Theorem letr 11228

Description: Transitive law. (Contributed by NM, 12-Nov-1999.)

Assertion

Ref	Expression
letr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))

Proof of Theorem letr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leloe 11220	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶)))
2	1	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶)))
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶)))
4		lelttr 11224	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
5		ltle 11222	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
6	5	3adant2 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	4, 6	syld 47	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	7	expdimp 452	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 < 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
9		breq2 5099	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ 𝐶))
10	9	biimpcd 249	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐵 = 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
11	10	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 = 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
12	8, 11	jaod 859	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
13	3, 12	sylbid 240	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 ≤ 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
14	13	expimpd 453	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  ℝcr 11027   < clt 11168   ≤ cle 11169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174

This theorem is referenced by:  letri  11263  letrd  11291  le2add  11620  le2sub  11637  p1le  11987  lemul12b  11999  lemul12a  12000  zletr  12537  peano2uz2  12582  ledivge1le  12984  lemaxle  13115  elfz1b  13514  elfz0fzfz0  13554  fz0fzelfz0  13555  fz0fzdiffz0  13558  elfzmlbp  13560  difelfznle  13563  elincfzoext  13644  ssfzoulel  13681  ssfzo12bi  13682  flge  13727  flflp1  13729  fldiv4p1lem1div2  13757  fldiv4lem1div2uz2  13758  monoord  13957  le2sq2  14060  leexp2r  14099  expubnd  14103  facwordi  14214  faclbnd3  14217  facavg  14226  fi1uzind  14432  swrdswrdlem  14628  swrdccat  14659  01sqrexlem1  15167  01sqrexlem6  15172  01sqrexlem7  15173  leabs  15224  limsupbnd2  15408  rlim3  15423  lo1bdd2  15449  lo1bddrp  15450  o1lo1  15462  lo1mul  15553  lo1le  15577  isercolllem2  15591  iseraltlem2  15608  fsumabs  15726  cvgrat  15808  ruclem9  16165  algcvga  16508  prmdvdsfz  16634  prmfac1  16649  eulerthlem2  16711  modprm0  16735  prmreclem1  16846  prmreclem4  16849  4sqlem11  16885  vdwnnlem3  16927  zntoslem  21481  gsumbagdiaglem  21855  psdmul  22069  cnllycmp  24871  evth  24874  ovoliunlem2  25420  ovolicc2lem3  25436  itg2monolem1  25667  bddiblnc  25759  coeaddlem  26170  coemullem  26171  aalioulem5  26260  aalioulem6  26261  sincosq1lem  26422  emcllem6  26927  ftalem3  27001  fsumvma2  27141  chpchtsum  27146  bcmono  27204  bposlem5  27215  gausslemma2dlem1a  27292  lgsquadlem1  27307  dchrisum0lem1  27443  pntrsumbnd2  27494  pntleml  27538  brbtwn2  28868  axlowdimlem17  28921  axlowdim  28924  crctcshwlkn0lem3  29775  crctcshwlkn0lem5  29777  wwlksubclwwlk  30020  eupth2lems  30200  nmoub3i  30735  ubthlem1  30832  ubthlem2  30833  nmopub2tALT  31871  nmfnleub2  31888  lnconi  31995  leoptr  32099  pjnmopi  32110  cdj3lem2b  32399  eulerpartlemb  34338  isbasisrelowllem1  37331  isbasisrelowllem2  37332  ltflcei  37590  itg2addnclem2  37654  itg2addnclem3  37655  itg2addnc  37656  dvasin  37686  incsequz  37730  mettrifi  37739  equivbnd  37772  bfplem1  37804  jm2.17b  42937  fmul01lt1lem2  45570  eluzge0nn0  47300  elfz2z  47303  iccpartiltu  47410  iccpartgt  47415  lighneallem2  47594