Theorem letr 11304

Description: Transitive law. (Contributed by NM, 12-Nov-1999.)

Assertion

Ref	Expression
letr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))

Proof of Theorem letr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leloe 11296	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶)))
2	1	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶)))
3	2	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶)))
4		lelttr 11300	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
5		ltle 11298	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
6	5	3adant2 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	4, 6	syld 47	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	7	expdimp 453	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 < 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
9		breq2 5151	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ 𝐶))
10	9	biimpcd 248	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐵 = 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
11	10	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 = 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
12	8, 11	jaod 857	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
13	3, 12	sylbid 239	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 ≤ 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
14	13	expimpd 454	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  ℝcr 11105   < clt 11244   ≤ cle 11245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250

This theorem is referenced by:  letri  11339  letrd  11367  le2add  11692  le2sub  11709  p1le  12055  lemul12b  12067  lemul12a  12068  zletr  12602  peano2uz2  12646  ledivge1le  13041  lemaxle  13170  elfz1b  13566  elfz0fzfz0  13602  fz0fzelfz0  13603  fz0fzdiffz0  13606  elfzmlbp  13608  difelfznle  13611  elincfzoext  13686  ssfzoulel  13722  ssfzo12bi  13723  flge  13766  flflp1  13768  fldiv4p1lem1div2  13796  fldiv4lem1div2uz2  13797  monoord  13994  le2sq2  14096  leexp2r  14135  expubnd  14138  facwordi  14245  faclbnd3  14248  facavg  14257  fi1uzind  14454  swrdswrdlem  14650  swrdccat  14681  01sqrexlem1  15185  01sqrexlem6  15190  01sqrexlem7  15191  leabs  15242  limsupbnd2  15423  rlim3  15438  lo1bdd2  15464  lo1bddrp  15465  o1lo1  15477  lo1mul  15568  lo1le  15594  isercolllem2  15608  iseraltlem2  15625  fsumabs  15743  cvgrat  15825  ruclem9  16177  algcvga  16512  prmdvdsfz  16638  prmfac1  16654  eulerthlem2  16711  modprm0  16734  prmreclem1  16845  prmreclem4  16848  4sqlem11  16884  vdwnnlem3  16926  zntoslem  21103  gsumbagdiaglemOLD  21482  gsumbagdiaglem  21485  cnllycmp  24463  evth  24466  ovoliunlem2  25011  ovolicc2lem3  25027  itg2monolem1  25259  bddiblnc  25350  coeaddlem  25754  coemullem  25755  aalioulem5  25840  aalioulem6  25841  sincosq1lem  25998  emcllem6  26494  ftalem3  26568  fsumvma2  26706  chpchtsum  26711  bcmono  26769  bposlem5  26780  gausslemma2dlem1a  26857  lgsquadlem1  26872  dchrisum0lem1  27008  pntrsumbnd2  27059  pntleml  27103  brbtwn2  28152  axlowdimlem17  28205  axlowdim  28208  crctcshwlkn0lem3  29055  crctcshwlkn0lem5  29057  wwlksubclwwlk  29300  eupth2lems  29480  nmoub3i  30013  ubthlem1  30110  ubthlem2  30111  nmopub2tALT  31149  nmfnleub2  31166  lnconi  31273  leoptr  31377  pjnmopi  31388  cdj3lem2b  31677  eulerpartlemb  33355  isbasisrelowllem1  36224  isbasisrelowllem2  36225  ltflcei  36464  itg2addnclem2  36528  itg2addnclem3  36529  itg2addnc  36530  dvasin  36560  incsequz  36604  mettrifi  36613  equivbnd  36646  bfplem1  36678  jm2.17b  41685  fmul01lt1lem2  44287  eluzge0nn0  46006  elfz2z  46009  iccpartiltu  46076  iccpartgt  46081  lighneallem2  46260