Theorem letr 11216

Description: Transitive law. (Contributed by NM, 12-Nov-1999.)

Assertion

Ref	Expression
letr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))

Proof of Theorem letr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leloe 11208	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶)))
2	1	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶)))
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶)))
4		lelttr 11212	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
5		ltle 11210	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
6	5	3adant2 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	4, 6	syld 47	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	7	expdimp 452	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 < 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
9		breq2 5099	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ 𝐶))
10	9	biimpcd 249	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐵 = 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
11	10	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 = 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
12	8, 11	jaod 859	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
13	3, 12	sylbid 240	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 ≤ 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
14	13	expimpd 453	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095  ℝcr 11014   < clt 11155   ≤ cle 11156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-resscn 11072  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161

This theorem is referenced by:  letri  11251  letrd  11279  le2add  11608  le2sub  11625  p1le  11975  lemul12b  11987  lemul12a  11988  zletr  12524  peano2uz2  12569  ledivge1le  12967  lemaxle  13098  elfz1b  13497  elfz0fzfz0  13537  fz0fzelfz0  13538  fz0fzdiffz0  13541  elfzmlbp  13543  difelfznle  13546  elincfzoext  13627  ssfzoulel  13664  ssfzo12bi  13665  flge  13713  flflp1  13715  fldiv4p1lem1div2  13743  fldiv4lem1div2uz2  13744  monoord  13943  le2sq2  14046  leexp2r  14085  expubnd  14089  facwordi  14200  faclbnd3  14203  facavg  14212  fi1uzind  14418  swrdswrdlem  14615  swrdccat  14646  01sqrexlem1  15153  01sqrexlem6  15158  01sqrexlem7  15159  leabs  15210  limsupbnd2  15394  rlim3  15409  lo1bdd2  15435  lo1bddrp  15436  o1lo1  15448  lo1mul  15539  lo1le  15563  isercolllem2  15577  iseraltlem2  15594  fsumabs  15712  cvgrat  15794  ruclem9  16151  algcvga  16494  prmdvdsfz  16620  prmfac1  16635  eulerthlem2  16697  modprm0  16721  prmreclem1  16832  prmreclem4  16835  4sqlem11  16871  vdwnnlem3  16913  zntoslem  21497  gsumbagdiaglem  21871  psdmul  22084  cnllycmp  24885  evth  24888  ovoliunlem2  25434  ovolicc2lem3  25450  itg2monolem1  25681  bddiblnc  25773  coeaddlem  26184  coemullem  26185  aalioulem5  26274  aalioulem6  26275  sincosq1lem  26436  emcllem6  26941  ftalem3  27015  fsumvma2  27155  chpchtsum  27160  bcmono  27218  bposlem5  27229  gausslemma2dlem1a  27306  lgsquadlem1  27321  dchrisum0lem1  27457  pntrsumbnd2  27508  pntleml  27552  brbtwn2  28887  axlowdimlem17  28940  axlowdim  28943  crctcshwlkn0lem3  29794  crctcshwlkn0lem5  29796  wwlksubclwwlk  30042  eupth2lems  30222  nmoub3i  30757  ubthlem1  30854  ubthlem2  30855  nmopub2tALT  31893  nmfnleub2  31910  lnconi  32017  leoptr  32121  pjnmopi  32132  cdj3lem2b  32421  eulerpartlemb  34404  isbasisrelowllem1  37422  isbasisrelowllem2  37423  ltflcei  37671  itg2addnclem2  37735  itg2addnclem3  37736  itg2addnc  37737  dvasin  37767  incsequz  37811  mettrifi  37820  equivbnd  37853  bfplem1  37885  jm2.17b  43081  fmul01lt1lem2  45712  eluzge0nn0  47439  elfz2z  47442  iccpartiltu  47549  iccpartgt  47554  lighneallem2  47733