Theorem letr 11268

Description: Transitive law. (Contributed by NM, 12-Nov-1999.)

Assertion

Ref	Expression
letr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))

Proof of Theorem letr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leloe 11260	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶)))
2	1	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶)))
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶)))
4		lelttr 11264	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
5		ltle 11262	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
6	5	3adant2 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	4, 6	syld 47	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	7	expdimp 452	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 < 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
9		breq2 5111	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ 𝐶))
10	9	biimpcd 249	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐵 = 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
11	10	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 = 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
12	8, 11	jaod 859	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
13	3, 12	sylbid 240	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 ≤ 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
14	13	expimpd 453	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ℝcr 11067   < clt 11208   ≤ cle 11209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214

This theorem is referenced by:  letri  11303  letrd  11331  le2add  11660  le2sub  11677  p1le  12027  lemul12b  12039  lemul12a  12040  zletr  12577  peano2uz2  12622  ledivge1le  13024  lemaxle  13155  elfz1b  13554  elfz0fzfz0  13594  fz0fzelfz0  13595  fz0fzdiffz0  13598  elfzmlbp  13600  difelfznle  13603  elincfzoext  13684  ssfzoulel  13721  ssfzo12bi  13722  flge  13767  flflp1  13769  fldiv4p1lem1div2  13797  fldiv4lem1div2uz2  13798  monoord  13997  le2sq2  14100  leexp2r  14139  expubnd  14143  facwordi  14254  faclbnd3  14257  facavg  14266  fi1uzind  14472  swrdswrdlem  14669  swrdccat  14700  01sqrexlem1  15208  01sqrexlem6  15213  01sqrexlem7  15214  leabs  15265  limsupbnd2  15449  rlim3  15464  lo1bdd2  15490  lo1bddrp  15491  o1lo1  15503  lo1mul  15594  lo1le  15618  isercolllem2  15632  iseraltlem2  15649  fsumabs  15767  cvgrat  15849  ruclem9  16206  algcvga  16549  prmdvdsfz  16675  prmfac1  16690  eulerthlem2  16752  modprm0  16776  prmreclem1  16887  prmreclem4  16890  4sqlem11  16926  vdwnnlem3  16968  zntoslem  21466  gsumbagdiaglem  21839  psdmul  22053  cnllycmp  24855  evth  24858  ovoliunlem2  25404  ovolicc2lem3  25420  itg2monolem1  25651  bddiblnc  25743  coeaddlem  26154  coemullem  26155  aalioulem5  26244  aalioulem6  26245  sincosq1lem  26406  emcllem6  26911  ftalem3  26985  fsumvma2  27125  chpchtsum  27130  bcmono  27188  bposlem5  27199  gausslemma2dlem1a  27276  lgsquadlem1  27291  dchrisum0lem1  27427  pntrsumbnd2  27478  pntleml  27522  brbtwn2  28832  axlowdimlem17  28885  axlowdim  28888  crctcshwlkn0lem3  29742  crctcshwlkn0lem5  29744  wwlksubclwwlk  29987  eupth2lems  30167  nmoub3i  30702  ubthlem1  30799  ubthlem2  30800  nmopub2tALT  31838  nmfnleub2  31855  lnconi  31962  leoptr  32066  pjnmopi  32077  cdj3lem2b  32366  eulerpartlemb  34359  isbasisrelowllem1  37343  isbasisrelowllem2  37344  ltflcei  37602  itg2addnclem2  37666  itg2addnclem3  37667  itg2addnc  37668  dvasin  37698  incsequz  37742  mettrifi  37751  equivbnd  37784  bfplem1  37816  jm2.17b  42950  fmul01lt1lem2  45583  eluzge0nn0  47313  elfz2z  47316  iccpartiltu  47423  iccpartgt  47428  lighneallem2  47607