Theorem letr 11397

Description: Transitive law. (Contributed by NM, 12-Nov-1999.)

Assertion

Ref	Expression
letr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))

Proof of Theorem letr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leloe 11389	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶)))
2	1	3adant1 1148	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶)))
3	2	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶)))
4		lelttr 11393	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
5		ltle 11391	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
6	5	3adant2 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	4, 6	syld 48	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	7	expdimp 458	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 < 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
9		breq2 5107	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ 𝐶))
10	9	biimpcd 252	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐵 = 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
11	10	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 = 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
12	8, 11	jaod 873	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
13	3, 12	sylbid 243	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 ≤ 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
14	13	expimpd 459	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ℝcr 11192   < clt 11336   ≤ cle 11337

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-resscn 11250  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342

This theorem is used by:  letri  11432  letrd  11460  le2add  11791  le2sub  11808  p1le  12155  lemul12b  12167  lemul12a  12168  zletr  12733  peano2uz2  12780  ledivge1le  13186  lemaxle  13318  elfz1b  13720  elfz0fzfz0  13760  fz0fzelfz0  13761  fz0fzdiffz0  13764  elfzmlbp  13766  difelfznle  13769  elincfzoext  13851  ssfzoulel  13888  ssfzo12bi  13889  flge  13938  flflp1  13940  fldiv4p1lem1div2  13968  fldiv4lem1div2uz2  13969  monoord  14168  le2sq2  14271  leexp2r  14310  expubnd  14314  facwordi  14426  faclbnd3  14429  facavg  14438  fi1uzind  14645  swrdswrdlem  14846  swrdccat  14877  01sqrexlem1  15402  01sqrexlem6  15407  01sqrexlem7  15408  leabs  15459  limsupbnd2  15643  rlim3  15658  lo1bdd2  15684  lo1bddrp  15685  o1lo1  15697  lo1mul  15788  lo1le  15812  isercolllem2  15826  iseraltlem2  15843  fsumabs  15961  cvgrat  16045  ruclem9  16399  algcvga  16747  prmdvdsfz  16874  prmfac1  16889  eulerthlem2  16952  modprm0  16976  prmreclem1  17087  prmreclem4  17090  4sqlem11  17126  vdwnnlem3  17168  zntoslem  21855  gsumbagdiaglem  22232  psdmul  22480  cnllycmp  25270  evth  25273  ovoliunlem2  25817  ovolicc2lem3  25833  itg2monolem1  26064  bddiblnc  26155  coeaddlem  26561  coemullem  26562  aalioulem5  26656  aalioulem6  26657  sincosq1lem  26819  emcllem6  27321  ftalem3  27395  fsumvma2  27534  chpchtsum  27539  bcmono  27597  bposlem5  27608  gausslemma2dlem1a  27685  lgsquadlem1  27700  dchrisum0lem1  27836  pntrsumbnd2  27887  pntleml  27931  brbtwn2  29476  axlowdimlem17  29529  axlowdim  29532  crctcshwlkn0lem3  30394  crctcshwlkn0lem5  30396  wwlksubclwwlk  30642  eupth2lems  30832  nmoub3i  31368  ubthlem1  31465  ubthlem2  31466  nmopub2tALT  32504  nmfnleub2  32521  lnconi  32628  leoptr  32732  pjnmopi  32743  cdj3lem2b  33032  eulerpartlemb  34993  isbasisrelowllem1  38258  isbasisrelowllem2  38259  ltflcei  38511  itg2addnclem2  38570  itg2addnclem3  38571  itg2addnc  38572  dvasin  38602  incsequz  38662  mettrifi  38671  equivbnd  38704  bfplem1  38736  jm2.17b  43947  fmul01lt1lem2  46566  eluzge0nn0  48351  elfz2z  48354  iccpartiltu  48473  iccpartgt  48478  lighneallem2  48660