Theorem letr 11443

Description: Transitive law. (Contributed by NM, 12-Nov-1999.)

Assertion

Ref	Expression
letr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))

Proof of Theorem letr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leloe 11435	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶)))
2	1	3adant1 1148	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶)))
3	2	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶)))
4		leltletr 11440	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
5	4	expdimp 458	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 < 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
6		breq2 5112	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ 𝐶))
7	6	biimpcd 252	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐵 = 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	7	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 = 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
9	5, 8	jaod 873	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
10	3, 9	sylbid 243	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 ≤ 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
11	10	expimpd 459	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  ℝcr 11238   < clt 11382   ≤ cle 11383

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388

This theorem is used by:  letri  11478  letrd  11506  le2add  11838  le2sub  11855  p1le  12202  lemul12b  12214  lemul12a  12215  zletr  12780  peano2uz2  12827  ledivge1le  13233  lemaxle  13365  elfz1b  13767  elfz0fzfz0  13807  fz0fzelfz0  13808  fz0fzdiffz0  13811  elfzmlbp  13813  difelfznle  13816  elincfzoext  13898  ssfzoulel  13935  ssfzo12bi  13936  flge  13985  flflp1  13987  fldiv4p1lem1div2  14015  fldiv4lem1div2uz2  14016  monoord  14215  le2sq2  14318  leexp2r  14357  expubnd  14361  facwordi  14474  faclbnd3  14477  facavg  14486  fi1uzind  14693  swrdswrdlem  14895  swrdccat  14926  01sqrexlem1  15452  01sqrexlem6  15457  01sqrexlem7  15458  leabs  15509  limsupbnd2  15694  rlim3  15709  lo1bdd2  15735  lo1bddrp  15736  o1lo1  15748  lo1mul  15839  lo1le  15863  isercolllem2  15877  iseraltlem2  15894  fsumabs  16012  cvgrat  16096  ruclem9  16450  algcvga  16798  prmdvdsfz  16925  prmfac1  16940  eulerthlem2  17003  modprm0  17027  prmreclem1  17138  prmreclem4  17141  4sqlem11  17177  vdwnnlem3  17219  zntoslem  21917  gsumbagdiaglem  22294  psdmul  22542  cnllycmp  25332  evth  25335  ovoliunlem2  25879  ovolicc2lem3  25895  itg2monolem1  26126  bddiblnc  26217  coeaddlem  26623  coemullem  26624  aalioulem5  26720  aalioulem6  26721  sincosq1lem  26883  emcllem6  27385  ftalem3  27459  fsumvma2  27598  chpchtsum  27603  bcmono  27661  bposlem5  27672  gausslemma2dlem1a  27749  lgsquadlem1  27764  dchrisum0lem1  27900  pntrsumbnd2  27951  pntleml  27995  brbtwn2  29540  axlowdimlem17  29593  axlowdim  29596  crctcshwlkn0lem3  30458  crctcshwlkn0lem5  30460  wwlksubclwwlk  30706  eupth2lems  30896  nmoub3i  31432  ubthlem1  31529  ubthlem2  31530  nmopub2tALT  32568  nmfnleub2  32585  lnconi  32692  leoptr  32796  pjnmopi  32807  cdj3lem2b  33096  eulerpartlemb  35111  isbasisrelowllem1  38546  isbasisrelowllem2  38547  ltflcei  38799  itg2addnclem2  38858  itg2addnclem3  38859  itg2addnc  38860  dvasin  38890  incsequz  38948  mettrifi  38957  equivbnd  38990  bfplem1  39022  jm2.17b  44234  fmul01lt1lem2  46870  eluzge0nn0  48655  elfz2z  48658  iccpartiltu  48777  iccpartgt  48782  lighneallem2  48964