Theorem letr 11227

Description: Transitive law. (Contributed by NM, 12-Nov-1999.)

Assertion

Ref	Expression
letr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))

Proof of Theorem letr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leloe 11219	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶)))
2	1	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶)))
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶)))
4		lelttr 11223	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
5		ltle 11221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
6	5	3adant2 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	4, 6	syld 47	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	7	expdimp 452	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 < 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
9		breq2 5102	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ 𝐶))
10	9	biimpcd 249	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐵 = 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
11	10	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 = 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
12	8, 11	jaod 859	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
13	3, 12	sylbid 240	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 ≤ 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
14	13	expimpd 453	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ℝcr 11025   < clt 11166   ≤ cle 11167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172

This theorem is referenced by:  letri  11262  letrd  11290  le2add  11619  le2sub  11636  p1le  11986  lemul12b  11998  lemul12a  11999  zletr  12535  peano2uz2  12580  ledivge1le  12978  lemaxle  13110  elfz1b  13509  elfz0fzfz0  13549  fz0fzelfz0  13550  fz0fzdiffz0  13553  elfzmlbp  13555  difelfznle  13558  elincfzoext  13639  ssfzoulel  13676  ssfzo12bi  13677  flge  13725  flflp1  13727  fldiv4p1lem1div2  13755  fldiv4lem1div2uz2  13756  monoord  13955  le2sq2  14058  leexp2r  14097  expubnd  14101  facwordi  14212  faclbnd3  14215  facavg  14224  fi1uzind  14430  swrdswrdlem  14627  swrdccat  14658  01sqrexlem1  15165  01sqrexlem6  15170  01sqrexlem7  15171  leabs  15222  limsupbnd2  15406  rlim3  15421  lo1bdd2  15447  lo1bddrp  15448  o1lo1  15460  lo1mul  15551  lo1le  15575  isercolllem2  15589  iseraltlem2  15606  fsumabs  15724  cvgrat  15806  ruclem9  16163  algcvga  16506  prmdvdsfz  16632  prmfac1  16647  eulerthlem2  16709  modprm0  16733  prmreclem1  16844  prmreclem4  16847  4sqlem11  16883  vdwnnlem3  16925  zntoslem  21511  gsumbagdiaglem  21886  psdmul  22109  cnllycmp  24911  evth  24914  ovoliunlem2  25460  ovolicc2lem3  25476  itg2monolem1  25707  bddiblnc  25799  coeaddlem  26210  coemullem  26211  aalioulem5  26300  aalioulem6  26301  sincosq1lem  26462  emcllem6  26967  ftalem3  27041  fsumvma2  27181  chpchtsum  27186  bcmono  27244  bposlem5  27255  gausslemma2dlem1a  27332  lgsquadlem1  27347  dchrisum0lem1  27483  pntrsumbnd2  27534  pntleml  27578  brbtwn2  28978  axlowdimlem17  29031  axlowdim  29034  crctcshwlkn0lem3  29885  crctcshwlkn0lem5  29887  wwlksubclwwlk  30133  eupth2lems  30313  nmoub3i  30848  ubthlem1  30945  ubthlem2  30946  nmopub2tALT  31984  nmfnleub2  32001  lnconi  32108  leoptr  32212  pjnmopi  32223  cdj3lem2b  32512  eulerpartlemb  34525  isbasisrelowllem1  37560  isbasisrelowllem2  37561  ltflcei  37809  itg2addnclem2  37873  itg2addnclem3  37874  itg2addnc  37875  dvasin  37905  incsequz  37949  mettrifi  37958  equivbnd  37991  bfplem1  38023  jm2.17b  43203  fmul01lt1lem2  45831  eluzge0nn0  47558  elfz2z  47561  iccpartiltu  47668  iccpartgt  47673  lighneallem2  47852