3lem2b  32508  eulerpartlemb  34512  isbasisrelowllem1  37671  isbasisrelowllem2  37672  ltflcei  37929  itg2addnclem2  37993  itg2addnclem3  37994  itg2addnc  37995  dvasin  38025  incsequz  38069  mettrifi  38078  equivbnd  38111  bfplem1  38143  jm2.17b  43389  fmul01lt1lem2  46015  eluzge0nn0  47760  elfz2z  47763  iccpartiltu  47882  iccpartgt  47887  lighneallem2  48069