Theorem letr 11305

Description: Transitive law. (Contributed by NM, 12-Nov-1999.)

Assertion

Ref	Expression
letr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))

Proof of Theorem letr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leloe 11297	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶)))
2	1	3adant1 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶)))
3	2	adantr 482	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶)))
4		lelttr 11301	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
5		ltle 11299	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
6	5	3adant2 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	4, 6	syld 47	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	7	expdimp 454	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 < 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
9		breq2 5152	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ 𝐶))
10	9	biimpcd 248	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐵 = 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
11	10	adantl 483	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 = 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
12	8, 11	jaod 858	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
13	3, 12	sylbid 239	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 ≤ 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
14	13	expimpd 455	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5148  ℝcr 11106   < clt 11245   ≤ cle 11246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-resscn 11164  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251

This theorem is referenced by:  letri  11340  letrd  11368  le2add  11693  le2sub  11710  p1le  12056  lemul12b  12068  lemul12a  12069  zletr  12603  peano2uz2  12647  ledivge1le  13042  lemaxle  13171  elfz1b  13567  elfz0fzfz0  13603  fz0fzelfz0  13604  fz0fzdiffz0  13607  elfzmlbp  13609  difelfznle  13612  elincfzoext  13687  ssfzoulel  13723  ssfzo12bi  13724  flge  13767  flflp1  13769  fldiv4p1lem1div2  13797  fldiv4lem1div2uz2  13798  monoord  13995  le2sq2  14097  leexp2r  14136  expubnd  14139  facwordi  14246  faclbnd3  14249  facavg  14258  fi1uzind  14455  swrdswrdlem  14651  swrdccat  14682  01sqrexlem1  15186  01sqrexlem6  15191  01sqrexlem7  15192  leabs  15243  limsupbnd2  15424  rlim3  15439  lo1bdd2  15465  lo1bddrp  15466  o1lo1  15478  lo1mul  15569  lo1le  15595  isercolllem2  15609  iseraltlem2  15626  fsumabs  15744  cvgrat  15826  ruclem9  16178  algcvga  16513  prmdvdsfz  16639  prmfac1  16655  eulerthlem2  16712  modprm0  16735  prmreclem1  16846  prmreclem4  16849  4sqlem11  16885  vdwnnlem3  16927  zntoslem  21104  gsumbagdiaglemOLD  21483  gsumbagdiaglem  21486  cnllycmp  24464  evth  24467  ovoliunlem2  25012  ovolicc2lem3  25028  itg2monolem1  25260  bddiblnc  25351  coeaddlem  25755  coemullem  25756  aalioulem5  25841  aalioulem6  25842  sincosq1lem  25999  emcllem6  26495  ftalem3  26569  fsumvma2  26707  chpchtsum  26712  bcmono  26770  bposlem5  26781  gausslemma2dlem1a  26858  lgsquadlem1  26873  dchrisum0lem1  27009  pntrsumbnd2  27060  pntleml  27104  brbtwn2  28153  axlowdimlem17  28206  axlowdim  28209  crctcshwlkn0lem3  29056  crctcshwlkn0lem5  29058  wwlksubclwwlk  29301  eupth2lems  29481  nmoub3i  30014  ubthlem1  30111  ubthlem2  30112  nmopub2tALT  31150  nmfnleub2  31167  lnconi  31274  leoptr  31378  pjnmopi  31389  cdj3lem2b  31678  eulerpartlemb  33356  isbasisrelowllem1  36225  isbasisrelowllem2  36226  ltflcei  36465  itg2addnclem2  36529  itg2addnclem3  36530  itg2addnc  36531  dvasin  36561  incsequz  36605  mettrifi  36614  equivbnd  36647  bfplem1  36679  jm2.17b  41686  fmul01lt1lem2  44288  eluzge0nn0  46007  elfz2z  46010  iccpartiltu  46077  iccpartgt  46082  lighneallem2  46261