Theorem letr 11271

Description: Transitive law. (Contributed by NM, 12-Nov-1999.)

Assertion

Ref	Expression
letr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))

Proof of Theorem letr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leloe 11263	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶)))
2	1	3adant1 1142	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶)))
3	2	adantr 484	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ (𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶)))
4		lelttr 11267	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
5		ltle 11265	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
6	5	3adant2 1143	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	4, 6	syld 47	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	7	expdimp 456	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 < 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
9		breq2 5101	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ 𝐶))
10	9	biimpcd 251	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐵 = 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
11	10	adantl 485	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 = 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
12	8, 11	jaod 870	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐵 < 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
13	3, 12	sylbid 242	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 ≤ 𝐶 → 𝐴 ≤ 𝐶))
14	13	expimpd 457	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5097  ℝcr 11066   < clt 11210   ≤ cle 11211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-resscn 11124  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216

This theorem is referenced by:  letri  11306  letrd  11334  le2add  11663  le2sub  11680  p1le  12030  lemul12b  12042  lemul12a  12043  zletr  12609  peano2uz2  12655  ledivge1le  13060  lemaxle  13192  elfz1b  13592  elfz0fzfz0  13632  fz0fzelfz0  13633  fz0fzdiffz0  13636  elfzmlbp  13638  difelfznle  13641  elincfzoext  13723  ssfzoulel  13760  ssfzo12bi  13761  flge  13809  flflp1  13811  fldiv4p1lem1div2  13839  fldiv4lem1div2uz2  13840  monoord  14039  le2sq2  14142  leexp2r  14181  expubnd  14185  facwordi  14296  faclbnd3  14299  facavg  14308  fi1uzind  14514  swrdswrdlem  14711  swrdccat  14742  01sqrexlem1  15260  01sqrexlem6  15265  01sqrexlem7  15266  leabs  15317  limsupbnd2  15501  rlim3  15516  lo1bdd2  15542  lo1bddrp  15543  o1lo1  15555  lo1mul  15646  lo1le  15670  isercolllem2  15684  iseraltlem2  15701  fsumabs  15820  cvgrat  15904  ruclem9  16261  algcvga  16604  prmdvdsfz  16731  prmfac1  16746  eulerthlem2  16808  modprm0  16832  prmreclem1  16943  prmreclem4  16946  4sqlem11  16982  vdwnnlem3  17024  zntoslem  21596  gsumbagdiaglem  21971  psdmul  22219  cnllycmp  25006  evth  25009  ovoliunlem2  25553  ovolicc2lem3  25569  itg2monolem1  25800  bddiblnc  25892  coeaddlem  26297  coemullem  26298  aalioulem5  26388  aalioulem6  26389  sincosq1lem  26550  emcllem6  27053  ftalem3  27127  fsumvma2  27266  chpchtsum  27271  bcmono  27329  bposlem5  27340  gausslemma2dlem1a  27417  lgsquadlem1  27432  dchrisum0lem1  27568  pntrsumbnd2  27619  pntleml  27663  brbtwn2  29063  axlowdimlem17  29116  axlowdim  29119  crctcshwlkn0lem3  29969  crctcshwlkn0lem5  29971  wwlksubclwwlk  30217  eupth2lems  30397  nmoub3i  30933  ubthlem1  31030  ubthlem2  31031  nmopub2tALT  32069  nmfnleub2  32086  lnconi  32193  leoptr  32297  pjnmopi  32308  cdj3lem2b  32597  eulerpartlemb  34626  isbasisrelowllem1  37810  isbasisrelowllem2  37811  ltflcei  38068  itg2addnclem2  38132  itg2addnclem3  38133  itg2addnc  38134  dvasin  38164  incsequz  38208  mettrifi  38217  equivbnd  38250  bfplem1  38282  jm2.17b  43499  fmul01lt1lem2  46122  eluzge0nn0  47867  elfz2z  47870  iccpartiltu  47989  iccpartgt  47994  lighneallem2  48176