Theorem letr 10999

Description: Transitive law. (Contributed by NM, 12-Nov-1999.)

Assertion

Ref	Expression
letr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))

Proof of Theorem letr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leloe 10992	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶)))
2	1	3adant1 1128	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶)))
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶)))
4		lelttr 10996	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
5		ltle 10994	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
6	5	3adant2 1129	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	4, 6	syld 47	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	7	expdimp 452	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 < 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
9		breq2 5074	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ 𝐶))
10	9	biimpcd 248	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐵 = 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
11	10	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 = 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
12	8, 11	jaod 855	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
13	3, 12	sylbid 239	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 ≤ 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
14	13	expimpd 453	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ℝcr 10801   < clt 10940   ≤ cle 10941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946

This theorem is referenced by:  letri  11034  letrd  11062  le2add  11387  le2sub  11404  p1le  11750  lemul12b  11762  lemul12a  11763  zletr  12294  peano2uz2  12338  ledivge1le  12730  lemaxle  12858  elfz1b  13254  elfz0fzfz0  13290  fz0fzelfz0  13291  fz0fzdiffz0  13294  elfzmlbp  13296  difelfznle  13299  elincfzoext  13373  ssfzoulel  13409  ssfzo12bi  13410  flge  13453  flflp1  13455  fldiv4p1lem1div2  13483  fldiv4lem1div2uz2  13484  monoord  13681  le2sq2  13782  leexp2r  13820  expubnd  13823  facwordi  13931  faclbnd3  13934  facavg  13943  fi1uzind  14139  swrdswrdlem  14345  swrdccat  14376  sqrlem1  14882  sqrlem6  14887  sqrlem7  14888  leabs  14939  limsupbnd2  15120  rlim3  15135  lo1bdd2  15161  lo1bddrp  15162  o1lo1  15174  lo1mul  15265  lo1le  15291  isercolllem2  15305  iseraltlem2  15322  fsumabs  15441  cvgrat  15523  ruclem9  15875  algcvga  16212  prmdvdsfz  16338  prmfac1  16354  eulerthlem2  16411  modprm0  16434  prmreclem1  16545  prmreclem4  16548  4sqlem11  16584  vdwnnlem3  16626  zntoslem  20676  gsumbagdiaglemOLD  21051  gsumbagdiaglem  21054  cnllycmp  24025  evth  24028  ovoliunlem2  24572  ovolicc2lem3  24588  itg2monolem1  24820  bddiblnc  24911  coeaddlem  25315  coemullem  25316  aalioulem5  25401  aalioulem6  25402  sincosq1lem  25559  emcllem6  26055  ftalem3  26129  fsumvma2  26267  chpchtsum  26272  bcmono  26330  bposlem5  26341  gausslemma2dlem1a  26418  lgsquadlem1  26433  dchrisum0lem1  26569  pntrsumbnd2  26620  pntleml  26664  brbtwn2  27176  axlowdimlem17  27229  axlowdim  27232  crctcshwlkn0lem3  28078  crctcshwlkn0lem5  28080  wwlksubclwwlk  28323  eupth2lems  28503  nmoub3i  29036  ubthlem1  29133  ubthlem2  29134  nmopub2tALT  30172  nmfnleub2  30189  lnconi  30296  leoptr  30400  pjnmopi  30411  cdj3lem2b  30700  eulerpartlemb  32235  isbasisrelowllem1  35453  isbasisrelowllem2  35454  ltflcei  35692  itg2addnclem2  35756  itg2addnclem3  35757  itg2addnc  35758  dvasin  35788  incsequz  35833  mettrifi  35842  equivbnd  35875  bfplem1  35907  jm2.17b  40699  fmul01lt1lem2  43016  eluzge0nn0  44692  elfz2z  44695  iccpartiltu  44762  iccpartgt  44767  lighneallem2  44946