Theorem letr 11078

Description: Transitive law. (Contributed by NM, 12-Nov-1999.)

Assertion

Ref	Expression
letr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))

Proof of Theorem letr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leloe 11070	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶)))
2	1	3adant1 1129	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶)))
3	2	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶)))
4		lelttr 11074	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
5		ltle 11072	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
6	5	3adant2 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	4, 6	syld 47	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	7	expdimp 453	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 < 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
9		breq2 5079	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ 𝐶))
10	9	biimpcd 248	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐵 = 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
11	10	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 = 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
12	8, 11	jaod 856	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
13	3, 12	sylbid 239	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 ≤ 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
14	13	expimpd 454	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5075  ℝcr 10879   < clt 11018   ≤ cle 11019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-resscn 10937  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-id 5490  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024

This theorem is referenced by:  letri  11113  letrd  11141  le2add  11466  le2sub  11483  p1le  11829  lemul12b  11841  lemul12a  11842  zletr  12373  peano2uz2  12417  ledivge1le  12810  lemaxle  12938  elfz1b  13334  elfz0fzfz0  13370  fz0fzelfz0  13371  fz0fzdiffz0  13374  elfzmlbp  13376  difelfznle  13379  elincfzoext  13454  ssfzoulel  13490  ssfzo12bi  13491  flge  13534  flflp1  13536  fldiv4p1lem1div2  13564  fldiv4lem1div2uz2  13565  monoord  13762  le2sq2  13863  leexp2r  13901  expubnd  13904  facwordi  14012  faclbnd3  14015  facavg  14024  fi1uzind  14220  swrdswrdlem  14426  swrdccat  14457  sqrlem1  14963  sqrlem6  14968  sqrlem7  14969  leabs  15020  limsupbnd2  15201  rlim3  15216  lo1bdd2  15242  lo1bddrp  15243  o1lo1  15255  lo1mul  15346  lo1le  15372  isercolllem2  15386  iseraltlem2  15403  fsumabs  15522  cvgrat  15604  ruclem9  15956  algcvga  16293  prmdvdsfz  16419  prmfac1  16435  eulerthlem2  16492  modprm0  16515  prmreclem1  16626  prmreclem4  16629  4sqlem11  16665  vdwnnlem3  16707  zntoslem  20773  gsumbagdiaglemOLD  21150  gsumbagdiaglem  21153  cnllycmp  24128  evth  24131  ovoliunlem2  24676  ovolicc2lem3  24692  itg2monolem1  24924  bddiblnc  25015  coeaddlem  25419  coemullem  25420  aalioulem5  25505  aalioulem6  25506  sincosq1lem  25663  emcllem6  26159  ftalem3  26233  fsumvma2  26371  chpchtsum  26376  bcmono  26434  bposlem5  26445  gausslemma2dlem1a  26522  lgsquadlem1  26537  dchrisum0lem1  26673  pntrsumbnd2  26724  pntleml  26768  brbtwn2  27282  axlowdimlem17  27335  axlowdim  27338  crctcshwlkn0lem3  28186  crctcshwlkn0lem5  28188  wwlksubclwwlk  28431  eupth2lems  28611  nmoub3i  29144  ubthlem1  29241  ubthlem2  29242  nmopub2tALT  30280  nmfnleub2  30297  lnconi  30404  leoptr  30508  pjnmopi  30519  cdj3lem2b  30808  eulerpartlemb  32344  isbasisrelowllem1  35535  isbasisrelowllem2  35536  ltflcei  35774  itg2addnclem2  35838  itg2addnclem3  35839  itg2addnc  35840  dvasin  35870  incsequz  35915  mettrifi  35924  equivbnd  35957  bfplem1  35989  jm2.17b  40790  fmul01lt1lem2  43133  eluzge0nn0  44815  elfz2z  44818  iccpartiltu  44885  iccpartgt  44890  lighneallem2  45069